Πιθανότητες στη ρουλέτα και πλεονέκτημα καζίνο: η αριθμητική

Το πλεονέκτημα του καζίνο στη ρουλέτα δεν είναι ένας αριθμός που μπορεί να αναφερθεί χωρίς τον τροχό. Ένας τροχός με ένα μηδέν έχει 37 θυρίδες. Ένας τροχός με δύο μηδέν έχει 38. Και οι δύο πληρώνουν ένα νικητήριο straight-up νούμερο με 35 προς 1. Αυτή η διαφορά μιας θυρίδας είναι ο λόγος που τα δύο παιχνίδια κοστίζουν διαφορετικά ποσά για να παίξετε, και είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να καθοριστεί πριν αναφερθεί οποιοδήποτε ποσό.

Ο τροχός καθορίζει την αριθμητική

Ένας τροχός ρουλέτας είναι μια φυσική συσκευή με σταθερό αριθμό εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων. Σε έναν ευρωπαϊκό τροχό, οι θυρίδες είναι αριθμημένες από το 1 έως το 36, συν ένα μηδέν. Αυτό είναι 37 θυρίδες. Σε έναν αμερικανικό τροχό, οι θυρίδες είναι από το 1 έως το 36, συν ένα μηδέν και ένα διπλό μηδέν. Αυτό είναι 38 θυρίδες. Η μπάλα προσγειώνεται σε μία θυρίδα ανά περιστροφή. Καμία θυρίδα δεν είναι πιο πιθανή από την άλλη, και το προηγούμενο αποτέλεσμα δεν έχει καμία επίδραση στο επόμενο.

Ο πίνακας πληρωμών είναι η δεύτερη είσοδος. Ένα straight-up στοίχημα σε έναν μόνο αριθμό πληρώνει 35 προς 1. Αυτό σημαίνει ότι ένα νικητήριο στοίχημα 1 μονάδας επιστρέφει 35 μονάδες κέρδος συν το αρχικό στοίχημα της 1 μονάδας, για ένα σύνολο 36 μονάδων πίσω. Η πληρωμή είναι 35 προς 1, όχι 36 προς 1. Η διαφορά μεταξύ της πληρωμής και των πραγματικών πιθανοτήτων είναι το πλεονέκτημα του καζίνο.

Παραγωγή του πλεονεκτήματος σε τροχό με ένα μηδέν

Πάρτε ένα straight-up στοίχημα 1 μονάδας σε έναν μόνο αριθμό σε έναν ευρωπαϊκό τροχό.

• Υπάρχουν 37 εξίσου πιθανά αποτελέσματα.
• Ένα αποτέλεσμα κερδίζει. Το στοίχημα επιστρέφει 36 μονάδες συνολικά (35 κέρδος συν το στοίχημα της 1 μονάδας).
• 36 αποτελέσματα χάνουν. Το στοίχημα επιστρέφει 0.

Η αναμενόμενη απόδοση είναι το άθροισμα κάθε αποτελέσματος πολλαπλασιασμένο με την πιθανότητά του.

Αναμενόμενη απόδοση = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Αναμενόμενη απόδοση = 36/37
Αναμενόμενη απόδοση = 0.972973

Η αναμενόμενη απώλεια ανά 1 μονάδα που ποντάρεται είναι 1 − 0.972973 = 0.027027, ή 2,70%.

Ισοδύναμα, το πλεονέκτημα του καζίνο είναι 1/37 = 0.027027. Το μονό μηδέν είναι η μία θυρίδα που δεν πληρώνει τίποτα στον straight-up παίκτη αλλά καταλαμβάνει ακόμα μια θέση στον τροχό. Αυτή είναι η πηγή του πλεονεκτήματος.

Παραγωγή του πλεονεκτήματος σε τροχό με δύο μηδέν

Τώρα πάρτε το ίδιο straight-up στοίχημα 1 μονάδας σε έναν αμερικανικό τροχό.

• Υπάρχουν 38 εξίσου πιθανά αποτελέσματα.
• Ένα αποτέλεσμα κερδίζει. Το στοίχημα επιστρέφει 36 μονάδες συνολικά.
• 37 αποτελέσματα χάνουν. Το στοίχημα επιστρέφει 0.

Αναμενόμενη απόδοση = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Αναμενόμενη απόδοση = 36/38
Αναμενόμενη απόδοση = 0.947368

Αναμενόμενη απώλεια ανά 1 μονάδα που ποντάρεται = 1 − 0.947368 = 0.052632, ή 5,26%.

Το πλεονέκτημα του καζίνο είναι 2/38 = 0.052632. Το διπλό μηδέν προσθέτει μια δεύτερη θυρίδα που δεν πληρώνει τίποτα σε αυτό το στοίχημα, και το πλεονέκτημα σχεδόν διπλασιάζεται.

Κάθε τυπικό στοίχημα φέρει το ίδιο πλεονέκτημα

Το straight-up στοίχημα δεν είναι ειδικό. Σε έναν δεδομένο τροχό, κάθε στοίχημα στο layout έχει το ίδιο πλεονέκτημα του καζίνο, επειδή κάθε στοίχημα τιμολογείται με βάση τις ίδιες 37 ή 38 θυρίδες. Η πληρωμή είναι πάντα καθορισμένη έτσι ώστε η αναλογία των κερδισμένων θυρίδων προς τις χαμένες θυρίδες να είναι μία μονάδα λιγότερο από το δίκαιο.

Εξετάστε ένα split στοίχημα σε έναν ευρωπαϊκό τροχό. Ένα split καλύπτει δύο αριθμούς. Η πληρωμή είναι 17 προς 1. Ένα νικητήριο στοίχημα 1 μονάδας επιστρέφει 18 μονάδες συνολικά (17 κέρδος συν το στοίχημα).

• Κερδισμένα αποτελέσματα: 2 θυρίδες.
• Χαμένα αποτελέσματα: 35 θυρίδες.

Αναμενόμενη απόδοση = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Αναμενόμενη απόδοση = 36/37
Αναμενόμενη απόδοση = 0.972973

Ίδιο πλεονέκτημα 2,70%. Το ίδιο ισχύει για ένα corner στοίχημα (4 αριθμοί, 8 προς 1), ένα street (3 αριθμοί, 11 προς 1), μια στήλη (12 αριθμοί, 2 προς 1) και ένα στοίχημα ίσων χρημάτων όπως κόκκινο ή μαύρο (18 αριθμοί, 1 προς 1). Κάθε ένα πληρώνει μία μονάδα λιγότερο από τις πραγματικές πιθανότητες που υπονοούν οι 37 θυρίδες.

Στον τροχό με δύο μηδέν, τα ίδια στοιχήματα φέρουν 5,26%, με μία εξαίρεση.

Το στοίχημα πέντε αριθμών στον αμερικανικό τροχό

Ο αμερικανικός τροχός έχει ένα στοίχημα που δεν υπάρχει στο ευρωπαϊκό layout: το στοίχημα πέντε αριθμών, που καλύπτει 0, 00, 1, 2 και 3. Πληρώνει 6 προς 1. Ένα νικητήριο στοίχημα 1 μονάδας επιστρέφει 7 μονάδες συνολικά (6 κέρδος συν το στοίχημα).

• Κερδισμένα αποτελέσματα: 5 θυρίδες.
• Χαμένα αποτελέσματα: 33 θυρίδες.

Αναμενόμενη απόδοση = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Αναμενόμενη απόδοση = 35/38
Αναμενόμενη απόδοση = 0.921053

Αναμενόμενη απώλεια ανά 1 μονάδα που ποντάρεται = 1 − 0.921053 = 0.078947, ή 7,89%.

Το στοίχημα πέντε αριθμών είναι χειρότερο από κάθε άλλο στοίχημα στον ίδιο τροχό. Ο λόγος είναι ότι η πληρωμή 6 προς 1 δεν είναι η τιμή μία μονάδα λιγότερο από το δίκαιο που χρησιμοποιούν τα άλλα στοιχήματα. Οι δίκαιες πιθανότητες για 5 κερδισμένες θυρίδες από τις 38 θα ήταν 33 προς 5, ή 6.6 προς 1. Το καζίνο πληρώνει 6 προς 1. Η έλλειψη είναι μεγαλύτερη από ό,τι στα άλλα στοιχήματα, και το πλεονέκτημα ανεβαίνει στο 7,89%. Αυτό το στοίχημα είναι το μόνο τυπικό στοίχημα σε οποιονδήποτε τροχό που φέρει διαφορετικό πλεονέκτημα από την υπόλοιπη τράπεζα.

Τι κοστίζει το πλεονέκτημα ανά ώρα

Ένα ποσοστό του τζίρου δεν είναι ένα ποσό που οι περισσότεροι άνθρωποι μπορούν να αισθανθούν. Το ίδιο πλεονέκτημα 2,70% κοστίζει πολύ διαφορετικά ποσά ανάλογα με το μέγεθος του πονταρίσματος και τον αριθμό των περιστροφών που παίζονται ανά ώρα.

Υποθέστε ότι ένας παίκτης ποντάρει 1 μονάδα ανά περιστροφή σε έναν τροχό με ένα μηδέν και παίζει 200 περιστροφές ανά ώρα. Αυτός είναι ένας εύλογος ρυθμός για ένα ζωντανό τραπέζι ρουλέτας με ντίλερ, αν και οι πραγματικοί ρυθμοί ποικίλλουν ανάλογα με το τραπέζι και τον παίκτη.

• Συνολικό ποσό που ποντάρεται σε μια ώρα: 1 × 200 = 200 μονάδες.
• Αναμενόμενη απώλεια: 200 × 0.027027 = 5.4054 μονάδες.

Σε 1 μονάδα ανά περιστροφή και 200 περιστροφές ανά ώρα, το αναμενόμενο κόστος είναι περίπου 5,40 μονάδες ανά ώρα σε έναν τροχό με ένα μηδέν.

Σε έναν τροχό με δύο μηδέν με το ίδιο ποντάρισμα και ρυθμό:

• Συνολικό ποντάρισμα: 200 μονάδες.
• Αναμενόμενη απώλεια: 200 × 0.052632 = 10.5264 μονάδες.

Περίπου 10,53 μονάδες ανά ώρα. Ο τροχός με δύο μηδέν κοστίζει περίπου 5,13 μονάδες περισσότερο ανά ώρα σε αυτό το ποντάρισμα και ρυθμό.

Εάν το ποντάρισμα είναι 5 μονάδες ανά περιστροφή αντί για 1, πολλαπλασιάστε και τα δύο ποσά με 5: περίπου 27,03 μονάδες ανά ώρα σε ένα μηδέν, περίπου 52,63 μονάδες ανά ώρα σε δύο μηδέν. Εάν ο ρυθμός είναι 100 περιστροφές ανά ώρα αντί για 200, μειώστε τα στο μισό. Το ποσοστό του πλεονεκτήματος δεν αλλάζει· τα χρήματα αλλάζουν.

Από τι εξαρτώνται τα ποσά

Κάθε αριθμός παραπάνω εξαρτάται από συγκεκριμένες συνθήκες. Ο παρακάτω πίνακας τις αναφέρει.

Ένα ποσό για τη “ρουλέτα” χωρίς τον τύπο του τροχού είναι ελλιπές. Το ίδιο όνομα παιχνιδιού καλύπτει και τους δύο τροχούς, και το πλεονέκτημα διαφέρει κατά έναν παράγοντα σχεδόν δύο. Το στοίχημα πέντε αριθμών είναι ξεχωριστή γραμμή επειδή είναι το μόνο στοίχημα στο αμερικανικό layout που δεν ταιριάζει με την υπόλοιπη τράπεζα.

Τι κάνουν λάθος οι άνθρωποι

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να αντιμετωπίζουν τον τροχό ως να έχει μνήμη. Ένας αριθμός που δεν έχει εμφανιστεί για πολλές περιστροφές δεν είναι πιο πιθανό να εμφανιστεί στην επόμενη περιστροφή. Κάθε περιστροφή είναι ανεξάρτητη. Η πιθανότητα οποιουδήποτε συγκεκριμένου αριθμού σε έναν τροχό με ένα μηδέν είναι 1/37 σε κάθε περιστροφή, ανεξάρτητα από το τι προηγήθηκε. Το ίδιο ισχύει για κόκκινο ή μαύρο, μονό ή ζυγό, και κάθε άλλο στοίχημα. Δεν υπάρχει μηχανισμός με τον οποίο τα προηγούμενα αποτελέσματα αλλάζουν τις φυσικές πιθανότητες του επόμενου αποτελέσματος. Ο τροχός δεν ξέρει τι έχει κάνει.

Αυτό το λάθος είναι φυσικό επειδή οι άνθρωποι αναζητούν μοτίβα σε ακολουθίες. Μια σειρά δέκα κόκκινων μοιάζει σαν να πρέπει να ακολουθηθεί από μαύρο, αλλά ο τροχός δεν έχει κατάσταση για να διορθώσει. Η πιθανότητα μαύρου στην επόμενη περιστροφή είναι 18/37 σε έναν τροχό με ένα μηδέν, η ίδια όπως ήταν στην πρώτη περιστροφή. Η αναμενόμενη απώλεια ανά περιστροφή είναι αμετάβλητη.

Το δεύτερο συνηθισμένο λάθος είναι να πιστεύουν ότι ένα σύστημα πονταρίσματος αλλάζει το πλεονέκτημα. Τα Martingale, d’Alembert, Fibonacci και Labouchere είναι προοδεύσεις που αλλάζουν το μέγεθος των στοιχημάτων μετά από νίκες ή ήττες. Δεν αλλάζουν τον πίνακα πληρωμών ή τον αριθμό των θυρίδων. Η αναμενόμενη αξία κάθε μεμονωμένου στοιχήματος είναι η ίδια ανεξάρτητα από το πώς επιλέχθηκε το ποντάρισμα. Μια προόδευση αναδιαμορφώνει την κατανομή των αποτελεσμάτων: κάνει πολλές μικρές νίκες πιο πιθανές και λίγες μεγάλες απώλειες λιγότερο πιθανές, ή το αντίστροφο. Ο μέσος όρος της κατανομής καθορίζεται από τον τροχό και την πληρωμή. Καμία ακολουθία μεγεθών στοιχημάτων δεν μπορεί να τον μετακινήσει. Ένας παίκτης που χρησιμοποιεί Martingale σε έναν τροχό με ένα μηδέν εξακολουθεί να αντιμετωπίζει αναμενόμενη απώλεια 2,70% ανά μονάδα που ποντάρεται. Το σύστημα αλλάζει τη διακύμανση, όχι το πλεονέκτημα.

Αυτό το λάθος είναι φυσικό επειδή οι προοδεύσεις παράγουν συχνές μικρές νίκες, που μοιάζουν με απόδειξη πλεονεκτήματος. Η περιστασιακή μεγάλη απώλεια που ισορροπεί τα βιβλία είναι εύκολο να αντιμετωπιστεί ως ακραία τιμή παρά ως η άλλη πλευρά της ίδιας κατανομής.

Ένα τρίτο λάθος είναι η σύγκριση παιχνιδιών με βάση την καλύτερη δυνατή συνεδρία τους αντί για το αναμενόμενο κόστος τους. Ένας παίκτης που κερδίζει μια συνεδρία σε έναν τροχό με δύο μηδέν δεν έχει νικήσει το πλεονέκτημα του 5,26%· έχει βιώσει μια κλήρωση από μια κατανομή της οποίας ο μέσος όρος είναι αρνητικός. Μετά από πολλές περιστροφές, ο μέσος όρος συγκλίνει προς την αναμενόμενη απώλεια. Το πλεονέκτημα είναι μια μακροπρόθεσμη ιδιότητα, και το μακροπρόθεσμο είναι μεγαλύτερο από τις περισσότερες συνεδρίες.

Ζωντανή ρουλέτα και διαδικτυακή ρουλέτα

Η παραπάνω αριθμητική ισχύει για οποιονδήποτε τροχό ρουλέτας με τον αναφερόμενο αριθμό θυρίδων και την αναφερόμενη πληρωμή. Ένα ζωντανό τραπέζι ρουλέτας που μεταδίδεται σε μια οθόνη χρησιμοποιεί έναν φυσικό τροχό, και ο αριθμός των θυρίδων και ο πίνακας πληρωμών καθορίζουν το πλεονέκτημα με τον ίδιο τρόπο. Ένα διαδικτυακό παιχνίδι ρουλέτας που χρησιμοποιεί μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών για να προσομοιώσει έναν τροχό ακολουθεί την ίδια δομή πληρωμών, και το πλεονέκτημα καθορίζεται από την ίδια σχέση μεταξύ αποτελεσμάτων και πληρωμών. Η έκδοση έχει σημασία: ένα παιχνίδι με την ετικέτα “Ευρωπαϊκή ρουλέτα” θα πρέπει να έχει 37 θυρίδες και πλεονέκτημα 2,70% στα τυπικά στοιχήματα· ένα παιχνίδι με την ετικέτα “Αμερικανική ρουλέτα” θα πρέπει να έχει 38 θυρίδες και πλεονέκτημα 5,26%. Εάν ένα παιχνίδι χρησιμοποιεί διαφορετικό πίνακα πληρωμών, το πλεονέκτημα αλλάζει, και η παραγωγή πρέπει να ξαναγίνει με τους πραγματικούς αριθμούς.

Ο κανόνας για οποιοδήποτε ποσό ρουλέτας είναι ο ίδιος όπως για οποιοδήποτε ποσό καζίνο: αναφέρετε τον τροχό, την πληρωμή και το στοίχημα. Χωρίς αυτά, το ποσοστό δεν είναι γεγονός για το παιχνίδι· είναι ένας αριθμός χωρίς πηγή.