Rouletteodds og husets fordel: En udledning

Husets fordel i roulette er ikke et tal, der kan citeres uden hjulet. Et enkelt-nul-hjul har 37 lommer. Et dobbelt-nul-hjul har 38. Begge udbetaler et vindende straight-up-nummer til 35 til 1. Denne forskel på én lomme er hele grunden til, at de to spil koster forskellige beløb at spille, og det er den første ting, der skal fastslås, før nogen figur angives.

Hjulet bestemmer aritmetikken

Et roulettehjul er en fysisk indretning med et fast antal lige sandsynlige udfald. På et europæisk hjul er lommerne nummereret 1 til 36 plus et enkelt nul. Det er 37 lommer. På et amerikansk hjul er lommerne 1 til 36 plus et nul og et dobbelt nul. Det er 38 lommer. Kuglen lander i én lomme per spin. Ingen lomme er mere sandsynlig end en anden, og det forrige resultat har ingen indflydelse på det næste.

Udbetalingstabellen er det andet input. Et straight-up-væddemål på et enkelt nummer udbetaler 35 til 1. Det betyder, at en vindende indsats på 1 enhed returnerer 35 enheder i profit plus den oprindelige indsats på 1 enhed, i alt 36 enheder tilbage. Udbetalingen er 35 til 1, ikke 36 til 1. Forskellen mellem udbetalingen og de sande odds er husets fordel.

Udledning af fordelen på et enkelt-nul-hjul

Tag et straight-up-væddemål på 1 enhed på et enkelt nummer på et europæisk hjul.

• Der er 37 lige sandsynlige udfald.
• Ét udfald vinder. Væddemålet returnerer 36 enheder i alt (35 profit plus indsatsen på 1 enhed).
• 36 udfald taber. Væddemålet returnerer 0.

Den forventede tilbagebetaling er summen af hvert udfald ganget med dets sandsynlighed.

Forventet tilbagebetaling = (1/37 × 36) + (36/37 × 0)
Forventet tilbagebetaling = 36/37
Forventet tilbagebetaling = 0,972973

Det forventede tab per 1 enhed satset er 1 − 0,972973 = 0,027027, eller 2,70 %.

Tilsvarende er husets fordel 1/37 = 0,027027. Det enkelte nul er den ene lomme, der ikke betaler noget til straight-up-spilleren, men stadig optager en plads på hjulet. Det er kilden til fordelen.

Udledning af fordelen på et dobbelt-nul-hjul

Tag nu det samme straight-up-væddemål på 1 enhed på et amerikansk hjul.

• Der er 38 lige sandsynlige udfald.
• Ét udfald vinder. Væddemålet returnerer 36 enheder i alt.
• 37 udfald taber. Væddemålet returnerer 0.

Forventet tilbagebetaling = (1/38 × 36) + (37/38 × 0)
Forventet tilbagebetaling = 36/38
Forventet tilbagebetaling = 0,947368

Forventet tab per 1 enhed satset = 1 − 0,947368 = 0,052632, eller 5,26 %.

Husets fordel er 2/38 = 0,052632. Det dobbelte nul tilføjer en anden lomme, der ikke betaler noget på dette væddemål, og fordelen næsten fordobles.

Hvert standardvæddemål bærer samme fordel

Straight-up-væddemålet er ikke specielt. På et givet hjul har hvert væddemål på layoutet samme husets fordel, fordi hvert væddemål er prissat ud fra de samme 37 eller 38 lommer. Udbetalingen er altid sat, så forholdet mellem vindende lommer og tabende lommer er én enhed mindre end fair.

Overvej et split-væddemål på et europæisk hjul. Et split dækker to numre. Udbetalingen er 17 til 1. Et vindende væddemål på 1 enhed returnerer 18 enheder i alt (17 profit plus indsats).

• Vindende udfald: 2 lommer.
• Tabende udfald: 35 lommer.

Forventet tilbagebetaling = (2/37 × 18) + (35/37 × 0)
Forventet tilbagebetaling = 36/37
Forventet tilbagebetaling = 0,972973

Samme fordel på 2,70 %. Det samme gælder for et corner-væddemål (4 numre, 8 til 1), et street (3 numre, 11 til 1), en kolonne (12 numre, 2 til 1) og et even-money-væddemål som rød eller sort (18 numre, 1 til 1). Hver betaler én enhed mindre end de sande odds, der antydes af de 37 lommer.

På dobbelt-nul-hjulet bærer de samme væddemål 5,26 %, med én undtagelse.

Fem-numre-væddemålet på det amerikanske hjul

Det amerikanske hjul har et væddemål, der ikke findes på det europæiske layout: fem-numre-væddemålet, der dækker 0, 00, 1, 2 og 3. Det udbetaler 6 til 1. Et vindende væddemål på 1 enhed returnerer 7 enheder i alt (6 profit plus indsats).

• Vindende udfald: 5 lommer.
• Tabende udfald: 33 lommer.

Forventet tilbagebetaling = (5/38 × 7) + (33/38 × 0)
Forventet tilbagebetaling = 35/38
Forventet tilbagebetaling = 0,921053

Forventet tab per 1 enhed satset = 1 − 0,921053 = 0,078947, eller 7,89 %.

Fem-numre-væddemålet er dårligere end alle andre væddemål på samme hjul. Årsagen er, at udbetalingen på 6 til 1 ikke er den pris, der er én enhed mindre end fair, som de andre væddemål bruger. Fair odds for 5 vindende lommer ud af 38 ville være 33 til 5, eller 6,6 til 1. Kasinoet betaler 6 til 1. Underskuddet er større end på de andre væddemål, og fordelen stiger til 7,89 %. Dette væddemål er det eneste standardvæddemål på begge hjul, der bærer en anden fordel end resten af bordet.

Hvad fordelen koster per time

En procentdel af omsætningen er ikke en størrelse, de fleste kan mærke. Den samme fordel på 2,70 % koster meget forskellige beløb afhængigt af indsatsens størrelse og antallet af spins per time.

Antag, at en spiller satser 1 enhed per spin på et enkelt-nul-hjul og spiller 200 spins per time. Dette er en plausibel rate for et live roulettebord med en dealer, selvom faktiske rater varierer med bordet og spilleren.

• Samlet beløb satset på en time: 1 × 200 = 200 enheder.
• Forventet tab: 200 × 0,027027 = 5,4054 enheder.

Ved 1 enhed per spin og 200 spins per time er den forventede omkostning ca. 5,40 enheder per time på et enkelt-nul-hjul.

På et dobbelt-nul-hjul med samme indsats og rate:

• Samlet satset: 200 enheder.
• Forventet tab: 200 × 0,052632 = 10,5264 enheder.

Ca. 10,53 enheder per time. Dobbelt-nul-hjulet koster ca. 5,13 enheder mere per time ved denne indsats og rate.

Hvis indsatsen er 5 enheder per spin i stedet for 1, ganges begge tal med 5: ca. 27,03 enheder per time på enkelt-nul, ca. 52,63 enheder per time på dobbelt-nul. Hvis raten er 100 spins per time i stedet for 200, halveres de. Fordelens procentdel ændrer sig ikke; pengene gør.

Hvad tallene afhænger af

Hvert tal ovenfor afhænger af specifikke betingelser. Tabellen nedenfor angiver dem.

Et tal for “roulette” uden hjultype er ufuldstændigt. Det samme spillenavn dækker begge hjul, og fordelen adskiller sig med en faktor på næsten to. Fem-numre-væddemålet er en separat række, fordi det er det ene væddemål på det amerikanske layout, der ikke matcher resten af bordet.

Hvad folk gør forkert

Den mest almindelige fejl er at behandle hjulet, som om det har en hukommelse. Et nummer, der ikke er dukket op i mange spins, er ikke mere sandsynligt at dukke op på næste spin. Hvert spin er uafhængigt. Sandsynligheden for et bestemt nummer på et enkelt-nul-hjul er 1/37 på hvert spin, uanset hvad der kom før. Det samme gælder for rød eller sort, ulige eller lige og alle andre væddemål. Der er ingen mekanisme, hvorved tidligere resultater ændrer de fysiske sandsynligheder for det næste resultat. Hjulet ved ikke, hvad det har gjort.

Denne fejl er naturlig, fordi folk leder efter mønstre i sekvenser. En serie på ti røde føles, som om den skal efterfølges af sort, men hjulet har ingen tilstand at korrigere. Sandsynligheden for sort på næste spin er 18/37 på et enkelt-nul-hjul, det samme som på det første spin. Det forventede tab per spin er uændret.

Den anden almindelige fejl er at tro, at et indsatssystem ændrer fordelen. Martingale, d’Alembert, Fibonacci og Labouchere er progressioner, der ændrer størrelsen af væddemål efter gevinster eller tab. De ændrer ikke udbetalingstabellen eller antallet af lommer. Den forventede værdi af hvert enkelt væddemål er den samme, uanset hvordan indsatsen blev valgt. En progression omformer fordelingen af udfald: den gør mange små gevinster mere sandsynlige og nogle få store tab mindre sandsynlige, eller omvendt. Middelværdien af fordelingen er fastsat af hjulet og udbetalingen. Ingen sekvens af indsatsstørrelser kan flytte den. En spiller, der bruger Martingale på et enkelt-nul-hjul, står stadig over for et forventet tab på 2,70 % per enhed satset. Systemet ændrer variansen, ikke fordelen.

Denne fejl er naturlig, fordi progressioner producerer hyppige små gevinster, som føles som bevis på en fordel. Det lejlighedsvise store tab, der balancerer regnskabet, er let at behandle som en outlier i stedet for den anden side af samme fordeling.

En tredje fejl er at sammenligne spil efter deres bedste session i stedet for deres forventede omkostning. En spiller, der vinder en session på et dobbelt-nul-hjul, har ikke besejret fordelen på 5,26 %; de har oplevet ét træk fra en fordeling, hvis middelværdi er negativ. Over mange spins konvergerer gennemsnittet mod det forventede tab. Fordelen er en langsigtet egenskab, og det lange løb er længere end de fleste sessioner.

Live roulette og online roulette

Aritmetikken ovenfor gælder for ethvert roulettehjul med det angivne antal lommer og den angivne udbetaling. Et live roulettebord streamet til en skærm bruger et fysisk hjul, og antallet af lommer og udbetalingstabellen bestemmer fordelen på samme måde. Et online roulette-spil, der bruger en tilfældig talgenerator til at simulere et hjul, følger samme udbetalingsstruktur, og fordelen er fastsat af samme forhold mellem udfald og udbetalinger. Versionen betyder noget: et spil mærket “europæisk roulette” bør have 37 lommer og en fordel på 2,70 % på standardvæddemål; et spil mærket “amerikansk roulette” bør have 38 lommer og en fordel på 5,26 %. Hvis et spil bruger en anden udbetalingstabel, ændres fordelen, og udledningen skal gentages med de faktiske tal.

Reglen for enhver roulettefigur er den samme som for enhver kasinofigur: angiv hjulet, udbetalingen og væddemålet. Uden disse er procentdelen ikke et faktum om spillet; det er et tal uden en kilde.