Probabilidades y ventaja de la ruleta: una derivación

La ventaja de la casa en la ruleta no es un número que se pueda citar sin la rueda. Una rueda de cero simple tiene 37 casillas. Una de doble cero tiene 38. Ambas pagan un número ganador a 35 a 1. Esa diferencia de una casilla es la razón completa por la que los dos juegos cuestan cantidades distintas de jugar, y es lo primero que hay que establecer antes de dar cualquier cifra.

La rueda determina la aritmética

Una rueda de ruleta es un dispositivo físico con un número fijo de resultados igualmente probables. En una rueda europea, las casillas están numeradas del 1 al 36, más un solo cero. Eso son 37 casillas. En una rueda americana, las casillas van del 1 al 36, más un cero y un doble cero. Eso son 38 casillas. La bola cae en una casilla por giro. Ninguna casilla es más probable que otra, y el resultado anterior no influye en el siguiente.

La tabla de pagos es el segundo dato. Una apuesta directa a un solo número paga 35 a 1. Eso significa que una apuesta ganadora de 1 unidad devuelve 35 unidades de beneficio más la apuesta original de 1 unidad, para un total de 36 unidades. El pago es 35 a 1, no 36 a 1. La diferencia entre el pago y las probabilidades reales es la ventaja de la casa.

Derivación de la ventaja en una rueda de cero simple

Tomemos una apuesta directa de 1 unidad a un solo número en una rueda europea.

• Hay 37 resultados igualmente probables.
• Un resultado gana. La apuesta devuelve 36 unidades en total (35 de beneficio más la apuesta de 1 unidad).
• 36 resultados pierden. La apuesta devuelve 0.

El retorno esperado es la suma de cada resultado multiplicado por su probabilidad.

Retorno esperado = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Retorno esperado = 36/37
Retorno esperado = 0,972973

La pérdida esperada por 1 unidad apostada es 1 − 0,972973 = 0,027027, o 2,70%.

De forma equivalente, la ventaja de la casa es 1/37 = 0,027027. El cero simple es la casilla que no paga nada al apostador directo pero que sigue ocupando un lugar en la rueda. Esa es la fuente de la ventaja.

Derivación de la ventaja en una rueda de doble cero

Ahora tomemos la misma apuesta directa de 1 unidad en una rueda americana.

• Hay 38 resultados igualmente probables.
• Un resultado gana. La apuesta devuelve 36 unidades en total.
• 37 resultados pierden. La apuesta devuelve 0.

Retorno esperado = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Retorno esperado = 36/38
Retorno esperado = 0,947368

Pérdida esperada por 1 unidad apostada = 1 − 0,947368 = 0,052632, o 5,26%.

La ventaja de la casa es 2/38 = 0,052632. El doble cero añade una segunda casilla que no paga nada en esta apuesta, y la ventaja casi se duplica.

Todas las apuestas estándar conllevan la misma ventaja

La apuesta directa no es especial. En una rueda dada, todas las apuestas del paño tienen la misma ventaja de la casa, porque todas se calculan sobre las mismas 37 o 38 casillas. El pago siempre se fija de modo que la proporción entre casillas ganadoras y perdedoras queda una unidad por debajo de lo justo.

Consideremos una apuesta dividida en una rueda europea. Una dividida cubre dos números. El pago es 17 a 1. Una apuesta ganadora de 1 unidad devuelve 18 unidades en total (17 de beneficio más la apuesta).

• Resultados ganadores: 2 casillas.
• Resultados perdedores: 35 casillas.

Retorno esperado = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Retorno esperado = 36/37
Retorno esperado = 0,972973

La misma ventaja del 2,70%. Lo mismo ocurre con una apuesta de esquina (4 números, 8 a 1), una calle (3 números, 11 a 1), una columna (12 números, 2 a 1) y una apuesta a partes iguales como rojo o negro (18 números, 1 a 1). Cada una paga una unidad menos que las probabilidades reales implícitas por las 37 casillas.

En la rueda de doble cero, las mismas apuestas conllevan un 5,26%, con una excepción.

La apuesta de cinco números en la rueda americana

La rueda americana tiene una apuesta que no existe en el paño europeo: la apuesta de cinco números, que cubre 0, 00, 1, 2 y 3. Paga 6 a 1. Una apuesta ganadora de 1 unidad devuelve 7 unidades en total (6 de beneficio más la apuesta).

• Resultados ganadores: 5 casillas.
• Resultados perdedores: 33 casillas.

Retorno esperado = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Retorno esperado = 35/38
Retorno esperado = 0,921053

Pérdida esperada por 1 unidad apostada = 1 − 0,921053 = 0,078947, o 7,89%.

La apuesta de cinco números es peor que cualquier otra apuesta en la misma rueda. La razón es que el pago de 6 a 1 no es el precio una-unidad-por-debajo-de-lo-justo que usan las demás apuestas. Las probabilidades justas para 5 casillas ganadoras de 38 serían 33 a 5, o 6,6 a 1. El casino paga 6 a 1. El déficit es mayor que en las otras apuestas, y la ventaja sube al 7,89%. Esta apuesta es la única apuesta estándar en cualquiera de las dos ruedas que conlleva una ventaja distinta al resto de la mesa.

Lo que cuesta la ventaja por hora

Un porcentaje del volumen apostado no es una cantidad que la mayoría de la gente pueda sentir. La misma ventaja del 2,70% cuesta cantidades muy distintas según el tamaño de la apuesta y cuántos giros se juegan por hora.

Supongamos que un jugador apuesta 1 unidad por giro en una rueda de cero simple y juega 200 giros por hora. Esta es una tasa plausible para una mesa de ruleta en vivo con crupier, aunque las tasas reales varían según la mesa y el jugador.

• Cantidad total apostada en una hora: 1 × 200 = 200 unidades.
• Pérdida esperada: 200 × 0,027027 = 5,4054 unidades.

A 1 unidad por giro y 200 giros por hora, el coste esperado es de unas 5,40 unidades por hora en una rueda de cero simple.

En una rueda de doble cero con la misma apuesta y ritmo:

• Total apostado: 200 unidades.
• Pérdida esperada: 200 × 0,052632 = 10,5264 unidades.

Unas 10,53 unidades por hora. La rueda de doble cero cuesta aproximadamente 5,13 unidades más por hora con esta apuesta y ritmo.

Si la apuesta es de 5 unidades por giro en lugar de 1, multiplica ambas cifras por 5: unas 27,03 unidades por hora en cero simple, unas 52,63 unidades por hora en doble cero. Si el ritmo es de 100 giros por hora en lugar de 200, divídelas por la mitad. El porcentaje de ventaja no cambia; el dinero sí.

De qué dependen las cifras

Todos los números anteriores dependen de condiciones específicas. La tabla siguiente las indica.

Una cifra para “ruleta” sin el tipo de rueda está incompleta. El mismo nombre de juego cubre ambas ruedas, y la ventaja difiere en un factor de casi dos. La apuesta de cinco números es una fila aparte porque es la única apuesta en el paño americano que no coincide con el resto de la mesa.

Lo que la gente malinterpreta

El error más común es tratar la rueda como si tuviera memoria. Un número que no ha aparecido en muchos giros no es más probable que aparezca en el siguiente giro. Cada giro es independiente. La probabilidad de cualquier número específico en una rueda de cero simple es 1/37 en cada giro, independientemente de lo que haya salido antes. Lo mismo se aplica al rojo o negro, par o impar, y a cualquier otra apuesta. No hay ningún mecanismo por el cual los resultados pasados cambien las probabilidades físicas del siguiente resultado. La rueda no sabe lo que ha hecho.

Este error es natural porque la gente busca patrones en las secuencias. Una racha de diez rojos parece que debe ir seguida de negro, pero la rueda no tiene estado que corregir. La probabilidad de negro en el siguiente giro es 18/37 en una rueda de cero simple, la misma que era en el primer giro. La pérdida esperada por giro no cambia.

El segundo error común es creer que un sistema de apuestas cambia la ventaja. Martingala, d’Alembert, Fibonacci y Labouchere son progresiones que cambian el tamaño de las apuestas tras ganar o perder. No cambian la tabla de pagos ni el número de casillas. El valor esperado de cada apuesta individual es el mismo independientemente de cómo se eligió la apuesta. Una progresión remodela la distribución de resultados: hace que muchas ganancias pequeñas sean más probables y unas pocas pérdidas grandes menos probables, o lo contrario. La media de la distribución está fijada por la rueda y el pago. Ninguna secuencia de tamaños de apuesta puede moverla. Un jugador que usa Martingala en una rueda de cero simple sigue enfrentándose a una pérdida esperada del 2,70% por unidad apostada. El sistema cambia la varianza, no la ventaja.

Este error es natural porque las progresiones producen ganancias pequeñas frecuentes, que se sienten como evidencia de una ventaja. La ocasional pérdida grande que equilibra las cuentas es fácil de tratar como un valor atípico en lugar del otro lado de la misma distribución.

Un tercer error es comparar juegos por su mejor sesión en lugar de por su coste esperado. Un jugador que gana una sesión en una rueda de doble cero no ha vencido la ventaja del 5,26%; ha experimentado una extracción de una distribución cuya media es negativa. A lo largo de muchos giros, el promedio converge hacia la pérdida esperada. La ventaja es una propiedad a largo plazo, y el largo plazo es más largo que la mayoría de las sesiones.

Ruleta en vivo y ruleta online

La aritmética anterior se aplica a cualquier rueda de ruleta con el número de casillas indicado y el pago indicado. Una mesa de ruleta en vivo retransmitida a una pantalla usa una rueda física, y el número de casillas y la tabla de pagos determinan la ventaja de la misma manera. Un juego de ruleta online que usa un generador de números aleatorios para simular una rueda sigue la misma estructura de pagos, y la ventaja se establece por la misma relación entre resultados y pagos. La versión importa: un juego etiquetado como “ruleta europea” debería tener 37 casillas y una ventaja del 2,70% en apuestas estándar; un juego etiquetado como “ruleta americana” debería tener 38 casillas y una ventaja del 5,26%. Si un juego usa una tabla de pagos distinta, la ventaja cambia, y la derivación debe rehacerse con los números reales.

La regla para cualquier cifra de ruleta es la misma que para cualquier cifra de casino: indica la rueda, el pago y la apuesta. Sin eso, el porcentaje no es un hecho sobre el juego; es un número sin fuente.