Roulette-kansen en huisvoordeel: een afleiding

Het huisvoordeel bij roulette is geen getal dat je kunt noemen zonder het wiel erbij te halen. Een wiel met één nul heeft 37 vakjes. Een wiel met dubbel nul heeft 38 vakjes. Beide betalen een winnend straight-up nummer uit op 35 tegen 1. Dat verschil van één vakje is de hele reden waarom de twee spellen verschillende bedragen kosten om te spelen, en het is het eerste dat vastgesteld moet worden voordat er een getal wordt genoemd.

Het wiel bepaalt de rekensom

Een roulettewiel is een fysiek apparaat met een vast aantal even waarschijnlijke uitkomsten. Op een Europees wiel zijn de vakjes genummerd van 1 tot en met 36, plus een enkele nul. Dat zijn 37 vakjes. Op een Amerikaans wiel zijn de vakjes 1 tot en met 36, plus een nul en een dubbel nul. Dat zijn 38 vakjes. Het balletje landt per draai in één vakje. Geen enkel vakje is waarschijnlijker dan een ander, en de vorige uitkomst heeft geen invloed op de volgende.

De uitbetalingstabel is de tweede input. Een straight-up inzet op één nummer betaalt 35 tegen 1. Dat betekent dat een winnende inzet van 1 eenheid 35 eenheden winst oplevert plus de oorspronkelijke inzet van 1 eenheid, dus in totaal 36 eenheden terug. De uitbetaling is 35 tegen 1, niet 36 tegen 1. Het verschil tussen de uitbetaling en de werkelijke kansen is het huisvoordeel.

Het voordeel afleiden op een wiel met één nul

Neem een straight-up inzet van 1 eenheid op één nummer op een Europees wiel.

• Er zijn 37 even waarschijnlijke uitkomsten.
• Eén uitkomst wint. De inzet levert in totaal 36 eenheden op (35 winst plus de inzet van 1 eenheid).
• 36 uitkomsten verliezen. De inzet levert 0 op.

De verwachte opbrengst is de som van elke uitkomst vermenigvuldigd met de kans erop.

Verwachte opbrengst = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Verwachte opbrengst = 36/37
Verwachte opbrengst = 0,972973

Het verwachte verlies per 1 eenheid ingezet is 1 − 0,972973 = 0,027027, oftewel 2,70%.

Gelijkwaardig: het huisvoordeel is 1/37 = 0,027027. De enkele nul is het ene vakje dat niets uitbetaalt aan de straight-up speler, maar toch een plek op het wiel inneemt. Dat is de bron van het voordeel.

Het voordeel afleiden op een wiel met dubbel nul

Neem nu dezelfde straight-up inzet van 1 eenheid op een Amerikaans wiel.

• Er zijn 38 even waarschijnlijke uitkomsten.
• Eén uitkomst wint. De inzet levert in totaal 36 eenheden op.
• 37 uitkomsten verliezen. De inzet levert 0 op.

Verwachte opbrengst = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Verwachte opbrengst = 36/38
Verwachte opbrengst = 0,947368

Verwacht verlies per 1 eenheid ingezet = 1 − 0,947368 = 0,052632, oftewel 5,26%.

Het huisvoordeel is 2/38 = 0,052632. De dubbel nul voegt een tweede vakje toe dat niets uitbetaalt op deze inzet, en het voordeel verdubbelt bijna.

Elke standaardinzet heeft hetzelfde voordeel

De straight-up inzet is niet bijzonder. Op een gegeven wiel heeft elke inzet op het tableau hetzelfde huisvoordeel, omdat elke inzet wordt geprijsd op basis van dezelfde 37 of 38 vakjes. De uitbetaling is altijd zo vastgesteld dat de verhouding tussen winnende en verliezende vakjes één eenheid te kort schiet voor een eerlijke prijs.

Neem een split-inzet op een Europees wiel. Een split dekt twee nummers. De uitbetaling is 17 tegen 1. Een winnende inzet van 1 eenheid levert in totaal 18 eenheden op (17 winst plus inzet).

• Winnende uitkomsten: 2 vakjes.
• Verliezende uitkomsten: 35 vakjes.

Verwachte opbrengst = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Verwachte opbrengst = 36/37
Verwachte opbrengst = 0,972973

Hetzelfde voordeel van 2,70%. Hetzelfde geldt voor een corner-inzet (4 nummers, 8 tegen 1), een street (3 nummers, 11 tegen 1), een kolom (12 nummers, 2 tegen 1) en een even-money inzet zoals rood of zwart (18 nummers, 1 tegen 1). Elk betaalt één eenheid minder dan de werkelijke kansen die de 37 vakjes impliceren.

Op het wiel met dubbel nul hebben dezelfde inzetten 5,26%, met één uitzondering.

De vijf-nummers-inzet op het Amerikaanse wiel

Het Amerikaanse wiel heeft een inzet die niet bestaat op het Europese tableau: de vijf-nummers-inzet, die 0, 00, 1, 2 en 3 dekt. Deze betaalt 6 tegen 1. Een winnende inzet van 1 eenheid levert in totaal 7 eenheden op (6 winst plus inzet).

• Winnende uitkomsten: 5 vakjes.
• Verliezende uitkomsten: 33 vakjes.

Verwachte opbrengst = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Verwachte opbrengst = 35/38
Verwachte opbrengst = 0,921053

Verwacht verlies per 1 eenheid ingezet = 1 − 0,921053 = 0,078947, oftewel 7,89%.

De vijf-nummers-inzet is slechter dan elke andere inzet op hetzelfde wiel. De reden is dat de uitbetaling van 6 tegen 1 niet de prijs is die één eenheid te kort schiet voor een eerlijke prijs, zoals bij de andere inzetten. Eerlijke kansen voor 5 winnende vakjes van de 38 zouden 33 tegen 5 zijn, oftewel 6,6 tegen 1. Het casino betaalt 6 tegen 1. Het tekort is groter dan bij de andere inzetten, en het voordeel stijgt naar 7,89%. Deze inzet is de enige standaardweddenschap op beide wielen met een ander voordeel dan de rest van het tableau.

Wat het voordeel per uur kost

Een percentage van de omzet is geen hoeveelheid die de meeste mensen kunnen voelen. Hetzelfde voordeel van 2,70% kost heel verschillende bedragen, afhankelijk van de inzetgrootte en het aantal draaien per uur.

Stel dat een speler 1 eenheid per draai inzet op een wiel met één nul en 200 draaien per uur speelt. Dit is een plausibel tempo voor een live roulettetafel met een dealer, hoewel de werkelijke tempo’s variëren per tafel en per speler.

• Totaal ingezet bedrag in een uur: 1 × 200 = 200 eenheden.
• Verwacht verlies: 200 × 0,027027 = 5,4054 eenheden.

Bij 1 eenheid per draai en 200 draaien per uur is de verwachte kost ongeveer 5,40 eenheden per uur op een wiel met één nul.

Op een wiel met dubbel nul bij dezelfde inzet en hetzelfde tempo:

• Totaal ingezet: 200 eenheden.
• Verwacht verlies: 200 × 0,052632 = 10,5264 eenheden.

Ongeveer 10,53 eenheden per uur. Het wiel met dubbel nul kost bij deze inzet en dit tempo ongeveer 5,13 eenheden meer per uur.

Als de inzet 5 eenheden per draai is in plaats van 1, vermenigvuldig dan beide getallen met 5: ongeveer 27,03 eenheden per uur op enkel nul, ongeveer 52,63 eenheden per uur op dubbel nul. Als het tempo 100 draaien per uur is in plaats van 200, halveer ze dan. Het percentage van het voordeel verandert niet; het geld wel.

Waar de getallen van afhangen

Elk getal hierboven hangt af van specifieke omstandigheden. De tabel hieronder geeft ze weer.

Een getal voor “roulette” zonder het wieltype is onvolledig. Dezelfde spelnaam dekt beide wielen, en het voordeel verschilt met bijna een factor twee. De vijf-nummers-inzet is een aparte rij omdat het de enige inzet op het Amerikaanse tableau is die niet overeenkomt met de rest van de tabel.

Wat mensen verkeerd doen

De meest voorkomende fout is het wiel behandelen als iets met een geheugen. Een nummer dat vele draaien niet is gevallen, is niet waarschijnlijker om bij de volgende draai te vallen. Elke draai is onafhankelijk. De kans op een specifiek nummer op een wiel met één nul is 1/37 bij elke draai, ongeacht wat ervoor is gekomen. Hetzelfde geldt voor rood of zwart, oneven of even, en elke andere inzet. Er is geen mechanisme waardoor eerdere resultaten de fysieke kansen van het volgende resultaat veranderen. Het wiel weet niet wat het heeft gedaan.

Deze fout is natuurlijk omdat mensen patronen zoeken in reeksen. Een reeks van tien keer rood voelt alsof er zwart moet volgen, maar het wiel heeft geen toestand om te corrigeren. De kans op zwart bij de volgende draai is 18/37 op een wiel met één nul, hetzelfde als bij de eerste draai. Het verwachte verlies per draai is onveranderd.

De tweede veelvoorkomende fout is de overtuiging dat een inzetsysteem het voordeel verandert. Martingale, d’Alembert, Fibonacci en Labouchere zijn progressies die de grootte van inzetten na winst of verlies veranderen. Ze veranderen de uitbetalingstabel of het aantal vakjes niet. De verwachte waarde van elke individuele inzet is hetzelfde, ongeacht hoe de inzet is gekozen. Een progressie hervormt de verdeling van uitkomsten: het maakt veel kleine winsten waarschijnlijker en een paar grote verliezen minder waarschijnlijk, of het omgekeerde. Het gemiddelde van de verdeling ligt vast door het wiel en de uitbetaling. Geen enkele reeks inzetgroottes kan dat veranderen. Een speler die Martingale gebruikt op een wiel met één nul, staat nog steeds tegenover een verwacht verlies van 2,70% per eenheid ingezet. Het systeem verandert de variantie, niet het voordeel.

Deze fout is natuurlijk omdat progressies frequente kleine winsten opleveren, wat voelt als bewijs van een voordeel. Het incidentele grote verlies dat de boeken in balans brengt, is gemakkelijk te behandelen als een uitschieter in plaats van de andere kant van dezelfde verdeling.

Een derde fout is spellen vergelijken op basis van hun beste sessie in plaats van hun verwachte kosten. Een speler die een sessie wint op een wiel met dubbel nul heeft het voordeel van 5,26% niet verslagen; hij heeft één trekking uit een verdeling met een negatief gemiddelde meegemaakt. Over vele draaien convergeert het gemiddelde naar het verwachte verlies. Het voordeel is een eigenschap op de lange termijn, en de lange termijn is langer dan de meeste sessies.

Live roulette en online roulette

De rekensom hierboven geldt voor elk roulettewiel met het genoemde aantal vakjes en de genoemde uitbetaling. Een live roulettetafel die naar een scherm wordt gestreamd, gebruikt een fysiek wiel, en het aantal vakjes en de uitbetalingstabel bepalen het voordeel op dezelfde manier. Een online roulettespel dat een random number generator gebruikt om een wiel te simuleren, volgt dezelfde uitbetalingsstructuur, en het voordeel wordt bepaald door dezelfde relatie tussen uitkomsten en uitbetalingen. De versie doet ertoe: een spel met het label “Europees roulette” zou 37 vakjes moeten hebben en een voordeel van 2,70% op standaardinzetten; een spel met het label “Amerikaans roulette” zou 38 vakjes moeten hebben en een voordeel van 5,26%. Als een spel een andere uitbetalingstabel gebruikt, verandert het voordeel, en moet de afleiding opnieuw worden gedaan met de werkelijke getallen.

De regel voor elk roulettegetal is dezelfde als voor elk casinogetal: vermeld het wiel, de uitbetaling en de inzet. Zonder die is het percentage geen feit over het spel; het is een getal zonder bron.