Probabilidades e vantagem da roleta: uma derivação

A vantagem da casa na roleta não é um número que possa ser citado sem a roda. Uma roda de zero único tem 37 casas. Uma roda de zero duplo tem 38. Ambas pagam um número vencedor apostado direto a 35 para 1. Essa diferença de uma casa é a razão inteira pela qual os dois jogos custam valores diferentes para jogar, e é a primeira coisa a estabelecer antes de qualquer número ser declarado.

A roda determina a aritmética

Uma roda de roleta é um dispositivo físico com um número fixo de resultados igualmente prováveis. Numa roda europeia, as casas são numeradas de 1 a 36, mais um único zero. Isso dá 37 casas. Numa roda americana, as casas são de 1 a 36, mais um zero e um zero duplo. Isso dá 38 casas. A bola cai numa casa por giro. Nenhuma casa é mais provável que outra, e o resultado anterior não tem influência sobre o próximo.

A tabela de pagamentos é a segunda entrada. Uma aposta direta num único número paga 35 para 1. Isso significa que uma aposta vencedora de 1 unidade devolve 35 unidades de lucro mais a aposta original de 1 unidade, num total de 36 unidades de retorno. O pagamento é de 35 para 1, não de 36 para 1. A diferença entre o pagamento e as probabilidades reais é a vantagem da casa.

Derivando a vantagem numa roda de zero único

Considere uma aposta direta de 1 unidade num único número numa roda europeia.

• Há 37 resultados igualmente prováveis.
• Um resultado vence. A aposta devolve 36 unidades no total (35 de lucro mais a aposta de 1 unidade).
• 36 resultados perdem. A aposta devolve 0.

O retorno esperado é a soma de cada resultado multiplicado pela sua probabilidade.

Retorno esperado = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Retorno esperado = 36/37
Retorno esperado = 0,972973

A perda esperada por 1 unidade apostada é 1 − 0,972973 = 0,027027, ou 2,70%.

De forma equivalente, a vantagem da casa é 1/37 = 0,027027. O zero único é a casa que não paga nada ao apostador direto mas ainda ocupa um lugar na roda. Essa é a origem da vantagem.

Derivando a vantagem numa roda de zero duplo

Agora considere a mesma aposta direta de 1 unidade numa roda americana.

• Há 38 resultados igualmente prováveis.
• Um resultado vence. A aposta devolve 36 unidades no total.
• 37 resultados perdem. A aposta devolve 0.

Retorno esperado = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Retorno esperado = 36/38
Retorno esperado = 0,947368

Perda esperada por 1 unidade apostada = 1 − 0,947368 = 0,052632, ou 5,26%.

A vantagem da casa é 2/38 = 0,052632. O zero duplo acrescenta uma segunda casa que não paga nada nesta aposta, e a vantagem quase dobra.

Toda aposta padrão carrega a mesma vantagem

A aposta direta não é especial. Numa dada roda, toda aposta no pano tem a mesma vantagem da casa, porque toda aposta é precificada a partir das mesmas 37 ou 38 casas. O pagamento é sempre definido de modo que a razão entre casas vencedoras e casas perdedoras fique uma unidade abaixo do justo.

Considere uma aposta dividida numa roda europeia. Uma dividida cobre dois números. O pagamento é de 17 para 1. Uma aposta vencedora de 1 unidade devolve 18 unidades no total (17 de lucro mais a aposta).

• Resultados vencedores: 2 casas.
• Resultados perdedores: 35 casas.

Retorno esperado = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Retorno esperado = 36/37
Retorno esperado = 0,972973

Mesma vantagem de 2,70%. O mesmo vale para uma aposta de canto (4 números, 8 para 1), uma rua (3 números, 11 para 1), uma coluna (12 números, 2 para 1) e uma aposta de dinheiro igual como vermelho ou preto (18 números, 1 para 1). Cada uma paga uma unidade menos do que as probabilidades reais implicadas pelas 37 casas.

Na roda de zero duplo, as mesmas apostas carregam 5,26%, com uma exceção.

A aposta de cinco números na roda americana

A roda americana tem uma aposta que não existe no pano europeu: a aposta de cinco números, cobrindo 0, 00, 1, 2 e 3. Ela paga 6 para 1. Uma aposta vencedora de 1 unidade devolve 7 unidades no total (6 de lucro mais a aposta).

• Resultados vencedores: 5 casas.
• Resultados perdedores: 33 casas.

Retorno esperado = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Retorno esperado = 35/38
Retorno esperado = 0,921053

Perda esperada por 1 unidade apostada = 1 − 0,921053 = 0,078947, ou 7,89%.

A aposta de cinco números é pior que todas as outras apostas na mesma roda. A razão é que o pagamento de 6 para 1 não é o preço uma-unidade-abaixo-do-justo que as outras apostas usam. As probabilidades justas para 5 casas vencedoras em 38 seriam 33 para 5, ou 6,6 para 1. O cassino paga 6 para 1. A diferença é maior do que nas outras apostas, e a vantagem sobe para 7,89%. Esta aposta é a única aposta padrão em qualquer das rodas que carrega uma vantagem diferente do resto da mesa.

O que a vantagem custa por hora

Uma porcentagem do volume apostado não é uma quantidade que a maioria das pessoas consegue sentir. A mesma vantagem de 2,70% custa valores muito diferentes dependendo do tamanho da aposta e de quantos giros são jogados por hora.

Suponha que um jogador aposte 1 unidade por giro numa roda de zero único e jogue 200 giros por hora. Este é um ritmo plausível para uma mesa de roleta ao vivo com um crupiê, embora os ritmos reais variem com a mesa e o jogador.

• Total apostado numa hora: 1 × 200 = 200 unidades.
• Perda esperada: 200 × 0,027027 = 5,4054 unidades.

A 1 unidade por giro e 200 giros por hora, o custo esperado é de cerca de 5,40 unidades por hora numa roda de zero único.

Numa roda de zero duplo com a mesma aposta e ritmo:

• Total apostado: 200 unidades.
• Perda esperada: 200 × 0,052632 = 10,5264 unidades.

Cerca de 10,53 unidades por hora. A roda de zero duplo custa aproximadamente 5,13 unidades mais por hora nesta aposta e ritmo.

Se a aposta for de 5 unidades por giro em vez de 1, multiplique ambos os valores por 5: cerca de 27,03 unidades por hora no zero único, cerca de 52,63 unidades por hora no zero duplo. Se o ritmo for de 100 giros por hora em vez de 200, divida-os pela metade. A porcentagem da vantagem não muda; o dinheiro muda.

Do que os números dependem

Todo número acima depende de condições específicas. A tabela abaixo as declara.

Um número para “roleta” sem o tipo de roda está incompleto. O mesmo nome de jogo cobre ambas as rodas, e a vantagem difere por um fator de quase dois. A aposta de cinco números é uma linha separada porque é a única aposta no pano americano que não corresponde ao resto da mesa.

O que as pessoas erram

O erro mais comum é tratar a roda como se tivesse memória. Um número que não aparece há muitos giros não tem mais probabilidade de aparecer no próximo giro. Cada giro é independente. A probabilidade de qualquer número específico numa roda de zero único é 1/37 em cada giro, independentemente do que veio antes. O mesmo se aplica a vermelho ou preto, ímpar ou par, e qualquer outra aposta. Não há mecanismo pelo qual resultados passados mudem as probabilidades físicas do próximo resultado. A roda não sabe o que fez.

Esse erro é natural porque as pessoas procuram padrões em sequências. Uma sequência de dez vermelhos parece que deve ser seguida de preto, mas a roda não tem estado a corrigir. A probabilidade de preto no próximo giro é 18/37 numa roda de zero único, a mesma que era no primeiro giro. A perda esperada por giro não muda.

O segundo erro comum é acreditar que um sistema de apostas muda a vantagem. Martingale, d’Alembert, Fibonacci e Labouchere são progressões que mudam o tamanho das apostas após vitórias ou derrotas. Elas não mudam a tabela de pagamentos nem o número de casas. O valor esperado de cada aposta individual é o mesmo independentemente de como a aposta foi escolhida. Uma progressão remodela a distribuição dos resultados: torna muitas pequenas vitórias mais prováveis e algumas grandes perdas menos prováveis, ou o inverso. A média da distribuição é fixada pela roda e pelo pagamento. Nenhuma sequência de tamanhos de aposta pode movê-la. Um jogador usando Martingale numa roda de zero único ainda enfrenta uma perda esperada de 2,70% por unidade apostada. O sistema muda a variância, não a vantagem.

Esse erro é natural porque as progressões produzem pequenas vitórias frequentes, que parecem evidência de uma vantagem. A ocasional grande perda que equilibra as contas é fácil de tratar como um valor atípico em vez do outro lado da mesma distribuição.

Um terceiro erro é comparar jogos pela sua melhor sessão em vez do seu custo esperado. Um jogador que ganha uma sessão numa roda de zero duplo não venceu a vantagem de 5,26%; ele experimentou um sorteio de uma distribuição cuja média é negativa. Ao longo de muitos giros, a média converge para a perda esperada. A vantagem é uma propriedade de longo prazo, e o longo prazo é mais longo que a maioria das sessões.

Roleta ao vivo e roleta online

A aritmética acima se aplica a qualquer roda de roleta com o número declarado de casas e o pagamento declarado. Uma mesa de roleta ao vivo transmitida para uma tela usa uma roda física, e a contagem de casas e a tabela de pagamentos determinam a vantagem da mesma forma. Um jogo de roleta online que usa um gerador de números aleatórios para simular uma roda segue a mesma estrutura de pagamento, e a vantagem é definida pela mesma relação entre resultados e pagamentos. A versão importa: um jogo rotulado “roleta europeia” deve ter 37 casas e uma vantagem de 2,70% nas apostas padrão; um jogo rotulado “roleta americana” deve ter 38 casas e uma vantagem de 5,26%. Se um jogo usa uma tabela de pagamentos diferente, a vantagem muda, e a derivação deve ser refeita com os números reais.

A regra para qualquer número de roleta é a mesma que para qualquer número de cassino: declare a roda, o pagamento e a aposta. Sem isso, a porcentagem não é um fato sobre o jogo; é um número sem fonte.