Kurzy rulety a výhoda kasina: odvození

Výhoda kasina v ruletě není číslo, které lze uvést bez kola. Kolo s jednou nulou má 37 polí. Kolo se dvěma nulami má 38. Obě vyplácejí vítězné číslo na přímo v poměru 35 ku 1. Tento rozdíl jednoho pole je celým důvodem, proč obě hry stojí různé částky na hraní, a je to první věc, kterou je třeba stanovit, než je uveden jakýkoli údaj.

Kolo určuje aritmetiku

Ruletové kolo je fyzické zařízení s pevným počtem stejně pravděpodobných výsledků. Na evropském kole jsou pole očíslována 1 až 36 plus jediná nula. To je 37 polí. Na americkém kole jsou pole 1 až 36 plus nula a dvojitá nula. To je 38 polí. Kulička přistane v jednom poli na jedno otočení. Žádné pole není pravděpodobnější než jiné a předchozí výsledek nemá vliv na další.

Výplatní tabulka je druhým vstupem. Sázka na přímo na jedno číslo vyplácí 35 ku 1. To znamená, že vítězná sázka 1 jednotky vrací 35 jednotek zisku plus původní sázku 1 jednotky, celkem tedy 36 jednotek zpět. Výplata je 35 ku 1, nikoli 36 ku 1. Rozdíl mezi výplatou a skutečnými kurzy je výhoda kasina.

Odvození výhody na kole s jednou nulou

Vezměte sázku 1 jednotky na přímo na jedno číslo na evropském kole.

• Existuje 37 stejně pravděpodobných výsledků.
• Jeden výsledek vyhrává. Sázka vrací celkem 36 jednotek (35 zisk plus sázka 1 jednotky).
• 36 výsledků prohrává. Sázka vrací 0.

Očekávaný výnos je součet každého výsledku vynásobený jeho pravděpodobností.

Očekávaný výnos = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Očekávaný výnos = 36/37
Očekávaný výnos = 0,972973

Očekávaná ztráta na 1 jednotku vsazenou je 1 − 0,972973 = 0,027027, neboli 2,70 %.

Ekvivalentně je výhoda kasina 1/37 = 0,027027. Jediná nula je to jedno pole, které nic nevyplácí sázejícímu na přímo, ale stále zabírá místo na kole. To je zdrojem výhody.

Odvození výhody na kole se dvěma nulami

Nyní vezměte stejnou sázku 1 jednotky na přímo na americkém kole.

• Existuje 38 stejně pravděpodobných výsledků.
• Jeden výsledek vyhrává. Sázka vrací celkem 36 jednotek.
• 37 výsledků prohrává. Sázka vrací 0.

Očekávaný výnos = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Očekávaný výnos = 36/38
Očekávaný výnos = 0,947368

Očekávaná ztráta na 1 jednotku vsazenou = 1 − 0,947368 = 0,052632, neboli 5,26 %.

Výhoda kasina je 2/38 = 0,052632. Dvojitá nula přidává druhé pole, které na tuto sázku nic nevyplácí, a výhoda se téměř zdvojnásobí.

Každá standardní sázka nese stejnou výhodu

Sázka na přímo není výjimečná. Na daném kole má každá sázka na layoutu stejnou výhodu kasina, protože každá sázka je oceněna ze stejných 37 nebo 38 polí. Výplata je vždy nastavena tak, že poměr vítězných polí k prohrávajícím je o jednu jednotku kratší než spravedlivý.

Uvažujme sázku na split na evropském kole. Split pokrývá dvě čísla. Výplata je 17 ku 1. Vítězná sázka 1 jednotky vrací celkem 18 jednotek (17 zisk plus sázka).

• Vítězné výsledky: 2 pole.
• Prohrávající výsledky: 35 polí.

Očekávaný výnos = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Očekávaný výnos = 36/37
Očekávaný výnos = 0,972973

Stejná výhoda 2,70 %. Totéž platí pro sázku na roh (4 čísla, 8 ku 1), ulici (3 čísla, 11 ku 1), sloupec (12 čísel, 2 ku 1) a sázku na stejné šance jako červená nebo černá (18 čísel, 1 ku 1). Každá vyplácí o jednu jednotku méně, než jsou skutečné kurzy implikované 37 poli.

Na kole se dvěma nulami nesou stejné sázky 5,26 %, s jednou výjimkou.

Sázka na pět čísel na americkém kole

Americké kolo má sázku, která na evropském layoutu neexistuje: sázka na pět čísel, pokrývající 0, 00, 1, 2 a 3. Vyplácí 6 ku 1. Vítězná sázka 1 jednotky vrací celkem 7 jednotek (6 zisk plus sázka).

• Vítězné výsledky: 5 polí.
• Prohrávající výsledky: 33 polí.

Očekávaný výnos = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Očekávaný výnos = 35/38
Očekávaný výnos = 0,921053

Očekávaná ztráta na 1 jednotku vsazenou = 1 − 0,921053 = 0,078947, neboli 7,89 %.

Sázka na pět čísel je horší než každá jiná sázka na stejném kole. Důvodem je, že výplata 6 ku 1 není cena o jednu jednotku kratší než spravedlivá, kterou používají ostatní sázky. Spravedlivé kurzy pro 5 vítězných polí z 38 by byly 33 ku 5, neboli 6,6 ku 1. Kasino vyplácí 6 ku 1. Schodek je větší než u ostatních sázek a výhoda stoupá na 7,89 %. Tato sázka je jediná standardní sázka na obou kolech, která nese odlišnou výhodu od zbytku stolu.

Co výhoda stojí za hodinu

Procento z obratu není množství, které většina lidí dokáže pocítit. Stejná výhoda 2,70 % stojí velmi různé částky v závislosti na velikosti sázky a počtu otočení za hodinu.

Předpokládejme, že hráč sází 1 jednotku na otočení na kole s jednou nulou a hraje 200 otočení za hodinu. To je věrohodná rychlost pro živý ruletový stůl s krupiérem, i když skutečné rychlosti se liší podle stolu a hráče.

• Celková vsazená částka za hodinu: 1 × 200 = 200 jednotek.
• Očekávaná ztráta: 200 × 0,027027 = 5,4054 jednotek.

Při 1 jednotce na otočení a 200 otočeních za hodinu jsou očekávané náklady asi 5,40 jednotek za hodinu na kole s jednou nulou.

Na kole se dvěma nulami při stejné sázce a rychlosti:

• Celkem vsazeno: 200 jednotek.
• Očekávaná ztráta: 200 × 0,052632 = 10,5264 jednotek.

Asi 10,53 jednotek za hodinu. Kolo se dvěma nulami stojí při této sázce a rychlosti přibližně o 5,13 jednotek více za hodinu.

Pokud je sázka 5 jednotek na otočení místo 1, vynásobte oba údaje 5: asi 27,03 jednotek za hodinu na kole s jednou nulou, asi 52,63 jednotek za hodinu na kole se dvěma nulami. Pokud je rychlost 100 otočení za hodinu místo 200, snižte je na polovinu. Procento výhody se nemění; peníze ano.

Na čem údaje závisí

Každé číslo výše závisí na konkrétních podmínkách. Tabulka níže je uvádí.

Údaj pro „ruletu“ bez typu kola je neúplný. Stejný název hry pokrývá obě kola a výhoda se liší téměř dvojnásobně. Sázka na pět čísel je samostatný řádek, protože je to jediná sázka na americkém layoutu, která neodpovídá zbytku stolu.

V čem lidé chybují

Nejčastější chybou je považovat kolo za něco, co má paměť. Číslo, které se neobjevilo mnoho otočení, není pravděpodobnější, že se objeví při dalším otočení. Každé otočení je nezávislé. Pravděpodobnost jakéhokoli konkrétního čísla na kole s jednou nulou je 1/37 při každém otočení, bez ohledu na to, co přišlo předtím. Totéž platí pro červenou nebo černou, lichou nebo sudou a každou další sázku. Neexistuje žádný mechanismus, kterým by minulé výsledky měnily fyzikální pravděpodobnosti dalšího výsledku. Kolo neví, co udělalo.

Tato chyba je přirozená, protože lidé hledají vzory v sekvencích. Řada deseti červených vypadá, že musí následovat černá, ale kolo nemá žádný stav, který by se dal opravit. Pravděpodobnost černé při dalším otočení je 18/37 na kole s jednou nulou, stejně jako byla při prvním otočení. Očekávaná ztráta na otočení se nemění.

Druhou častou chybou je víra, že sázkový systém mění výhodu. Martingale, d’Alembert, Fibonacci a Labouchere jsou progrese, které mění velikost sázek po výhrách nebo prohrách. Nemění výplatní tabulku ani počet polí. Očekávaná hodnota každé jednotlivé sázky je stejná bez ohledu na to, jak byla sázka zvolena. Progrese přetváří rozdělení výsledků: činí mnoho malých výher pravděpodobnějšími a několik velkých proher méně pravděpodobnými, nebo naopak. Střední hodnota rozdělení je určena kolem a výplatou. Žádná posloupnost velikostí sázek s ní nemůže pohnout. Hráč používající Martingale na kole s jednou nulou stále čelí očekávané ztrátě 2,70 % na jednotku vsazenou. Systém mění rozptyl, nikoli výhodu.

Tato chyba je přirozená, protože progrese produkují časté malé výhry, které působí jako důkaz výhody. Občasná velká prohra, která vyrovnává účty, se snadno považuje za odlehlou hodnotu, nikoli za druhou stranu stejného rozdělení.

Třetí chybou je srovnávat hry podle jejich nejlepší seance, nikoli podle očekávaných nákladů. Hráč, který vyhraje seanci na kole se dvěma nulami, neporazil výhodu 5,26 %; zažil jeden tah z rozdělení, jehož střední hodnota je záporná. Během mnoha otočení se průměr sbíhá k očekávané ztrátě. Výhoda je dlouhodobá vlastnost a dlouhodobý horizont je delší než většina seancí.

Živá ruleta a online ruleta

Výše uvedená aritmetika platí pro jakékoli ruletové kolo s uvedeným počtem polí a uvedenou výplatou. Živý ruletový stůl streamovaný na obrazovku používá fyzické kolo a počet polí a výplatní tabulka určují výhodu stejným způsobem. Online hra rulety, která používá generátor náhodných čísel k simulaci kola, sleduje stejnou výplatní strukturu a výhoda je určena stejným vztahem mezi výsledky a výplatami. Verze záleží: hra označená „evropská ruleta“ by měla mít 37 polí a výhodu 2,70 % u standardních sázek; hra označená „americká ruleta“ by měla mít 38 polí a výhodu 5,26 %. Pokud hra používá jinou výplatní tabulku, výhoda se mění a odvození musí být provedeno znovu se skutečnými čísly.

Pravidlo pro jakýkoli údaj o ruletě je stejné jako pro jakýkoli údaj o kasinu: uveďte kolo, výplatu a sázku. Bez nich procento není faktem o hře; je to číslo bez zdroje.