Rulett esélyek és házelőny: levezetés

A rulett házelőnye nem egy szám, amelyet a kerék ismerete nélkül lehet idézni. Az egynullás keréknek 37 zsebe van. A kétnullás keréknek 38. Mindkettő 35 az 1-hez arányban fizet egy nyertes egyenes tétrre. Ez az egy zseb különbség az egész oka annak, hogy a két játék megjátszása eltérő összegbe kerül, és ezt kell először tisztázni, mielőtt bármilyen számot kimondanánk.

A kerék határozza meg az aritmetikát

A rulettkerék egy fizikai eszköz, amelynek rögzített számú, egyenlő valószínűségű kimenetele van. Egy európai keréken a zsebek 1-től 36-ig vannak számozva, plusz egy nulla. Ez 37 zseb. Egy amerikai keréken a zsebek 1-től 36-ig vannak számozva, plusz egy nulla és egy dupla nulla. Ez 38 zseb. A golyó pörgetésenként egy zsebbe esik. Egyik zseb sem valószínűbb a másiknál, és az előző eredmény nincs hatással a következőre.

A kifizetési tábla a második bemenet. Egy egyenes tét egyetlen számra 35 az 1-hez arányban fizet. Ez azt jelenti, hogy egy nyertes 1 egység tét 35 egység nyereséget hoz vissza plusz az eredeti 1 egység tétet, összesen 36 egységet. A kifizetés 35 az 1-hez, nem 36 az 1-hez. A kifizetés és a valódi esélyek közötti különbség a házelőny.

A házelőny levezetése egynullás keréken

Vegyünk egy 1 egység egyenes tétet egyetlen számra egy európai keréken.

• 37 egyenlő valószínűségű kimenetel van.
• Egy kimenetel nyer. A tét összesen 36 egységet hoz vissza (35 nyereség plusz az 1 egység tét).
• 36 kimenetel veszít. A tét 0-t hoz vissza.

A várható megtérülés az egyes kimenetelek és valószínűségeik szorzatának összege.

Várható megtérülés = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Várható megtérülés = 36/37
Várható megtérülés = 0,972973

A várható veszteség 1 egység megtett tétre 1 − 0,972973 = 0,027027, azaz 2,70%.

Ezzel egyenértékűen a házelőny 1/37 = 0,027027. Az egyetlen nulla az a zseb, amely semmit sem fizet az egyenes tétnek, de mégis elfoglal egy helyet a keréken. Ez a házelőny forrása.

A házelőny levezetése kétnullás keréken

Most vegyük ugyanezt az 1 egység egyenes tétet egy amerikai keréken.

• 38 egyenlő valószínűségű kimenetel van.
• Egy kimenetel nyer. A tét összesen 36 egységet hoz vissza.
• 37 kimenetel veszít. A tét 0-t hoz vissza.

Várható megtérülés = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Várható megtérülés = 36/38
Várható megtérülés = 0,947368

Várható veszteség 1 egység megtett tétre = 1 − 0,947368 = 0,052632, azaz 5,26%.

A házelőny 2/38 = 0,052632. A dupla nulla hozzáad egy második zsebet, amely semmit sem fizet erre a tétre, és a házelőny majdnem megduplázódik.

Minden standard tét ugyanazt a házelőnyt hordozza

Az egyenes tét nem különleges. Egy adott keréken a játéktáblán minden tét ugyanazzal a házelőnnyel rendelkezik, mert minden tét ugyanazon 37 vagy 38 zseb alapján van árazva. A kifizetés mindig úgy van beállítva, hogy a nyertes zsebek és a vesztes zsebek aránya egy egységgel a tisztességes alatt legyen.

Vegyünk egy osztott tétet egy európai keréken. Az osztott tét két számot fed le. A kifizetés 17 az 1-hez. Egy nyertes 1 egység tét összesen 18 egységet hoz vissza (17 nyereség plusz tét).

• Nyertes kimenetelek: 2 zseb.
• Vesztes kimenetelek: 35 zseb.

Várható megtérülés = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Várható megtérülés = 36/37
Várható megtérülés = 0,972973

Ugyanaz a 2,70%-os házelőny. Ugyanez érvényes egy saroktétre (4 szám, 8 az 1-hez), egy utcatétre (3 szám, 11 az 1-hez), egy oszloptétre (12 szám, 2 az 1-hez) és egy pénzegyenlő tétre, mint a piros vagy fekete (18 szám, 1 az 1-hez). Mindegyik egy egységgel kevesebbet fizet, mint a 37 zseb által implikált valódi esélyek.

A kétnullás keréken ugyanezek a tétek 5,26%-ot hordoznak, egy kivétellel.

Az ötszámos tét az amerikai keréken

Az amerikai keréken van egy tét, amely nem létezik az európai játéktáblán: az ötszámos tét, amely a 0-t, 00-t, 1-et, 2-t és 3-at fedi. 6 az 1-hez arányban fizet. Egy nyertes 1 egység tét összesen 7 egységet hoz vissza (6 nyereség plusz tét).

• Nyertes kimenetelek: 5 zseb.
• Vesztes kimenetelek: 33 zseb.

Várható megtérülés = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Várható megtérülés = 35/38
Várható megtérülés = 0,921053

Várható veszteség 1 egység megtett tétre = 1 − 0,921053 = 0,078947, azaz 7,89%.

Az ötszámos tét rosszabb, mint bármely más tét ugyanazon a keréken. Az ok az, hogy a 6 az 1-hez kifizetés nem az az egy egységgel a tisztességes alatti ár, amelyet a többi tét használ. A tisztességes esély 5 nyertes zsebre a 38-ból 33 az 5-höz, azaz 6,6 az 1-hez lenne. A kaszinó 6 az 1-hez fizet. A hiány nagyobb, mint a többi tétnél, és a házelőny 7,89%-ra nő. Ez a tét az egyetlen standard fogadás mindkét keréken, amely eltérő házelőnnyel rendelkezik a tábla többi részéhez képest.

Mennyibe kerül a házelőny óránként

A forgalom egy százaléka nem olyan mennyiség, amelyet a legtöbb ember meg tud érezni. Ugyanaz a 2,70%-os házelőny nagyon különböző összegekbe kerül a tét nagyságától és az óránkénti pörgetések számától függően.

Tegyük fel, hogy egy játékos 1 egységet tesz meg pörgetésenként egy egynullás keréken, és óránként 200 pörgetést játszik. Ez egy valószínű arány egy élő rulettasztalnál osztóval, bár a tényleges arányok az asztaltól és a játékostól függően változnak.

• Egy óra alatt megtett teljes összeg: 1 × 200 = 200 egység.
• Várható veszteség: 200 × 0,027027 = 5,4054 egység.

1 egység pörgetésenkénti tét és 200 pörgetés óránként mellett a várható költség körülbelül 5,40 egység óránként egy egynullás keréken.

Egy kétnullás keréken ugyanazzal a téttel és aránnyal:

• Teljes megtett tét: 200 egység.
• Várható veszteség: 200 × 0,052632 = 10,5264 egység.

Körülbelül 10,53 egység óránként. A kétnullás kerék körülbelül 5,13 egységgel kerül többe óránként ezen a téten és arányon.

Ha a tét 5 egység pörgetésenként 1 helyett, szorozzuk meg mindkét számot 5-tel: körülbelül 27,03 egység óránként egynullás esetén, körülbelül 52,63 egység óránként kétnullás esetén. Ha az arány 100 pörgetés óránként 200 helyett, felezzük meg őket. A házelőny százaléka nem változik; a pénz igen.

Mitől függenek a számok

Minden fenti szám konkrét feltételektől függ. Az alábbi táblázat ezeket mutatja.

A “rulettre” vonatkozó szám a kerék típusa nélkül hiányos. Ugyanaz a játéknév mindkét kereket lefedi, és a házelőny majdnem kétszeres tényezővel tér el. Az ötszámos tét külön sor, mert ez az egyetlen tét az amerikai játéktáblán, amely nem egyezik a tábla többi részével.

Amit az emberek rosszul értenek

A leggyakoribb hiba, hogy a kereket memóriával rendelkezőnek tekintik. Egy szám, amely sok pörgetés óta nem jelent meg, nem valószínűbb, hogy a következő pörgetésnél megjelenik. Minden pörgetés független. Bármely konkrét szám valószínűsége egy egynullás keréken minden pörgetésnél 1/37, függetlenül attól, hogy mi történt előtte. Ugyanez vonatkozik a pirosra vagy feketére, páratlanra vagy párosra, és minden más tétre. Nincs olyan mechanizmus, amely által a múltbeli eredmények megváltoztatnák a következő eredmény fizikai valószínűségeit. A kerék nem tudja, mit tett.

Ez a hiba természetes, mert az emberek mintákat keresnek a sorozatokban. Tíz piros sorozata úgy tűnik, mintha feketének kellene követnie, de a keréknek nincs állapota, amelyet korrigálni kellene. A fekete valószínűsége a következő pörgetésnél 18/37 egy egynullás keréken, ugyanaz, mint az első pörgetésnél. A várható veszteség pörgetésenként változatlan.

A második gyakori hiba az a hit, hogy egy tétrendszer megváltoztatja a házelőnyt. A Martingale, d’Alembert, Fibonacci és Labouchere olyan progressziók, amelyek megváltoztatják a tétek nagyságát nyerés vagy vesztés után. Nem változtatják meg a kifizetési táblát vagy a zsebek számát. Minden egyes tét várható értéke ugyanaz, függetlenül attól, hogyan választották meg a tétet. A progresszió átformálja a kimenetelek eloszlását: valószínűbbé tesz sok kis nyereményt és kevésbé valószínűvé néhány nagy veszteséget, vagy fordítva. Az eloszlás átlagát a kerék és a kifizetés rögzíti. A tétek semmilyen sorozata nem tudja elmozdítani. Egy Martingale-t használó játékos egy egynullás keréken továbbra is 2,70% várható veszteséggel néz szembe egységnyi megtett tétre. A rendszer a szórást változtatja meg, nem a házelőnyt.

Ez a hiba természetes, mert a progressziók gyakori kis nyereményeket produkálnak, amelyek a házelőny bizonyítékának tűnnek. Az alkalmi nagy veszteség, amely kiegyenlíti a könyveket, könnyen kezelhető kiugró értékként, nem pedig ugyanazon eloszlás másik oldalaként.

Egy harmadik hiba a játékok összehasonlítása a legjobb eseti munkamenetük alapján a várható költségük helyett. Egy játékos, aki nyer egy munkamenetet egy kétnullás keréken, nem győzte le az 5,26%-os házelőnyt; egy olyan eloszlásból húzott egyet, amelynek átlaga negatív. Sok pörgetés során az átlag a várható veszteség felé konvergál. A házelőny hosszú távú tulajdonság, és a hosszú táv hosszabb, mint a legtöbb munkamenet.

Élő rulett és online rulett

A fenti aritmetika minden olyan rulettkerékre érvényes, amely a megadott számú zsebbel és a megadott kifizetéssel rendelkezik. Egy élő rulettasztal, amelyet képernyőre közvetítenek, fizikai kereket használ, és a zsebek száma és a kifizetési tábla ugyanúgy meghatározza a házelőnyt. Egy online rulettjáték, amely véletlenszám-generátort használ a kerék szimulálására, ugyanazt a kifizetési struktúrát követi, és a házelőnyt ugyanaz a kapcsolat állítja be a kimenetelek és a kifizetések között. A verzió számít: egy “európai rulett” címkével ellátott játéknak 37 zsebbel és 2,70%-os házelőnnyel kell rendelkeznie a standard tétekre; egy “amerikai rulett” címkével ellátott játéknak 38 zsebbel és 5,26%-os házelőnnyel kell rendelkeznie. Ha egy játék más kifizetési táblát használ, a házelőny megváltozik, és a levezetést újra kell végezni a tényleges számokkal.

A szabály bármely rulett számra ugyanaz, mint bármely kaszinó számra: add meg a kereket, a kifizetést és a tétet. Ezek nélkül a százalék nem a játék ténye; ez egy szám forrás nélkül.