Rouletteodds och husfördel: En härledning

Husfördel i roulette är inte ett tal som kan anges utan hjulet. Ett hjul med enkel nolla har 37 fickor. Ett hjul med dubbel nolla har 38. Båda betalar en vinnande straight-up på ett nummer med 35 till 1. Den skillnaden på en ficka är hela anledningen till att de två spelen kostar olika mycket att spela, och det är det första att fastställa innan någon siffra anges.

Hjulet bestämmer aritmetiken

Ett roulettehjul är en fysisk anordning med ett fast antal lika sannolika utfall. På ett europeiskt hjul är fickorna numrerade 1 till 36, plus en enkel nolla. Det är 37 fickor. På ett amerikanskt hjul är fickorna 1 till 36, plus en nolla och en dubbel nolla. Det är 38 fickor. Kulan landar i en ficka per snurr. Ingen ficka är mer sannolik än någon annan, och föregående resultat påverkar inte nästa.

Utbetalningstabellen är den andra indata. En straight-up-insats på ett enskilt nummer betalar 35 till 1. Det betyder att en vinnande insats på 1 enhet ger 35 enheter i vinst plus den ursprungliga insatsen på 1 enhet, totalt 36 enheter tillbaka. Utbetalningen är 35 till 1, inte 36 till 1. Skillnaden mellan utbetalningen och de sanna oddsen är husfördel.

Härledning av fördelen på ett hjul med enkel nolla

Ta en straight-up-insats på 1 enhet på ett enskilt nummer på ett europeiskt hjul.

• Det finns 37 lika sannolika utfall.
• Ett utfall vinner. Insatsen ger 36 enheter totalt (35 vinst plus insatsen på 1 enhet).
• 36 utfall förlorar. Insatsen ger 0.

Förväntad avkastning är summan av varje utfall multiplicerat med dess sannolikhet.

Förväntad avkastning = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Förväntad avkastning = 36/37
Förväntad avkastning = 0,972973

Den förväntade förlusten per 1 enhet satsad är 1 − 0,972973 = 0,027027, eller 2,70 %.

På motsvarande sätt är husfördel 1/37 = 0,027027. Den enkla nollan är den enda fickan som inte betalar något till straight-up-spelaren men ändå tar upp en plats på hjulet. Det är källan till fördelen.

Härledning av fördelen på ett hjul med dubbel nolla

Ta nu samma straight-up-insats på 1 enhet på ett amerikanskt hjul.

• Det finns 38 lika sannolika utfall.
• Ett utfall vinner. Insatsen ger 36 enheter totalt.
• 37 utfall förlorar. Insatsen ger 0.

Förväntad avkastning = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Förväntad avkastning = 36/38
Förväntad avkastning = 0,947368

Förväntad förlust per 1 enhet satsad = 1 − 0,947368 = 0,052632, eller 5,26 %.

Husfördel är 2/38 = 0,052632. Den dubbla nollan lägger till en andra ficka som inte betalar något på denna insats, och fördelen nästan fördubblas.

Varje standardinsats bär samma fördel

Straight-up-insatsen är inte speciell. På ett givet hjul har varje insats på layouten samma husfördel, eftersom varje insats prissätts utifrån samma 37 eller 38 fickor. Utbetalningen är alltid satt så att förhållandet mellan vinnande fickor och förlorande fickor är en enhet kort om rättvist.

Betrakta en split-insats på ett europeiskt hjul. En split täcker två nummer. Utbetalningen är 17 till 1. En vinnande insats på 1 enhet ger 18 enheter totalt (17 vinst plus insats).

• Vinnande utfall: 2 fickor.
• Förlorande utfall: 35 fickor.

Förväntad avkastning = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Förväntad avkastning = 36/37
Förväntad avkastning = 0,972973

Samma 2,70 % fördel. Samma gäller för en corner-insats (4 nummer, 8 till 1), en street (3 nummer, 11 till 1), en kolumn (12 nummer, 2 till 1) och en jämna pengar-insats som röd eller svart (18 nummer, 1 till 1). Var och en betalar en enhet mindre än de sanna oddsen som impliceras av de 37 fickorna.

På hjulet med dubbel nolla bär samma insatser 5,26 %, med ett undantag.

Femnummer-insatsen på det amerikanska hjulet

Det amerikanska hjulet har en insats som inte finns på den europeiska layouten: femnummer-insatsen, som täcker 0, 00, 1, 2 och 3. Den betalar 6 till 1. En vinnande insats på 1 enhet ger 7 enheter totalt (6 vinst plus insats).

• Vinnande utfall: 5 fickor.
• Förlorande utfall: 33 fickor.

Förväntad avkastning = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Förväntad avkastning = 35/38
Förväntad avkastning = 0,921053

Förväntad förlust per 1 enhet satsad = 1 − 0,921053 = 0,078947, eller 7,89 %.

Femnummer-insatsen är sämre än varje annan insats på samma hjul. Anledningen är att utbetalningen på 6 till 1 inte är det en-enhet-kort-om-rättvist-pris som de andra insatserna använder. Rättvisa odds för 5 vinnande fickor av 38 skulle vara 33 till 5, eller 6,6 till 1. Kasinot betalar 6 till 1. Underskottet är större än på de andra insatserna, och fördelen stiger till 7,89 %. Denna insats är den enda standardinsatsen på något av hjulen som bär en annan fördel än resten av bordet.

Vad fördelen kostar per timme

En procentandel av omsättningen är inte en kvantitet som de flesta kan känna. Samma 2,70 % fördel kostar mycket olika belopp beroende på insatsstorlek och hur många snurr som spelas per timme.

Anta att en spelare satsar 1 enhet per snurr på ett hjul med enkel nolla och spelar 200 snurr per timme. Detta är en rimlig takt för ett live-roulettebord med dealer, även om faktiska takter varierar med bordet och spelaren.

• Totalt satsat belopp under en timme: 1 × 200 = 200 enheter.
• Förväntad förlust: 200 × 0,027027 = 5,4054 enheter.

Vid 1 enhet per snurr och 200 snurr per timme är den förväntade kostnaden cirka 5,40 enheter per timme på ett hjul med enkel nolla.

På ett hjul med dubbel nolla vid samma insats och takt:

• Totalt satsat: 200 enheter.
• Förväntad förlust: 200 × 0,052632 = 10,5264 enheter.

Cirka 10,53 enheter per timme. Hjulet med dubbel nolla kostar ungefär 5,13 enheter mer per timme vid denna insats och takt.

Om insatsen är 5 enheter per snurr istället för 1, multiplicera båda siffrorna med 5: cirka 27,03 enheter per timme på enkel nolla, cirka 52,63 enheter per timme på dubbel nolla. Om takten är 100 snurr per timme istället för 200, halvera dem. Fördelens procentandel ändras inte; pengarna gör det.

Vad siffrorna beror på

Varje siffra ovan beror på specifika förhållanden. Tabellen nedan anger dem.

En siffra för “roulette” utan hjultyp är ofullständig. Samma spelnamn täcker båda hjulen, och fördelen skiljer sig med en faktor på nästan två. Femnummer-insatsen är en separat rad eftersom det är den enda insatsen på den amerikanska layouten som inte matchar resten av bordet.

Vad folk har fel om

Det vanligaste misstaget är att behandla hjulet som om det hade ett minne. Ett nummer som inte har dykt upp på många snurr är inte mer sannolikt att dyka upp på nästa snurr. Varje snurr är oberoende. Sannolikheten för ett specifikt nummer på ett hjul med enkel nolla är 1/37 på varje snurr, oavsett vad som kommit före. Samma gäller för röd eller svart, udda eller jämnt, och varje annan insats. Det finns ingen mekanism genom vilken tidigare resultat ändrar de fysiska sannolikheterna för nästa resultat. Hjulet vet inte vad det har gjort.

Detta misstag är naturligt eftersom människor letar efter mönster i sekvenser. En följd av tio röda känns som att den måste följas av svart, men hjulet har inget tillstånd att korrigera. Sannolikheten för svart på nästa snurr är 18/37 på ett hjul med enkel nolla, samma som den var på första snurret. Den förväntade förlusten per snurr är oförändrad.

Det andra vanliga misstaget är att tro att ett satsningssystem ändrar fördelen. Martingale, d’Alembert, Fibonacci och Labouchere är progressioner som ändrar storleken på insatser efter vinster eller förluster. De ändrar inte utbetalningstabellen eller antalet fickor. Det förväntade värdet av varje enskild insats är detsamma oavsett hur insatsen valdes. En progression omformar fördelningen av utfall: den gör många små vinster mer sannolika och några stora förluster mindre sannolika, eller tvärtom. Fördelningens medelvärde är fastställt av hjulet och utbetalningen. Ingen sekvens av insatsstorlekar kan flytta det. En spelare som använder Martingale på ett hjul med enkel nolla möter fortfarande en förväntad förlust på 2,70 % per enhet satsad. Systemet ändrar variansen, inte fördelen.

Detta misstag är naturligt eftersom progressioner producerar frekventa små vinster, vilket känns som bevis på en fördel. Den enstaka stora förlusten som balanserar böckerna är lätt att behandla som en avvikelse snarare än den andra sidan av samma fördelning.

Ett tredje misstag är att jämföra spel efter deras bästa session snarare än deras förväntade kostnad. En spelare som vinner en session på ett hjul med dubbel nolla har inte besegrat fördelen på 5,26 %; de har upplevt ett drag från en fördelning vars medelvärde är negativt. Över många snurr konvergerar genomsnittet mot den förväntade förlusten. Fördelen är en långsiktig egenskap, och den långa sikten är längre än de flesta sessioner.

Live-roulette och online-roulette

Aritmetiken ovan gäller för alla roulettehjul med det angivna antalet fickor och den angivna utbetalningen. Ett live-roulettebord som streamas till en skärm använder ett fysiskt hjul, och antalet fickor och utbetalningstabellen bestämmer fördelen på samma sätt. Ett online-roulettespel som använder en slumptalsgenerator för att simulera ett hjul följer samma utbetalningsstruktur, och fördelen bestäms av samma förhållande mellan utfall och utbetalningar. Versionen spelar roll: ett spel märkt “europeisk roulette” bör ha 37 fickor och en fördel på 2,70 % på standardinsatser; ett spel märkt “amerikansk roulette” bör ha 38 fickor och en fördel på 5,26 %. Om ett spel använder en annan utbetalningstabell ändras fördelen, och härledningen måste göras om med de faktiska siffrorna.

Regeln för varje roulettesiffra är densamma som för varje kasinosiffra: ange hjulet, utbetalningen och insatsen. Utan dessa är procentandelen inte ett faktum om spelet; det är en siffra utan källa.