Шанси в рулетці та перевага казино: виведення

Перевага казино в рулетці — це не число, яке можна назвати без урахування колеса. Колесо з одним зеро має 37 лунок. Колесо з двома зеро має 38. Обидва виплачують за виграшну ставку на одне число 35 до 1. Ця різниця в одну лунку — це вся причина, чому дві гри коштують по-різному, і це перше, що потрібно встановити, перш ніж називати будь-яку цифру.

Колесо визначає арифметику

Колесо рулетки — це фізичний пристрій із фіксованою кількістю рівноймовірних результатів. На європейському колесі лунки пронумеровані від 1 до 36, плюс одне зеро. Це 37 лунок. На американському колесі лунки пронумеровані від 1 до 36, плюс зеро та подвійне зеро. Це 38 лунок. Кулька потрапляє в одну лунку за одне обертання. Жодна лунка не є більш імовірною за іншу, і попередній результат не впливає на наступний.

Таблиця виплат — це другий вхідний параметр. Ставка на одне число виплачується як 35 до 1. Це означає, що виграшна ставка в 1 одиницю повертає 35 одиниць прибутку плюс початкову ставку в 1 одиницю, загалом 36 одиниць. Виплата становить 35 до 1, а не 36 до 1. Різниця між виплатою та справжніми шансами — це перевага казино.

Виведення переваги на колесі з одним зеро

Візьміть ставку в 1 одиницю на одне число на європейському колесі.

• Є 37 рівноймовірних результатів.
• Один результат виграє. Ставка повертає 36 одиниць загалом (35 прибутку плюс 1 одиниця ставки).
• 36 результатів програють. Ставка повертає 0.

Очікуваний дохід — це сума кожного результату, помноженого на його ймовірність.

Очікуваний дохід = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Очікуваний дохід = 36/37
Очікуваний дохід = 0.972973

Очікуваний збиток на 1 одиницю ставки становить 1 − 0.972973 = 0.027027, або 2,70%.

Еквівалентно, перевага казино становить 1/37 = 0.027027. Одне зеро — це та лунка, яка не виплачує нічого тому, хто ставить на одне число, але все одно займає місце на колесі. Це джерело переваги.

Виведення переваги на колесі з двома зеро

Тепер візьміть ту саму ставку в 1 одиницю на одне число на американському колесі.

• Є 38 рівноймовірних результатів.
• Один результат виграє. Ставка повертає 36 одиниць загалом.
• 37 результатів програють. Ставка повертає 0.

Очікуваний дохід = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Очікуваний дохід = 36/38
Очікуваний дохід = 0.947368

Очікуваний збиток на 1 одиницю ставки = 1 − 0.947368 = 0.052632, або 5,26%.

Перевага казино становить 2/38 = 0.052632. Подвійне зеро додає другу лунку, яка не виплачує нічого за цією ставкою, і перевага майже подвоюється.

Кожна стандартна ставка має однакову перевагу

Ставка на одне число не є особливою. На даному колесі кожна ставка на столі має однакову перевагу казино, оскільки кожна ставка оцінюється за тими самими 37 або 38 лунками. Виплата завжди встановлюється так, щоб співвідношення виграшних лунок до програшних було на одну одиницю менше справедливого.

Розглянемо ставку на два числа на європейському колесі. Ставка на два числа охоплює два числа. Виплата становить 17 до 1. Виграшна ставка в 1 одиницю повертає 18 одиниць загалом (17 прибутку плюс ставка).

• Виграшні результати: 2 лунки.
• Програшні результати: 35 лунок.

Очікуваний дохід = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Очікуваний дохід = 36/37
Очікуваний дохід = 0.972973

Та сама перевага 2,70%. Те саме стосується ставки на кут (4 числа, 8 до 1), ставки на вулицю (3 числа, 11 до 1), ставки на колону (12 чисел, 2 до 1) та ставки з рівними шансами, як-от червоне або чорне (18 чисел, 1 до 1). Кожна виплачує на одну одиницю менше, ніж справжні шанси, що випливають із 37 лунок.

На колесі з двома зеро ті самі ставки мають перевагу 5,26%, за одним винятком.

Ставка на п’ять чисел на американському колесі

Американське колесо має ставку, якої не існує на європейському столі: ставка на п’ять чисел, що охоплює 0, 00, 1, 2 і 3. Вона виплачується як 6 до 1. Виграшна ставка в 1 одиницю повертає 7 одиниць загалом (6 прибутку плюс ставка).

• Виграшні результати: 5 лунок.
• Програшні результати: 33 лунки.

Очікуваний дохід = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Очікуваний дохід = 35/38
Очікуваний дохід = 0.921053

Очікуваний збиток на 1 одиницю ставки = 1 − 0.921053 = 0.078947, або 7,89%.

Ставка на п’ять чисел гірша за будь-яку іншу ставку на тому самому колесі. Причина в тому, що виплата 6 до 1 не є ціною на одну одиницю менше справедливої, яку використовують інші ставки. Справедливі шанси для 5 виграшних лунок із 38 становили б 33 до 5, або 6.6 до 1. Казино платить 6 до 1. Розрив більший, ніж за іншими ставками, і перевага зростає до 7,89%. Ця ставка — єдина стандартна ставка на будь-якому колесі, яка має іншу перевагу, ніж решта столу.

Скільки коштує перевага за годину

Відсоток від обороту — це не та величина, яку більшість людей можуть відчути. Та сама перевага 2,70% коштує дуже різні суми залежно від розміру ставки та кількості обертань за годину.

Припустимо, гравець ставить 1 одиницю за обертання на колесі з одним зеро і грає 200 обертань за годину. Це правдоподібна швидкість для живого столу рулетки з дилером, хоча фактичні швидкості залежать від столу та гравця.

• Загальна сума ставок за годину: 1 × 200 = 200 одиниць.
• Очікуваний збиток: 200 × 0.027027 = 5.4054 одиниць.

За ставки 1 одиниця за обертання та 200 обертань за годину очікувана вартість становить близько 5,40 одиниць за годину на колесі з одним зеро.

На колесі з двома зеро за тієї самої ставки та швидкості:

• Загальна сума ставок: 200 одиниць.
• Очікуваний збиток: 200 × 0.052632 = 10.5264 одиниць.

Близько 10,53 одиниць за годину. Колесо з двома зеро коштує приблизно на 5,13 одиниць більше за годину за цієї ставки та швидкості.

Якщо ставка становить 5 одиниць за обертання замість 1, помножте обидві цифри на 5: близько 27,03 одиниць за годину на колесі з одним зеро, близько 52,63 одиниць за годину на колесі з двома зеро. Якщо швидкість становить 100 обертань за годину замість 200, зменшіть їх удвічі. Відсоток переваги не змінюється; змінюється сума грошей.

Від чого залежать цифри

Кожне число вище залежить від конкретних умов. Таблиця нижче їх наводить.

Цифра для «рулетки» без типу колеса є неповною. Та сама назва гри охоплює обидва колеса, і перевага відрізняється майже вдвічі. Ставка на п’ять чисел — це окремий рядок, оскільки це єдина ставка на американському столі, яка не відповідає решті столу.

У чому люди помиляються

Найпоширеніша помилка — вважати, що колесо має пам’ять. Число, яке не випадало багато обертань, не стає більш імовірним у наступному обертанні. Кожне обертання є незалежним. Імовірність будь-якого конкретного числа на колесі з одним зеро становить 1/37 за кожного обертання, незалежно від того, що було раніше. Те саме стосується червоного чи чорного, непарного чи парного та будь-якої іншої ставки. Немає механізму, за допомогою якого минулі результати змінюють фізичні ймовірності наступного результату. Колесо не знає, що воно зробило.

Ця помилка природна, оскільки люди шукають закономірності в послідовностях. Серія з десяти червоних здається такою, що після неї обов’язково має бути чорне, але колесо не має стану для виправлення. Імовірність чорного в наступному обертанні становить 18/37 на колесі з одним зеро, така сама, як і в першому обертанні. Очікуваний збиток за обертання не змінюється.

Друга поширена помилка — віра в те, що система ставок змінює перевагу. Мартингейл, д’Аламбер, Фібоначчі та Лабущер — це прогресії, які змінюють розмір ставок після виграшів або програшів. Вони не змінюють таблицю виплат або кількість лунок. Очікуване значення кожної окремої ставки однакове незалежно від того, як було обрано ставку. Прогресія змінює розподіл результатів: вона робить багато маленьких виграшів більш імовірними, а кілька великих програшів — менш імовірними, або навпаки. Середнє розподілу фіксується колесом і виплатою. Жодна послідовність розмірів ставок не може його змінити. Гравець, який використовує Мартингейл на колесі з одним зеро, все одно стикається з очікуваним збитком 2,70% на одиницю ставки. Система змінює дисперсію, а не перевагу.

Ця помилка природна, оскільки прогресії дають часті маленькі виграші, які здаються доказом переваги. Випадковий великий програш, який балансує рахунок, легко сприйняти як викид, а не як інший бік того самого розподілу.

Третя помилка — порівнювати ігри за їхнім найкращим сеансом, а не за очікуваною вартістю. Гравець, який виграв сеанс на колесі з двома зеро, не подолав перевагу 5,26%; він отримав один результат із розподілу, середнє якого є від’ємним. За багатьох обертань середнє наближається до очікуваного збитку. Перевага — це властивість довгострокової перспективи, а довгострокова перспектива довша за більшість сеансів.

Жива рулетка та онлайн-рулетка

Арифметика вище застосовується до будь-якого колеса рулетки із зазначеною кількістю лунок і зазначеною виплатою. Живий стіл рулетки, що транслюється на екран, використовує фізичне колесо, і кількість лунок та таблиця виплат визначають перевагу так само. Онлайн-гра в рулетку, яка використовує генератор випадкових чисел для імітації колеса, дотримується тієї самої структури виплат, і перевага встановлюється тим самим співвідношенням між результатами та виплатами. Версія має значення: гра з позначкою «європейська рулетка» повинна мати 37 лунок і перевагу 2,70% на стандартних ставках; гра з позначкою «американська рулетка» повинна мати 38 лунок і перевагу 5,26%. Якщо гра використовує іншу таблицю виплат, перевага змінюється, і виведення потрібно повторити з фактичними числами.

Правило для будь-якої цифри рулетки таке саме, як і для будь-якої цифри казино: вкажіть колесо, виплату та ставку. Без них відсоток не є фактом про гру; це число без джерела.