ルーレットのオッズとハウスエッジ：導出

ルーレットのハウスエッジは、ホイールを特定せずに引用できる数字ではない。シングルゼロホイールには37のポケットがある。ダブルゼロホイールには38ある。どちらもストレートアップの当たり数字に35対1を支払う。この1ポケットの違いが、2つのゲームのプレイコストが異なる全理由であり、いかなる数字を述べる前にも確立すべき最初の事項である。

ホイールが算術を決める

ルーレットホイールは、等確率の結果が固定数ある物理的装置である。ヨーロピアンホイールでは、ポケットは1から36、 plus シングルゼロ。つまり37ポケット。アメリカンホイールでは、ポケットは1から36、 plus ゼロとダブルゼロ。つまり38ポケット。ボールは1回転につき1つのポケットに落ちる。どのポケットも他より起こりやすくはなく、前の結果は次に影響しない。

配当表が2つ目の入力である。単一の数字へのストレートアップベットは35対1を支払う。つまり、勝った1単位の賭け金は35単位の利益 plus 元の1単位の賭け金を返し、合計36単位が戻る。配当は35対1であり、36対1ではない。配当と真のオッズの差がハウスエッジである。

シングルゼロホイールでのエッジの導出

ヨーロピアンホイールで単一の数字に1単位のストレートアップベットを置く。

• 等確率の結果が37ある。
• 1つの結果が勝つ。ベットは合計36単位を返す（35の利益 plus 1単位の賭け金）。
• 36の結果が負ける。ベットは0を返す。

期待収益は、各結果にその確率を掛けた合計である。

期待収益 = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
期待収益 = 36/37
期待収益 = 0.972973

1単位の賭け金あたりの期待損失は 1 − 0.972973 = 0.027027、つまり2.70%。

同様に、ハウスエッジは 1/37 = 0.027027。シングルゼロは、ストレートアップベッターに何も支払わないがホイールのスロットを占める1つのポケットである。それがエッジの源である。

ダブルゼロホイールでのエッジの導出

次に、アメリカンホイールで同じ1単位のストレートアップベットを置く。

• 等確率の結果が38ある。
• 1つの結果が勝つ。ベットは合計36単位を返す。
• 37の結果が負ける。ベットは0を返す。

期待収益 = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
期待収益 = 36/38
期待収益 = 0.947368

1単位の賭け金あたりの期待損失 = 1 − 0.947368 = 0.052632、つまり5.26%。

ハウスエッジは 2/38 = 0.052632。ダブルゼロはこのベットに何も支払わない2つ目のポケットを追加し、エッジはほぼ2倍になる。

すべての標準ベットは同じエッジを持つ

ストレートアップベットは特別ではない。あるホイールでは、レイアウト上のすべてのベットが同じハウスエッジを持つ。なぜなら、すべてのベットは同じ37または38のポケットに基づいて価格設定されるからである。配当は常に、勝つポケットと負けるポケットの比率がフェアから1単位不足するように設定される。

ヨーロピアンホイールでのスプリットベットを考えよう。スプリットは2つの数字をカバーする。配当は17対1。勝った1単位のベットは合計18単位を返す（17の利益 plus 賭け金）。

• 勝つ結果：2ポケット。
• 負ける結果：35ポケット。

期待収益 = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
期待収益 = 36/37
期待収益 = 0.972973

同じ2.70%のエッジ。コーナーベット（4数字、8対1）、ストリート（3数字、11対1）、コラム（12数字、2対1）、そして赤か黒のようなイーブンマネーベット（18数字、1対1）にも同じことが当てはまる。それぞれ、37ポケットが示す真のオッズより1単位少なく支払う。

ダブルゼロホイールでは、同じベットが5.26%のエッジを持ち、1つ例外がある。

アメリカンホイールの5数字ベット

アメリカンホイールには、ヨーロピアンレイアウトには存在しないベットがある：0、00、1、2、3をカバーする5数字ベットである。配当は6対1。勝った1単位のベットは合計7単位を返す（6の利益 plus 賭け金）。

• 勝つ結果：5ポケット。
• 負ける結果：33ポケット。

期待収益 = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
期待収益 = 35/38
期待収益 = 0.921053

1単位の賭け金あたりの期待損失 = 1 − 0.921053 = 0.078947、つまり7.89%。

5数字ベットは同じホイール上の他のどのベットよりも悪い。理由は、6対1の配当が他のベットが使うフェアから1単位不足の価格ではないからである。38のうち5つの勝つポケットに対するフェアオッズは33対5、つまり6.6対1であろう。カジノは6対1を支払う。不足分は他のベットより大きく、エッジは7.89%に上昇する。このベットは、どちらのホイールでもテーブルの他の部分と異なるエッジを持つ唯一の標準賭けである。

エッジが1時間あたりに要するコスト

ターンオーバーのパーセンテージは、ほとんどの人が実感できる量ではない。同じ2.70%のエッジでも、賭け金の大きさと1時間あたりの回転数によってコストは大きく異なる。

プレイヤーがシングルゼロホイールで1回転あたり1単位を賭け、1時間に200回転プレイすると仮定する。これはディーラーのいるライブルーレットテーブルで妥当な速度だが、実際の速度はテーブルとプレイヤーによって異なる。

• 1時間に賭ける総額：1 × 200 = 200単位。
• 期待損失：200 × 0.027027 = 5.4054単位。

1回転あたり1単位、1時間200回転で、期待コストはシングルゼロホイールで約5.40単位/時間。

同じ賭け金と速度でダブルゼロホイールでは：

• 総賭け金：200単位。
• 期待損失：200 × 0.052632 = 10.5264単位。

約10.53単位/時間。ダブルゼロホイールはこの賭け金と速度で1時間あたり約5.13単位多くかかる。

賭け金が1回転あたり1単位ではなく5単位なら、両方の数字を5倍する：シングルゼロで約27.03単位/時間、ダブルゼロで約52.63単位/時間。速度が1時間200回転ではなく100回転なら、半分にする。エッジのパーセンテージは変わらない；金額が変わる。

数字が依存するもの

上記のすべての数字は特定の条件に依存する。以下の表にそれらを示す。

ホイールタイプなしの「ルーレット」の数字は不完全である。同じゲーム名が両方のホイールをカバーし、エッジはほぼ2倍異なる。5数字ベットは、アメリカンレイアウトでテーブルの他の部分と一致しない唯一のベットであるため、別の行になっている。

人々が間違えること

最も一般的な誤りは、ホイールに記憶があると考えることである。何回転も出ていない数字が次の回転で出やすくなることはない。各回転は独立している。シングルゼロホイールで特定の数字の確率は、前に何が出たかに関係なく、毎回転1/37である。赤か黒、奇数か偶数、その他すべてのベットにも同じことが当てはまる。過去の結果が次の結果の物理的確率を変えるメカニズムは存在しない。ホイールは自分が何をしたか知らない。

この誤りは、人々が連続の中にパターンを探すため自然である。赤が10回続くと、次は黒に違いないと感じるが、ホイールには修正すべき状態がない。次の回転で黒の確率はシングルゼロホイールで18/37であり、最初の回転と同じである。1回転あたりの期待損失は変わらない。

2番目の一般的な誤りは、賭けシステムがエッジを変えると信じることである。マルチンゲール、ダランベール、フィボナッチ、ラブシェールは、勝ち負けの後にベットの大きさを変える進行法である。それらは配当表やポケット数を変えない。各ベットの期待値は、賭け金がどのように選ばれたかに関係なく同じである。進行法は結果の分布を変える：多くの小さな勝ちをより起こりやすくし、少数の大きな負けをより起こりにくくする、またはその逆。分布の平均はホイールと配当によって固定される。どのような賭け金の系列もそれを動かせない。シングルゼロホイールでマルチンゲールを使うプレイヤーは、依然として1単位の賭け金あたり2.70%の期待損失に直面する。システムは分散を変えるが、エッジは変えない。

この誤りは、進行法が頻繁に小さな勝ちを生み、それがエッジの証拠のように感じられるため自然である。帳尻を合わせる時折の大きな負けは、同じ分布の反対側ではなく外れ値として扱いやすい。

3番目の誤りは、ゲームを期待コストではなく最良のセッションで比較することである。ダブルゼロホイールでセッションに勝ったプレイヤーは5.26%のエッジを打ち負かしたのではなく、平均が負の分布から1回の抽選を経験しただけである。多くの回転を経ると、平均は期待損失に収束する。エッジは長期的性質であり、長期はほとんどのセッションより長い。

ライブルーレットとオンラインルーレット

上記の算術は、記載されたポケット数と記載された配当を持つ任意のルーレットホイールに適用される。画面にストリーミングされるライブルーレットテーブルは物理的ホイールを使用し、ポケット数と配当表が同じようにエッジを決める。乱数生成器を使ってホイールをシミュレートするオンラインルーレットゲームも同じ配当構造に従い、エッジは結果と配当の同じ関係によって設定される。バージョンが重要である：「ヨーロピアンルーレット」と表示されたゲームは37ポケットと標準ベットで2.70%のエッジを持つはずであり、「アメリカンルーレット」と表示されたゲームは38ポケットと5.26%のエッジを持つはずである。ゲームが異なる配当表を使う場合、エッジは変わり、導出は実際の数字でやり直さなければならない。

任意のルーレットの数字に関するルールは、任意のカジノの数字と同じである：ホイール、配当、ベットを明記すること。それらがなければ、パーセンテージはゲームに関する事実ではなく、出典のない数字である。