Probabilità e vantaggio della roulette: una derivazione

Il vantaggio della casa alla roulette non è un numero che si possa citare senza il cilindro. Un cilindro a zero singolo ha 37 caselle. Un cilindro a doppio zero ne ha 38. Entrambi pagano un numero pieno vincente 35 a 1. Questa differenza di una casella è l’intera ragione per cui i due giochi costano importi diversi da giocare, ed è la prima cosa da stabilire prima di enunciare qualsiasi cifra.

Il cilindro determina l’aritmetica

Un cilindro della roulette è un dispositivo fisico con un numero fisso di esiti ugualmente probabili. Su un cilindro europeo, le caselle sono numerate da 1 a 36, più un singolo zero. Sono 37 caselle. Su un cilindro americano, le caselle sono da 1 a 36, più uno zero e un doppio zero. Sono 38 caselle. La pallina si ferma in una casella per giro. Nessuna casella è più probabile di un’altra, e il risultato precedente non ha alcuna influenza sul successivo.

La tabella dei pagamenti è il secondo input. Una puntata piena su un singolo numero paga 35 a 1. Ciò significa che una puntata vincente di 1 unità restituisce 35 unità di profitto più la puntata originale di 1 unità, per un totale di 36 unità restituite. Il pagamento è 35 a 1, non 36 a 1. La differenza tra il pagamento e le probabilità reali è il vantaggio della casa.

Derivazione del vantaggio su un cilindro a zero singolo

Prendi una puntata piena di 1 unità su un singolo numero su un cilindro europeo.

• Ci sono 37 esiti ugualmente probabili.
• Un esito vince. La puntata restituisce 36 unità in totale (35 di profitto più la puntata di 1 unità).
• 36 esiti perdono. La puntata restituisce 0.

Il ritorno atteso è la somma di ogni esito moltiplicato per la sua probabilità.

Ritorno atteso = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Ritorno atteso = 36/37
Ritorno atteso = 0,972973

La perdita attesa per 1 unità puntata è 1 − 0,972973 = 0,027027, ovvero 2,70%.

Equivalentemente, il vantaggio della casa è 1/37 = 0,027027. Lo zero singolo è l’unica casella che non paga nulla al giocatore di puntata piena ma occupa comunque uno slot sul cilindro. Questa è la fonte del vantaggio.

Derivazione del vantaggio su un cilindro a doppio zero

Ora prendi la stessa puntata piena di 1 unità su un cilindro americano.

• Ci sono 38 esiti ugualmente probabili.
• Un esito vince. La puntata restituisce 36 unità in totale.
• 37 esiti perdono. La puntata restituisce 0.

Ritorno atteso = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Ritorno atteso = 36/38
Ritorno atteso = 0,947368

Perdita attesa per 1 unità puntata = 1 − 0,947368 = 0,052632, ovvero 5,26%.

Il vantaggio della casa è 2/38 = 0,052632. Il doppio zero aggiunge una seconda casella che non paga nulla su questa puntata, e il vantaggio quasi raddoppia.

Ogni puntata standard porta lo stesso vantaggio

La puntata piena non è speciale. Su un dato cilindro, ogni puntata sul layout ha lo stesso vantaggio della casa, perché ogni puntata è prezzata sulle stesse 37 o 38 caselle. Il pagamento è sempre fissato in modo che il rapporto tra caselle vincenti e caselle perdenti sia inferiore di un’unità rispetto al fair.

Considera una puntata split su un cilindro europeo. Uno split copre due numeri. Il pagamento è 17 a 1. Una puntata vincente di 1 unità restituisce 18 unità in totale (17 di profitto più la puntata).

• Esiti vincenti: 2 caselle.
• Esiti perdenti: 35 caselle.

Ritorno atteso = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Ritorno atteso = 36/37
Ritorno atteso = 0,972973

Stesso vantaggio del 2,70%. Lo stesso vale per una puntata corner (4 numeri, 8 a 1), una street (3 numeri, 11 a 1), una colonna (12 numeri, 2 a 1) e una puntata alla pari come rosso o nero (18 numeri, 1 a 1). Ognuna paga un’unità in meno rispetto alle probabilità reali implicite dalle 37 caselle.

Sul cilindro a doppio zero, le stesse puntate portano un vantaggio del 5,26%, con una eccezione.

La puntata a cinque numeri sul cilindro americano

Il cilindro americano ha una puntata che non esiste sul layout europeo: la puntata a cinque numeri, che copre 0, 00, 1, 2 e 3. Paga 6 a 1. Una puntata vincente di 1 unità restituisce 7 unità in totale (6 di profitto più la puntata).

• Esiti vincenti: 5 caselle.
• Esiti perdenti: 33 caselle.

Ritorno atteso = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Ritorno atteso = 35/38
Ritorno atteso = 0,921053

Perdita attesa per 1 unità puntata = 1 − 0,921053 = 0,078947, ovvero 7,89%.

La puntata a cinque numeri è peggiore di ogni altra puntata sullo stesso cilindro. La ragione è che il pagamento di 6 a 1 non è il prezzo inferiore di un’unità rispetto al fair che usano le altre puntate. Le probabilità reali per 5 caselle vincenti su 38 sarebbero 33 a 5, ovvero 6,6 a 1. Il casinò paga 6 a 1. La differenza è maggiore rispetto alle altre puntate, e il vantaggio sale al 7,89%. Questa puntata è l’unica scommessa standard su entrambi i cilindri che porta un vantaggio diverso dal resto del tavolo.

Quanto costa il vantaggio all’ora

Una percentuale del volume di gioco non è una quantità che la maggior parte delle persone riesce a percepire. Lo stesso vantaggio del 2,70% costa importi molto diversi a seconda dell’importo della puntata e di quanti giri si giocano all’ora.

Supponi che un giocatore punti 1 unità per giro su un cilindro a zero singolo e giochi 200 giri all’ora. Questo è un ritmo plausibile per un tavolo di roulette dal vivo con un croupier, anche se i ritmi effettivi variano con il tavolo e il giocatore.

• Importo totale puntato in un’ora: 1 × 200 = 200 unità.
• Perdita attesa: 200 × 0,027027 = 5,4054 unità.

A 1 unità per giro e 200 giri all’ora, il costo atteso è di circa 5,40 unità all’ora su un cilindro a zero singolo.

Su un cilindro a doppio zero alla stessa puntata e ritmo:

• Totale puntato: 200 unità.
• Perdita attesa: 200 × 0,052632 = 10,5264 unità.

Circa 10,53 unità all’ora. Il cilindro a doppio zero costa circa 5,13 unità in più all’ora a questa puntata e ritmo.

Se la puntata è di 5 unità per giro invece di 1, moltiplica entrambe le cifre per 5: circa 27,03 unità all’ora su zero singolo, circa 52,63 unità all’ora su doppio zero. Se il ritmo è di 100 giri all’ora invece di 200, dimezzale. La percentuale del vantaggio non cambia; il denaro sì.

Da cosa dipendono le cifre

Ogni numero sopra dipende da condizioni specifiche. La tabella sotto le enuncia.

Una cifra per “roulette” senza il tipo di cilindro è incompleta. Lo stesso nome di gioco copre entrambi i cilindri, e il vantaggio differisce di quasi un fattore due. La puntata a cinque numeri è una riga separata perché è l’unica puntata sul layout americano che non corrisponde al resto del tavolo.

Cosa sbagliano le persone

L’errore più comune è trattare il cilindro come se avesse una memoria. Un numero che non è apparso per molti giri non è più probabile che appaia al giro successivo. Ogni giro è indipendente. La probabilità di qualsiasi numero specifico su un cilindro a zero singolo è 1/37 a ogni giro, indipendentemente da ciò che è venuto prima. Lo stesso vale per rosso o nero, pari o dispari, e ogni altra puntata. Non esiste alcun meccanismo per cui i risultati passati cambiano le probabilità fisiche del risultato successivo. Il cilindro non sa cosa ha fatto.

Questo errore è naturale perché le persone cercano schemi nelle sequenze. Una serie di dieci rossi sembra che debba essere seguita dal nero, ma il cilindro non ha uno stato da correggere. La probabilità del nero al giro successivo è 18/37 su un cilindro a zero singolo, la stessa che era al primo giro. La perdita attesa per giro è invariata.

Il secondo errore comune è credere che un sistema di puntate cambi il vantaggio. Martingala, d’Alembert, Fibonacci e Labouchere sono progressioni che cambiano la dimensione delle puntate dopo vincite o perdite. Non cambiano la tabella dei pagamenti o il numero di caselle. Il valore atteso di ogni singola puntata è lo stesso indipendentemente da come è stata scelta la puntata. Una progressione rimodella la distribuzione dei risultati: rende più probabili molte piccole vincite e meno probabili poche grandi perdite, o il contrario. La media della distribuzione è fissata dal cilindro e dal pagamento. Nessuna sequenza di importi di puntata può spostarla. Un giocatore che usa la Martingala su un cilindro a zero singolo affronta comunque una perdita attesa del 2,70% per unità puntata. Il sistema cambia la varianza, non il vantaggio.

Questo errore è naturale perché le progressioni producono frequenti piccole vincite, che sembrano una prova di un vantaggio. L’occasionale grande perdita che bilancia i conti è facile da trattare come un valore anomalo piuttosto che come l’altro lato della stessa distribuzione.

Un terzo errore è confrontare i giochi in base alla loro sessione migliore invece che al loro costo atteso. Un giocatore che vince una sessione su un cilindro a doppio zero non ha battuto il vantaggio del 5,26%; ha sperimentato un’estrazione da una distribuzione la cui media è negativa. Su molti giri, la media converge verso la perdita attesa. Il vantaggio è una proprietà di lungo periodo, e il lungo periodo è più lungo della maggior parte delle sessioni.

Roulette dal vivo e roulette online

L’aritmetica sopra si applica a qualsiasi cilindro della roulette con il numero dichiarato di caselle e il pagamento dichiarato. Un tavolo di roulette dal vivo trasmesso in streaming su uno schermo usa un cilindro fisico, e il numero di caselle e la tabella dei pagamenti determinano il vantaggio allo stesso modo. Un gioco di roulette online che usa un generatore di numeri casuali per simulare un cilindro segue la stessa struttura di pagamenti, e il vantaggio è fissato dalla stessa relazione tra esiti e pagamenti. La versione conta: un gioco etichettato “roulette europea” dovrebbe avere 37 caselle e un vantaggio del 2,70% sulle puntate standard; un gioco etichettato “roulette americana” dovrebbe avere 38 caselle e un vantaggio del 5,26%. Se un gioco usa una tabella dei pagamenti diversa, il vantaggio cambia, e la derivazione deve essere rifatta con i numeri effettivi.

La regola per qualsiasi cifra della roulette è la stessa che per qualsiasi cifra del casinò: dichiara il cilindro, il pagamento e la puntata. Senza quelli, la percentuale non è un fatto sul gioco; è un numero senza una fonte.