ブラックジャックのオッズとハウスエッジ：ルール別の導出

ブラックジャックのテーブルがプレイヤーに与えるコストは、単一の数字ではない。それはフェルトに印刷されたルール、シューに入っているデッキの数、そしてプレイヤーがカードにどう対応するかの関数である。同じゲームでも、あるルールセットでは99.5%を還元し、別のルールセットでは98.0%になる。その差はサイドベットやシャッフルに隠されているのではない。ナチュラルの配当と、ソフト17に対するディーラーの義務にある。

重要な数字はハウスエッジ、つまり賭けた1単位あたりの期待損失である。これはカードの性質ではない。配当表と、それに適用される戦略の性質である。このページでは、そのエッジを結果から導出し、その数字が前提とするすべてのルールを明記し、パーセンテージを指定された賭け金とラウンド数での金額に換算する。

結果とその配当

標準的なブラックジャックのハンドには、プレイヤーにとって3つの最終結果がある：勝ち、負け、プッシュ（引き分け）である。勝ちの配当は一律ではない。ナチュラルブラックジャックはほとんどのテーブルで3:2を支払うが、低い最低賭け金を宣伝する多くのテーブルでは6:5である。通常の勝ちは1:1を支払う。プッシュは賭け金を返す。負けは賭け金を失う。

ハウスエッジは2つの源泉から生じる：ディーラーが最後に行動するため、バストしたプレイヤーはディーラーが引く前に負ける。そしてプレイヤーは不完全な情報で最初に行動しなければならない。ディーラーの17までヒットし、17以上でスタンドするという固定戦略は選択ではない。それはルールである。プレイヤーの選択は、ベーシックストラテジーに従うかどうかである。ベーシックストラテジーとは、与えられたルールセットに対して期待値を最大化する決定の集合である。

配当表からエッジを導出する

エッジは配当表だけから導出することはできない。なぜなら、各結果の確率はデッキの構成と使用される戦略に依存するからである。しかし、ブラックジャックの配当の寄与は分離できる。

ディーラーがソフト17でスタンドし、ブラックジャックが3:2を支払うシングルデッキゲームを考えよう。ナチュラルブラックジャックが配られる確率は：

(4/52) × (16/51) × 2 = 0.0483、つまり4.83%。

係数2は2つの順序を考慮している：エースの後に10、または10の後にエース。ディーラーもナチュラルを持つ確率はおよそ0.0483 × (15/50) × (3/49) × 2であるが、配当の寄与を目的とする場合、関連する比較は3:2と6:5の差である。

3:2では、1単位の賭けはナチュラルで1.5単位の利益を返す。6:5では、1.2単位を返す。差はナチュラルあたり0.3単位である。ナチュラルの確率を掛ける：

0.3 × 0.0483 = 0.0145、つまり初期賭け金の1.45%。

この1.45%は、配当が3:2から6:5に下がるときにハウスエッジに加算される。正確な数字はデッキ数と構成によってわずかに変動するが、大きさは一貫している：6:5ブラックジャックは、他のルールを考慮する前に、3:2よりも1ハンドあたり約1.4%多くプレイヤーにコストをかける。

完全なハウスエッジについては、計算はすべてのハンドと各時点での最適な決定を列挙する必要がある。組み合わせ分析から導出された標準的な数字は：

これらの数字は、プレイヤーがベーシックストラテジーに正確に従うことを前提としている。また、サレンダーなし、スプリット後のダブルなし、エースの再スプリットなしを前提としている。これらのルールはそれぞれエッジを数百パーセントの数分の1変え、ルールが追加されるとき方向は常にプレイヤーに有利である。

エッジを1時間あたりの金額に換算する

ターンオーバーのパーセンテージは、ほとんどのプレイヤーが実感できる量ではない。同じ0.5%のエッジでも、プレイするハンド数と1ハンドあたりの賭け金によってコストは異なる。

プレイヤーが1ハンドあたり10単位を賭け、1時間に60ハンドをプレイし、0.5%のエッジに直面すると仮定する。

ステップ1：1時間あたりの総ターンオーバー = 10 × 60 = 600単位。
ステップ2：1時間あたりの期待損失 = 600 × 0.005 = 3単位。

10単位の賭けでは、それは1時間あたり3単位である。単位が1なら、期待損失は1時間あたり3.00である。単位が25なら、期待損失は1時間あたり75.00である。

次に、2.0%のエッジを持つ6:5テーブルに同じ計算を適用する。

ステップ1：ターンオーバー = 10 × 60 = 600単位。
ステップ2：期待損失 = 600 × 0.02 = 1時間あたり12単位。

同じ賭け金とラウンド数での2つのテーブルの差は1時間あたり9単位である。3時間のセッションでは、6:5テーブルは期待値で36単位多くコストがかかる。それがルールのコストを金額で表したものである。

1時間あたりのハンド数はエッジと同じくらい重要である。7人のプレイヤーがいるフルテーブルで遅いディーラーなら1時間に40ハンドかもしれない。ヘッズアップで速いディーラーなら200ハンドかもしれない。1時間200ハンドで0.5%のエッジなら、1ハンド10での期待損失は200 × 10 × 0.005 = 1時間あたり10.00である。1時間40ハンドなら、1時間あたり2.00である。エッジは同一である。コストはそうではない。

ブラックジャックのオッズについて人々が誤解すること

最も一般的な誤りは、ハウスエッジをゲームの固定された性質として扱い、ルールセットの性質として扱わないことである。ブラックジャックには0.5%のエッジがあると読んだプレイヤーは、6:5テーブルに座り、その数字がまだ適用されると信じるかもしれない。それは適用されない。6:5の配当だけで約1.4%を加算し、ディーラーがソフト17でヒットするとさらに0.2%を加算する。ブラックジャックに見えるテーブルは、その数字が説明するゲームではない。

この誤りは自然である。なぜなら、ゲームは1つの名前で提示されるからである。フェルトにはブラックジャックと書いてある。カードは同じである。ディーラーの動きは同じである。唯一の違いはテーブルの隅の1行のテキストであり、その行はしばしば小さな活字で印刷されている。それを見ることを知らないプレイヤーには、ゲームが変わったと疑う理由がない。

2番目の誤りは、以前の結果の連続が次のハンドを変えると信じることである。10回連続でプレイヤーが勝ったシューは、プレイヤーに負けを負っているわけではなく、5回連続でバストしたディーラーが再びバストする可能性が高いわけでもない。各ハンドは減少したデッキから配られ、そのデッキの構成だけが重要である。カードには記憶がない。シューは何かを生み出す義務はない。次のハンドの確率は残っているカードによって決まり、すでにプレイされたカードによって決まるのではない。

この誤りは自然である。なぜなら、人間の心はパターンを求めるからである。勝ちの連続はストリークに見え、ストリークは終わらなければならないと感じられる。しかし、デッキはストリークが起こったことを知らない。オッズを変える唯一のものは特定のカードの除去であり、その効果はデッキが深く減少するまで小さい。

3番目の誤りは、賭け金システムがエッジを克服できると信じることである。マーチンゲール法は負けた後に賭け金を倍にし、結果の分布を変える：多くの小さな勝ち、時折の大きな負け。期待値は変わらない。ハウスエッジはすべての賭けに適用され、賭け金の大きさのどんな連続も平均を変えない。負けた後に倍にするプレイヤーはリターンを改善していない。彼らは分散と最終的な損失の大きさを増やしている。

この誤りは自然である。なぜなら、進行は高い頻度の勝ちセッションを生み出すからである。負けた後に倍にするプレイヤーはほとんどのセッションで勝つ。なぜなら、1回の勝ちが以前のすべての負けと1単位を回復するからである。進行が長い負けの連続に遭遇する稀なセッションは、多くの小さな勝ちを一掃する。算術は隠されていない。ただ時間的に不均等に分布しているだけである。

カードカウンティングは方法ではなく歴史として

カードカウンティングは、残りのデッキにおけるハイカードとローカードの比率を追跡する行為である。10とエースが多いデッキはプレイヤーに有利である。なぜなら、ブラックジャックは1:1以上を支払い、ディーラーがバストする可能性が高いからである。ローカードが多いデッキはディーラーに有利である。

この方法は1960年代に開発され、『Beat the Dealer』の出版後に広く知られるようになった。カウントが有利なときに多く賭け、不利なときに少なく賭けるプレイヤーが期待値をプラスにシフトできるという意味で機能する。シフトは小さく、カウントシステムとルールセットに依存するが、通常0.5%から1.5%である。

カジノはより早くシャッフルし、より多くのデッキを使い、既知のカウンターを禁止することで対応した。75%のペネトレーションを持つ6デッキのシューは、最後のカードまで配られるシングルデッキゲームよりもカウンターに少ない機会を与える。現代のゲームはカウンティングの効果を減らすように設計されており、完全に排除するものではない。

このページの目的では、カウンティングは歴史である。それはなぜシューがそのタイミングでシャッフルされるのか、なぜ一部のテーブルが連続シャッフルマシンを使うのか、なぜ低最低賭け金テーブルのルールセットが高最低賭け金テーブルのルールセットよりもしばしば悪いのかを説明する。ここで推奨される方法ではなく、カウントしないプレイヤーのハウスエッジを変える方法でもない。

数字を決定するルール

このページのすべてのハウスエッジの数字は以下の条件に依存する：

• シューに入っているデッキの数。デッキが多いほどわずかにディーラーに有利。
• ディーラーがソフト17でスタンドするかヒットするか。ソフト17でヒットするとハウスエッジに約0.2%加算される。
• ブラックジャックが3:2か6:5を支払うか。6:5はハウスエッジに約1.4%加算される。
• プレイヤーがスプリット後にダブルできるか。許可するとエッジが約0.1%減少する。
• プレイヤーがサレンダーできるか。レイトサレンダーはエッジを約0.07%減少させる。
• プレイヤーがエースを再スプリットできるか。許可するとエッジが約0.08%減少する。
• プレイヤーが使用する戦略。ベーシックストラテジーを前提とする。逸脱はエッジを増加させる。

これらの条件なしに述べられた数字は数字ではない。それはブラックジャックと呼ばれるゲームに関連付けられたたまたまの数である。異なるルールでプレイされる同じゲームは、1時間あたり異なる金額をプレイヤーにコストをかけ、その差は重要であるほど大きい。

計算例：6:5テーブルのコスト

プレイヤーがディーラーがソフト17でスタンドし、ブラックジャックが6:5を支払う6デッキテーブルに座る。プレイヤーは1ハンドあたり20を賭け、1時間に80ハンドをプレイする。プレイヤーはベーシックストラテジーに従う。

このルールセットのハウスエッジはおよそ1.94%である。1時間あたりの期待損失は：

ステップ1：ターンオーバー = 20 × 80 = 1,600。
ステップ2：期待損失 = 1,600 × 0.0194 = 1時間あたり31.04。

次に、ディーラーがソフト17でスタンドし、ブラックジャックが3:2を支払う6デッキテーブルに同じプレイヤーを比較する。ハウスエッジはおよそ0.54%である。1時間あたりの期待損失は：

ステップ1：ターンオーバー = 20 × 80 = 1,600。
ステップ2：期待損失 = 1,600 × 0.0054 = 1時間あたり8.64。

差は1時間あたり22.40である。4時間のセッションでは、6:5テーブルは期待値で89.60多くコストがかかる。それが配当ルールのコストを、指定された賭け金とラウンド数での金額で表したものである。

ルールが存在することを知らないプレイヤーは2つのテーブルを選ぶことができない。知っているプレイヤーは座る前にフェルトを読むことができる。算術はオペレーター名や推奨を必要としない。ルールセットと電卓を必要とする。