Probabilités à la roulette et avantage de la maison

L’avantage de la maison à la roulette n’est pas un chiffre que l’on peut citer sans préciser la roue. Une roue à un zéro a 37 cases. Une roue à deux zéros en a 38. Les deux paient un numéro plein gagnant à 35 contre 1. Cette différence d’une case est toute la raison pour laquelle les deux jeux coûtent des montants différents à jouer, et c’est la première chose à établir avant d’énoncer le moindre chiffre.

La roue détermine l’arithmétique

Une roue de roulette est un dispositif physique avec un nombre fixe de résultats également probables. Sur une roue européenne, les cases sont numérotées de 1 à 36, plus un seul zéro. Cela fait 37 cases. Sur une roue américaine, les cases vont de 1 à 36, plus un zéro et un double zéro. Cela fait 38 cases. La bille tombe dans une case par tour. Aucune case n’est plus probable qu’une autre, et le résultat précédent n’a aucune influence sur le suivant.

La table de paiements est la seconde donnée. Un pari plein sur un seul numéro paie 35 contre 1. Cela signifie qu’une mise gagnante de 1 unité rapporte 35 unités de profit plus la mise initiale de 1 unité, soit un total de 36 unités rendues. Le paiement est de 35 contre 1, pas de 36 contre 1. La différence entre le paiement et les cotes réelles est l’avantage de la maison.

Calcul de l’avantage sur une roue à un zéro

Prenons un pari plein de 1 unité sur un seul numéro sur une roue européenne.

• Il y a 37 résultats également probables.
• Un résultat gagne. Le pari rend 36 unités au total (35 de profit plus la mise de 1 unité).
• 36 résultats perdent. Le pari rend 0.

Le retour espéré est la somme de chaque résultat multiplié par sa probabilité.

Retour espéré = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Retour espéré = 36/37
Retour espéré = 0,972973

La perte espérée pour 1 unité misée est de 1 − 0,972973 = 0,027027, soit 2,70 %.

De façon équivalente, l’avantage de la maison est de 1/37 = 0,027027. Le zéro unique est la case qui ne paie rien au parieur plein mais occupe tout de même un emplacement sur la roue. C’est la source de l’avantage.

Calcul de l’avantage sur une roue à deux zéros

Prenons maintenant le même pari plein de 1 unité sur une roue américaine.

• Il y a 38 résultats également probables.
• Un résultat gagne. Le pari rend 36 unités au total.
• 37 résultats perdent. Le pari rend 0.

Retour espéré = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Retour espéré = 36/38
Retour espéré = 0,947368

Perte espérée pour 1 unité misée = 1 − 0,947368 = 0,052632, soit 5,26 %.

L’avantage de la maison est de 2/38 = 0,052632. Le double zéro ajoute une seconde case qui ne paie rien sur ce pari, et l’avantage presque double.

Chaque pari standard porte le même avantage

Le pari plein n’a rien de particulier. Sur une roue donnée, chaque pari sur le tapis a le même avantage de la maison, parce que chaque pari est tarifé à partir des mêmes 37 ou 38 cases. Le paiement est toujours fixé de sorte que le rapport entre cases gagnantes et cases perdantes soit inférieur d’une unité à l’équité.

Prenons un pari à cheval sur une roue européenne. Un cheval couvre deux numéros. Le paiement est de 17 contre 1. Un pari gagnant de 1 unité rend 18 unités au total (17 de profit plus la mise).

• Résultats gagnants : 2 cases.
• Résultats perdants : 35 cases.

Retour espéré = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Retour espéré = 36/37
Retour espéré = 0,972973

Même avantage de 2,70 %. Il en va de même pour un pari carré (4 numéros, 8 contre 1), un pari transversale (3 numéros, 11 contre 1), une colonne (12 numéros, 2 contre 1) et un pari à chances simples comme rouge ou noir (18 numéros, 1 contre 1). Chacun paie une unité de moins que les cotes réelles impliquées par les 37 cases.

Sur la roue à deux zéros, les mêmes paris portent 5,26 %, à une exception près.

Le pari à cinq numéros sur la roue américaine

La roue américaine comporte un pari qui n’existe pas sur le tapis européen : le pari à cinq numéros, couvrant 0, 00, 1, 2 et 3. Il paie 6 contre 1. Un pari gagnant de 1 unité rend 7 unités au total (6 de profit plus la mise).

• Résultats gagnants : 5 cases.
• Résultats perdants : 33 cases.

Retour espéré = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Retour espéré = 35/38
Retour espéré = 0,921053

Perte espérée pour 1 unité misée = 1 − 0,921053 = 0,078947, soit 7,89 %.

Le pari à cinq numéros est pire que tous les autres paris de la même roue. La raison est que le paiement de 6 contre 1 n’est pas le prix inférieur d’une unité à l’équité qu’utilisent les autres paris. Les cotes équitables pour 5 cases gagnantes sur 38 seraient de 33 contre 5, soit 6,6 contre 1. Le casino paie 6 contre 1. L’écart est plus grand que sur les autres paris, et l’avantage monte à 7,89 %. Ce pari est la seule mise standard sur l’une ou l’autre roue qui porte un avantage différent du reste de la table.

Ce que l’avantage coûte par heure

Un pourcentage du volume misé n’est pas une quantité que la plupart des gens peuvent ressentir. Le même avantage de 2,70 % coûte des montants très différents selon la taille de la mise et le nombre de tours joués par heure.

Supposons qu’un joueur mise 1 unité par tour sur une roue à un zéro et joue 200 tours par heure. C’est un rythme plausible pour une table de roulette en direct avec un croupier, bien que les rythmes réels varient selon la table et le joueur.

• Montant total misé en une heure : 1 × 200 = 200 unités.
• Perte espérée : 200 × 0,027027 = 5,4054 unités.

À 1 unité par tour et 200 tours par heure, le coût espéré est d’environ 5,40 unités par heure sur une roue à un zéro.

Sur une roue à deux zéros à mise et rythme égaux :

• Total misé : 200 unités.
• Perte espérée : 200 × 0,052632 = 10,5264 unités.

Environ 10,53 unités par heure. La roue à deux zéros coûte environ 5,13 unités de plus par heure à cette mise et ce rythme.

Si la mise est de 5 unités par tour au lieu de 1, multipliez les deux chiffres par 5 : environ 27,03 unités par heure à un zéro, environ 52,63 unités par heure à deux zéros. Si le rythme est de 100 tours par heure au lieu de 200, divisez-les par deux. Le pourcentage d’avantage ne change pas ; l’argent, si.

Ce dont dépendent les chiffres

Chaque nombre ci-dessus dépend de conditions précises. Le tableau ci-dessous les énonce.

Un chiffre pour « la roulette » sans le type de roue est incomplet. Le même nom de jeu couvre les deux roues, et l’avantage diffère d’un facteur de près de deux. Le pari à cinq numéros constitue une ligne à part parce que c’est le seul pari du tapis américain qui ne correspond pas au reste de la table.

Ce que les gens comprennent mal

L’erreur la plus courante est de traiter la roue comme si elle avait une mémoire. Un numéro qui n’est pas apparu depuis de nombreux tours n’est pas plus susceptible d’apparaître au tour suivant. Chaque tour est indépendant. La probabilité de n’importe quel numéro précis sur une roue à un zéro est de 1/37 à chaque tour, quels que soient les résultats précédents. Il en va de même pour rouge ou noir, pair ou impair, et tout autre pari. Il n’existe aucun mécanisme par lequel les résultats passés modifient les probabilités physiques du résultat suivant. La roue ne sait pas ce qu’elle a fait.

Cette erreur est naturelle parce que les gens cherchent des motifs dans les séquences. Une série de dix rouges donne l’impression qu’un noir doit suivre, mais la roue n’a aucun état à corriger. La probabilité de noir au tour suivant est de 18/37 sur une roue à un zéro, la même qu’au premier tour. La perte espérée par tour est inchangée.

La deuxième erreur courante est de croire qu’un système de mise change l’avantage. Martingale, d’Alembert, Fibonacci et Labouchere sont des progressions qui changent la taille des mises après des gains ou des pertes. Elles ne changent ni la table de paiements ni le nombre de cases. L’espérance de chaque pari individuel est la même quelle que soit la façon dont la mise a été choisie. Une progression remodèle la distribution des résultats : elle rend plus probables de nombreux petits gains et moins probables quelques grosses pertes, ou l’inverse. La moyenne de la distribution est fixée par la roue et le paiement. Aucune séquence de tailles de mise ne peut la déplacer. Un joueur qui utilise Martingale sur une roue à un zéro fait toujours face à une perte espérée de 2,70 % par unité misée. Le système change la variance, pas l’avantage.

Cette erreur est naturelle parce que les progressions produisent de fréquents petits gains, qui ressemblent à la preuve d’un avantage. La grosse perte occasionnelle qui équilibre les comptes est facile à traiter comme une anomalie plutôt que comme l’autre face de la même distribution.

Une troisième erreur est de comparer les jeux par leur meilleure session plutôt que par leur coût espéré. Un joueur qui gagne une session sur une roue à deux zéros n’a pas battu l’avantage de 5,26 % ; il a vécu un tirage d’une distribution dont la moyenne est négative. Sur de nombreux tours, la moyenne converge vers la perte espérée. L’avantage est une propriété de long terme, et le long terme est plus long que la plupart des sessions.

Roulette en direct et roulette en ligne

L’arithmétique ci-dessus s’applique à toute roue de roulette ayant le nombre de cases indiqué et le paiement indiqué. Une table de roulette en direct diffusée sur un écran utilise une roue physique, et le nombre de cases et la table de paiements déterminent l’avantage de la même manière. Un jeu de roulette en ligne qui utilise un générateur de nombres aléatoires pour simuler une roue suit la même structure de paiements, et l’avantage est fixé par la même relation entre résultats et paiements. La version compte : un jeu étiqueté « roulette européenne » devrait avoir 37 cases et un avantage de 2,70 % sur les paris standards ; un jeu étiqueté « roulette américaine » devrait avoir 38 cases et un avantage de 5,26 %. Si un jeu utilise une table de paiements différente, l’avantage change, et le calcul doit être refait avec les chiffres réels.

La règle pour tout chiffre de roulette est la même que pour tout chiffre de casino : énoncer la roue, le paiement et le pari. Sans cela, le pourcentage n’est pas un fait sur le jeu ; c’est un nombre sans source.