Roulette: Hausvorteil und Quoten hergeleitet

Der Hausvorteil beim Roulette ist keine Zahl, die man ohne das Rad nennen kann. Ein Rad mit einer Null hat 37 Fächer. Ein Rad mit zwei Nullen hat 38. Beide zahlen eine gewinnende Plein-Zahl mit 35 zu 1 aus. Dieser Unterschied von einem Fach ist der ganze Grund, warum die beiden Spiele unterschiedlich viel kosten, und er ist das Erste, was festgehalten werden muss, bevor eine Zahl genannt wird.

Das Rad bestimmt die Arithmetik

Ein Roulette-Rad ist ein physisches Gerät mit einer festen Anzahl gleich wahrscheinlicher Ergebnisse. Bei einem europäischen Rad sind die Fächer mit 1 bis 36 nummeriert, plus eine einzelne Null. Das sind 37 Fächer. Bei einem amerikanischen Rad sind die Fächer 1 bis 36, plus eine Null und eine Doppelnull. Das sind 38 Fächer. Die Kugel landet pro Dreh in einem Fach. Kein Fach ist wahrscheinlicher als ein anderes, und das vorherige Ergebnis hat keinen Einfluss auf das nächste.

Die Auszahlungstabelle ist der zweite Input. Eine Plein-Wette auf eine einzelne Zahl zahlt 35 zu 1. Das bedeutet, ein gewinnender Einsatz von 1 Einheit bringt 35 Einheiten Gewinn plus den ursprünglichen Einsatz von 1 Einheit zurück, insgesamt also 36 Einheiten. Die Auszahlung ist 35 zu 1, nicht 36 zu 1. Die Differenz zwischen der Auszahlung und den wahren Quoten ist der Hausvorteil.

Herleitung des Vorteils bei einem Rad mit einer Null

Nehmen wir eine Plein-Wette von 1 Einheit auf eine einzelne Zahl an einem europäischen Rad.

• Es gibt 37 gleich wahrscheinliche Ergebnisse.
• Ein Ergebnis gewinnt. Die Wette bringt insgesamt 36 Einheiten zurück (35 Gewinn plus 1 Einheit Einsatz).
• 36 Ergebnisse verlieren. Die Wette bringt 0 zurück.

Der Erwartungswert ist die Summe jedes Ergebnisses multipliziert mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Erwartungswert = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Erwartungswert = 36/37
Erwartungswert = 0,972973

Der erwartete Verlust pro 1 Einheit Einsatz ist 1 − 0,972973 = 0,027027, also 2,70 %.

Gleichwertig ist der Hausvorteil 1/37 = 0,027027. Die einzelne Null ist das eine Fach, das dem Plein-Spieler nichts auszahlt, aber dennoch einen Platz auf dem Rad einnimmt. Das ist die Quelle des Vorteils.

Herleitung des Vorteils bei einem Rad mit zwei Nullen

Nun nehmen wir dieselbe Plein-Wette von 1 Einheit an einem amerikanischen Rad.

• Es gibt 38 gleich wahrscheinliche Ergebnisse.
• Ein Ergebnis gewinnt. Die Wette bringt insgesamt 36 Einheiten zurück.
• 37 Ergebnisse verlieren. Die Wette bringt 0 zurück.

Erwartungswert = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Erwartungswert = 36/38
Erwartungswert = 0,947368

Erwarteter Verlust pro 1 Einheit Einsatz = 1 − 0,947368 = 0,052632, also 5,26 %.

Der Hausvorteil ist 2/38 = 0,052632. Die Doppelnull fügt ein zweites Fach hinzu, das bei dieser Wette nichts auszahlt, und der Vorteil verdoppelt sich fast.

Jede Standardwette trägt denselben Vorteil

Die Plein-Wette ist nichts Besonderes. Auf einem gegebenen Rad hat jede Wette auf dem Tableau denselben Hausvorteil, weil jede Wette auf denselben 37 oder 38 Fächern basiert. Die Auszahlung ist immer so festgelegt, dass das Verhältnis von gewinnenden zu verlierenden Fächern eine Einheit unter fair liegt.

Betrachten wir eine Cheval-Wette (Split) an einem europäischen Rad. Ein Split deckt zwei Zahlen ab. Die Auszahlung ist 17 zu 1. Eine gewinnende Wette von 1 Einheit bringt insgesamt 18 Einheiten zurück (17 Gewinn plus Einsatz).

• Gewinnende Ergebnisse: 2 Fächer.
• Verlierende Ergebnisse: 35 Fächer.

Erwartungswert = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Erwartungswert = 36/37
Erwartungswert = 0,972973

Derselbe Vorteil von 2,70 %. Dasselbe gilt für eine Corner-Wette (4 Zahlen, 8 zu 1), eine Street (3 Zahlen, 11 zu 1), eine Kolonne (12 Zahlen, 2 zu 1) und eine Einfache Chance wie Rot oder Schwarz (18 Zahlen, 1 zu 1). Jede zahlt eine Einheit weniger als die wahren Quoten, die sich aus den 37 Fächern ergeben.

Auf dem Rad mit zwei Nullen tragen dieselben Wetten 5,26 %, mit einer Ausnahme.

Die Fünf-Zahlen-Wette am amerikanischen Rad

Das amerikanische Rad hat eine Wette, die es auf dem europäischen Tableau nicht gibt: die Fünf-Zahlen-Wette, die 0, 00, 1, 2 und 3 abdeckt. Sie zahlt 6 zu 1. Eine gewinnende Wette von 1 Einheit bringt insgesamt 7 Einheiten zurück (6 Gewinn plus Einsatz).

• Gewinnende Ergebnisse: 5 Fächer.
• Verlierende Ergebnisse: 33 Fächer.

Erwartungswert = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Erwartungswert = 35/38
Erwartungswert = 0,921053

Erwarteter Verlust pro 1 Einheit Einsatz = 1 − 0,921053 = 0,078947, also 7,89 %.

Die Fünf-Zahlen-Wette ist schlechter als jede andere Wette auf demselben Rad. Der Grund ist, dass die Auszahlung von 6 zu 1 nicht der Preis eine Einheit unter fair ist, den die anderen Wetten verwenden. Faire Quoten für 5 gewinnende Fächer von 38 wären 33 zu 5, also 6,6 zu 1. Das Casino zahlt 6 zu 1. Die Differenz ist größer als bei den anderen Wetten, und der Vorteil steigt auf 7,89 %. Diese Wette ist die einzige Standardwette auf beiden Rädern, die einen anderen Vorteil als der Rest des Tableaus trägt.

Was der Vorteil pro Stunde kostet

Ein Prozentsatz des Umsatzes ist keine Größe, die die meisten Menschen fühlen können. Derselbe Vorteil von 2,70 % kostet sehr unterschiedliche Beträge, je nach Einsatzhöhe und Anzahl der Drehungen pro Stunde.

Nehmen wir an, ein Spieler setzt 1 Einheit pro Dreh an einem Rad mit einer Null und spielt 200 Drehungen pro Stunde. Das ist eine plausible Rate für einen Live-Roulette-Tisch mit Dealer, wobei die tatsächlichen Raten je nach Tisch und Spieler variieren.

• Gesamter Einsatz in einer Stunde: 1 × 200 = 200 Einheiten.
• Erwarteter Verlust: 200 × 0,027027 = 5,4054 Einheiten.

Bei 1 Einheit pro Dreh und 200 Drehungen pro Stunde betragen die erwarteten Kosten etwa 5,40 Einheiten pro Stunde an einem Rad mit einer Null.

An einem Rad mit zwei Nullen bei gleichem Einsatz und gleicher Rate:

• Gesamter Einsatz: 200 Einheiten.
• Erwarteter Verlust: 200 × 0,052632 = 10,5264 Einheiten.

Etwa 10,53 Einheiten pro Stunde. Das Rad mit zwei Nullen kostet bei diesem Einsatz und dieser Rate etwa 5,13 Einheiten mehr pro Stunde.

Wenn der Einsatz 5 Einheiten pro Dreh statt 1 beträgt, multiplizieren Sie beide Zahlen mit 5: etwa 27,03 Einheiten pro Stunde bei einer Null, etwa 52,63 Einheiten pro Stunde bei zwei Nullen. Wenn die Rate 100 Drehungen pro Stunde statt 200 beträgt, halbieren Sie sie. Der prozentuale Vorteil ändert sich nicht; das Geld schon.

Wovon die Zahlen abhängen

Jede Zahl oben hängt von bestimmten Bedingungen ab. Die folgende Tabelle nennt sie.

Eine Zahl für „Roulette“ ohne den Radtyp ist unvollständig. Derselbe Spielname deckt beide Räder ab, und der Vorteil unterscheidet sich um fast den Faktor zwei. Die Fünf-Zahlen-Wette ist eine separate Zeile, weil sie die einzige Wette auf dem amerikanischen Tableau ist, die nicht zum Rest passt.

Was die Leute falsch machen

Der häufigste Fehler ist, das Rad so zu behandeln, als hätte es ein Gedächtnis. Eine Zahl, die viele Drehungen lang nicht erschienen ist, ist beim nächsten Dreh nicht wahrscheinlicher. Jeder Dreh ist unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl an einem Rad mit einer Null ist bei jedem Dreh 1/37, unabhängig davon, was vorher kam. Dasselbe gilt für Rot oder Schwarz, Gerade oder Ungerade und jede andere Wette. Es gibt keinen Mechanismus, durch den vergangene Ergebnisse die physischen Wahrscheinlichkeiten des nächsten Ergebnisses ändern. Das Rad weiß nicht, was es getan hat.

Dieser Fehler ist natürlich, weil Menschen in Sequenzen nach Mustern suchen. Eine Serie von zehn Rot fühlt sich an, als müsste Schwarz folgen, aber das Rad hat keinen Zustand, der korrigiert werden könnte. Die Wahrscheinlichkeit für Schwarz beim nächsten Dreh ist 18/37 an einem Rad mit einer Null, genau wie beim ersten Dreh. Der erwartete Verlust pro Dreh bleibt unverändert.

Der zweite häufige Fehler ist die Annahme, dass ein Einsatzsystem den Vorteil ändert. Martingale, d’Alembert, Fibonacci und Labouchere sind Progressionen, die die Einsatzhöhe nach Gewinnen oder Verlusten ändern. Sie ändern nicht die Auszahlungstabelle oder die Anzahl der Fächer. Der Erwartungswert jeder einzelnen Wette ist derselbe, unabhängig davon, wie der Einsatz gewählt wurde. Eine Progression formt die Verteilung der Ergebnisse um: Sie macht viele kleine Gewinne wahrscheinlicher und einige große Verluste unwahrscheinlicher, oder umgekehrt. Der Mittelwert der Verteilung wird durch das Rad und die Auszahlung festgelegt. Keine Folge von Einsatzhöhen kann ihn verschieben. Ein Spieler, der Martingale an einem Rad mit einer Null verwendet, sieht sich weiterhin einem erwarteten Verlust von 2,70 % pro eingesetzter Einheit gegenüber. Das System ändert die Varianz, nicht den Vorteil.

Dieser Fehler ist natürlich, weil Progressionen häufig kleine Gewinne produzieren, die wie ein Beweis für einen Vorteil wirken. Der gelegentliche große Verlust, der die Bilanz ausgleicht, lässt sich leicht als Ausreißer statt als die andere Seite derselben Verteilung behandeln.

Ein dritter Fehler ist, Spiele nach ihrer besten Sitzung statt nach ihren erwarteten Kosten zu vergleichen. Ein Spieler, der eine Sitzung an einem Rad mit zwei Nullen gewinnt, hat den Vorteil von 5,26 % nicht besiegt; er hat eine Ziehung aus einer Verteilung erlebt, deren Mittelwert negativ ist. Über viele Drehungen konvergiert der Durchschnitt gegen den erwarteten Verlust. Der Vorteil ist eine Langzeiteigenschaft, und die Langzeit ist länger als die meisten Sitzungen.

Live-Roulette und Online-Roulette

Die obige Arithmetik gilt für jedes Roulette-Rad mit der genannten Anzahl von Fächern und der genannten Auszahlung. Ein Live-Roulette-Tisch, der auf einen Bildschirm gestreamt wird, verwendet ein physisches Rad, und die Anzahl der Fächer und die Auszahlungstabelle bestimmen den Vorteil auf dieselbe Weise. Ein Online-Roulette-Spiel, das einen Zufallszahlengenerator zur Simulation eines Rads verwendet, folgt derselben Auszahlungsstruktur, und der Vorteil ergibt sich aus derselben Beziehung zwischen Ergebnissen und Auszahlungen. Die Version ist wichtig: Ein Spiel mit der Bezeichnung „Europäisches Roulette“ sollte 37 Fächer und einen Vorteil von 2,70 % bei Standardwetten haben; ein Spiel mit der Bezeichnung „Amerikanisches Roulette“ sollte 38 Fächer und einen Vorteil von 5,26 % haben. Wenn ein Spiel eine andere Auszahlungstabelle verwendet, ändert sich der Vorteil, und die Herleitung muss mit den tatsächlichen Zahlen neu durchgeführt werden.

Die Regel für jede Roulette-Zahl ist dieselbe wie für jede Casino-Zahl: Nennen Sie das Rad, die Auszahlung und die Wette. Ohne diese ist der Prozentsatz keine Tatsache über das Spiel; er ist eine Zahl ohne Quelle.