Πιθανότητες και πλεονέκτημα καζίνο στο craps: κάθε στοίχημα στο τραπέζι

Ένα τραπέζι craps προσφέρει τη μεγαλύτερη γκάμα πλεονεκτημάτων καζίνο σε ένα καζίνο, από 1,36% στη γραμμή don’t pass έως πάνω από 16% σε ορισμένα προτεινόμενα στοιχήματα στο κέντρο του τραπεζιού. Η ίδια ζαριά κρίνει όλα αυτά, οπότε η διαφορά δεν είναι στο παιχνίδι αλλά στον πίνακα πληρωμών και στον αριθμό των αποτελεσμάτων που καλύπτει κάθε στοίχημα. Αυτή η σελίδα εξάγει κάθε νούμερο από αυτά τα δύο πράγματα, αναφέρει τους κανόνες από τους οποίους εξαρτάται κάθε νούμερο και μετατρέπει τα πλεονεκτήματα σε χρήματα ανά ώρα με δεδομένο ποσό στοιχήματος και ρυθμό ζαριών.

Το τραπέζι και τα ζάρια

Ένα τραπέζι craps είναι ένα τραπέζι με τσόχα με σημασμένη περιοχή come, περιοχή don’t come, γραμμή pass, γραμμή don’t pass και ένα κεντρικό τμήμα με προτεινόμενα στοιχήματα. Χρησιμοποιούνται δύο ζάρια με έξι πλευρές. Τα 36 εξίσου πιθανά αποτελέσματα είναι η βάση κάθε υπολογισμού που ακολουθεί. Η κατανομή των συνόλων είναι:

Αυτές οι πιθανότητες είναι σταθερές από τα ζάρια. Κανένα προηγούμενο αποτέλεσμα δεν τις αλλάζει. Τα ζάρια δεν έχουν μνήμη, και ένα τραπέζι που δεν έχει δει 7 για είκοσι λεπτά δεν είναι πιο πιθανό να βγάλει ένα στην επόμενη ζαριά από ένα τραπέζι που μόλις έβγαλε τρία στη σειρά.

Η ζαριά come-out και το point

Το στοίχημα pass line κρίνεται σε δύο στάδια. Η πρώτη ζαριά είναι η come-out. Αν η come-out είναι 7 ή 11, το pass line κερδίζει ίσα χρήματα. Αν είναι 2, 3 ή 12, χάνει. Οποιοδήποτε άλλο σύνολο γίνεται το point. Ο ντίλερ τοποθετεί ένα μαρκάκι σε αυτόν τον αριθμό. Ο shooter τότε ρίχνει μέχρι είτε να επαναληφθεί το point, οπότε το pass line κερδίζει ίσα χρήματα, είτε να εμφανιστεί 7, οπότε χάνει.

Το στοίχημα don’t pass είναι το αντίστροφο: κερδίζει σε come-out 2 ή 3, επιστρέφει το στοίχημα (push) στο 12, χάνει σε 7 ή 11 και κερδίζει ίσα χρήματα αν εμφανιστεί 7 πριν επαναληφθεί το point.

Εξαγωγή του πλεονεκτήματος του pass line

Το πλεονέκτημα του pass line δεν είναι μία μόνο πιθανότητα αλλά ένας σταθμισμένος μέσος όρος πάνω από τα πιθανά points. Ο υπολογισμός γίνεται σε τρία βήματα.

Βήμα 1: Αποτελέσματα come-out. Στην come-out, 7 ή 11 κερδίζει, 2, 3 ή 12 χάνει, και οποιοδήποτε άλλο σύνολο καθιερώνει point. Η πιθανότητα να κερδίσετε στην come-out είναι (6+2)/36 = 8/36. Η πιθανότητα να χάσετε είναι (1+2+1)/36 = 4/36. Το υπόλοιπο 24/36 καθιερώνει point.

Βήμα 2: Επίλυση point. Για κάθε point, η πιθανότητα να επαναληφθεί το point πριν από ένα 7 είναι ο αριθμός των τρόπων να γίνει το point διαιρεμένος με το άθροισμα των τρόπων να γίνει το point και των τρόπων να γίνει 7. Οι τρόποι να γίνει 7 είναι πάντα 6.

Βήμα 3: Συνδυασμός. Η πιθανότητα να καθιερωθεί κάθε point είναι ο αριθμός των τρόπων να γίνει αυτό το σύνολο διαιρεμένος με 36. Η συνολική πιθανότητα να κερδίσετε αφού καθιερωθεί point είναι το άθροισμα πάνω από τα points του P(point) επί P(point πριν από 7).

• Point 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Point 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Μετατρέποντας σε δεκαδικά και αθροίζοντας: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Άρα η πιθανότητα να κερδίσετε αφού καθιερωθεί point είναι περίπου 0,2707.

Η συνολική πιθανότητα να κερδίσετε το pass line είναι η νίκη στην come-out συν τη νίκη στο point: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Η πιθανότητα να χάσετε είναι 1 - 0,4929 = 0,5071. Το πλεονέκτημα του καζίνο είναι η διαφορά μεταξύ της πιθανότητας να χάσετε και να κερδίσετε, αφού η πληρωμή είναι ίσα χρήματα: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, ή 1,42%. Το κοινώς αναφερόμενο νούμερο είναι 1,41%, που προκύπτει από τη διατήρηση περισσότερων δεκαδικών ψηφίων στον υπολογισμό. Το ακριβές κλάσμα είναι 7/495, που είναι 0,0141414… = 1,41%.

Αυτό το νούμερο εξαρτάται από το pass line να πληρώνει ίσα χρήματα και από τους κανόνες come-out όπως αναφέρονται. Αν ένα καζίνο προσφέρει odds 3-4-5x, το πλεονέκτημα του pass line παραμένει αμετάβλητο. Το στοίχημα odds είναι ξεχωριστό στοίχημα χωρίς πλεονέκτημα.

Εξαγωγή του πλεονεκτήματος του don’t pass

Το στοίχημα don’t pass κερδίζει σε come-out 2 ή 3, επιστρέφει το στοίχημα (push) στο 12 και χάνει σε 7 ή 11. Αν καθιερωθεί point, κερδίζει αν εμφανιστεί 7 πριν επαναληφθεί το point.

Η πιθανότητα να κερδίσετε στην come-out είναι (1+2)/36 = 3/36. Η πιθανότητα να χάσετε είναι (6+2)/36 = 8/36. Η πιθανότητα push είναι 1/36. Το υπόλοιπο 24/36 καθιερώνει point. Για κάθε point, η πιθανότητα 7 πριν από το point είναι 1 μείον την πιθανότητα του point πριν από 7. Έτσι για point 4, P(7 πριν από 4) = 6/9 = 0,6667, και ούτω καθεξής.

Η συνολική πιθανότητα να κερδίσετε αφού καθιερωθεί point είναι το άθροισμα πάνω από τα points του P(point) * P(7 πριν από point).

• Point 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Point 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Άθροισμα: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Συνολική πιθανότητα να κερδίσετε: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Πιθανότητα να χάσετε: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Περίμενε, αυτό δεν είναι σωστό. Η πιθανότητα να χάσετε αφού καθιερωθεί point είναι η πιθανότητα να επαναληφθεί το point πριν από 7, που είναι 0,2707. Άρα η συνολική πιθανότητα να χάσετε είναι 8/36 + 0,2707 = 0,4929. Η πιθανότητα push είναι 1/36 = 0,02778. Έλεγχος: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Καλά.

Το πλεονέκτημα του καζίνο στο don’t pass είναι η διαφορά μεταξύ των πιθανοτήτων να χάσετε και να κερδίσετε, προσαρμοσμένη για το push: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, ή 1,40%. Το κοινώς αναφερόμενο νούμερο είναι 1,36%, που προκύπτει από πιο ακριβή υπολογισμό. Το ακριβές κλάσμα είναι 3/220 = 0,013636… = 1,36%. Η απόκλιση προκύπτει επειδή το push εξαιρείται από τον παρονομαστή. Το σωστό πλεονέκτημα είναι 1,36%.

Αυτό το νούμερο εξαρτάται από το ότι το don’t pass bar είναι 12. Κάποια τραπέζια έχουν bar 2 αντ’ αυτού, που αλλάζει ελαφρώς το πλεονέκτημα.

Δωρεάν odds: το μόνο στοίχημα με μηδενικό πλεονέκτημα

Αφού καθιερωθεί point, ο παίκτης του pass line μπορεί να τοποθετήσει ένα επιπλέον στοίχημα πίσω από τη γραμμή, που ονομάζεται odds. Αυτό το στοίχημα πληρώνεται σε πραγματικές πιθανότητες: 2:1 στα points 4 ή 10, 3:2 στα 5 ή 9 και 6:5 στα 6 ή 8. Επειδή η πληρωμή ταιριάζει με την πραγματική πιθανότητα, η αναμενόμενη αξία του στοιχήματος odds είναι μηδέν. Το καζίνο δεν έχει πλεονέκτημα σε αυτό.

Το στοίχημα odds δεν αλλάζει το πλεονέκτημα του καζίνο στο pass line. Μειώνει το συνολικό πλεονέκτημα επειδή μεγαλύτερο μέρος του συνολικού ποσού που στοιχηματίζεται είναι σε στοίχημα μηδενικού πλεονεκτήματος. Για παράδειγμα, αν ένας παίκτης στοιχηματίσει 10 στο pass line και 10 σε odds, το συνολικό στοίχημα είναι 20. Η αναμενόμενη απώλεια είναι 1,41% του 10, που είναι 0,141. Το συνολικό πλεονέκτημα είναι 0,141/20 = 0,705%. Με 100 σε odds, το συνολικό πλεονέκτημα είναι 0,141/110 = 0,128%. Το πλεονέκτημα του pass line παραμένει 1,41% στο βασικό στοίχημα.

Αυτό είναι το μόνο στοίχημα σε ένα καζίνο που δεν έχει πλεονέκτημα καζίνο. Εξαρτάται από το αν το καζίνο επιτρέπει odds και από το μέγιστο πολλαπλάσιο odds, που είναι συνήθως 3-4-5x, δηλαδή 3x στα 4 και 10, 4x στα 5 και 9 και 5x στα 6 και 8.

Προτεινόμενα στοιχήματα: τα πιο θορυβώδη και τα χειρότερα

Το κέντρο του τραπεζιού προσφέρει στοιχήματα σε συγκεκριμένα αποτελέσματα: any 7, any craps, τα hardways και τα μεμονωμένα σύνολα. Αυτά έχουν υψηλές πληρωμές και υψηλά πλεονεκτήματα καζίνο.

Το πλεονέκτημα του καζίνο για το any 7: η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 6/36 = 0,1667. Η πληρωμή είναι 4:1, οπότε ένα στοίχημα 1 επιστρέφει 5 σε νίκη (4 κέρδος συν το στοίχημα). Η αναμενόμενη αξία είναι (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, ή 16,67%.

Για το any craps: η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 4/36 = 0,1111. Πληρωμή 7:1. Αναμενόμενη αξία: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, ή 11,11%.

Για το hard 8: η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 2/36 = 0,0556. Πληρωμή 9:1. Αναμενόμενη αξία: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, ή 44,44%; Αυτό δεν είναι σωστό. Περίμενε, το hard 8 κερδίζει αν τα ζάρια δείξουν 4-4 πριν από οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό που κάνει 8 ή 7. Η πιθανότητα να κερδίσετε δεν είναι απλώς 2/36. Η σωστή πιθανότητα για το hard 8 είναι 2/36; Όχι, το στοίχημα hardway κρίνεται σε πολλές ζαριές. Η πιθανότητα να ρίξετε ένα hard 8 πριν από ένα easy 8 ή ένα 7 είναι 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Η πληρωμή είναι 9:1, οπότε αναμενόμενη αξία: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667; Αυτό θα ήταν θετικό, που είναι αδύνατο. Ας υπολογίσουμε ξανά: το στοίχημα hardway κερδίζει αν ο shooter ρίξει 4-4 πριν ρίξει 7 ή οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό που κάνει 8 (που είναι 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). Οι τρόποι να ρίξετε hard 8 είναι 1 (4-4). Οι τρόποι να ρίξετε easy 8 είναι 4. Οι τρόποι να ρίξετε 7 είναι 6. Άρα η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Η πληρωμή είναι 9:1, οπότε αναμενόμενη αξία: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, ή 9,09%. Αυτό ταιριάζει με τον πίνακα.

Για το hard 4 ή 10: οι τρόποι να ρίξετε hard 4 είναι 1 (2-2). Οι τρόποι να ρίξετε easy 4 είναι 2 (1-3, 3-1). Οι τρόποι να ρίξετε 7 είναι 6. Πιθανότητα να κερδίσετε: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Πληρωμή 7:1. Αναμενόμενη αξία: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11%.

Αυτά τα πλεονεκτήματα εξαρτώνται από τον συγκεκριμένο πίνακα πληρωμών και τους κανόνες για κάθε στοίχημα. Είναι σταθερά από τα ζάρια και τις πληρωμές.

Τι κάνουν λάθος οι άνθρωποι

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να αντιμετωπίζουν τα ζάρια σαν να έχουν μνήμη. Ένας shooter που έχει ρίξει έξι points στη σειρά δεν είναι πιο πιθανό να βγάλει seven out στην επόμενη ζαριά. Η πιθανότητα ενός 7 σε οποιαδήποτε ζαριά είναι πάντα 6/36 = 16,67%. Το λάθος είναι φυσικό γιατί στην καθημερινή ζωή, οι σειρές συχνά υποδηλώνουν αλλαγή στις υποκείμενες συνθήκες: ένας παίκτης του μπάσκετ που έχει βάλει δέκα σουτ στη σειρά μπορεί να βρίσκεται σε κατάσταση αυξημένης συγκέντρωσης. Αλλά τα ζάρια δεν έχουν κατάσταση. Τα φυσικά ζάρια είναι πανομοιότυπα σε κάθε ζαριά και το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο.

Ένα άλλο λάθος είναι να πιστεύετε ότι το στοίχημα odds μειώνει το πλεονέκτημα του καζίνο στο pass line. Δεν το κάνει. Είναι ξεχωριστό στοίχημα με μηδενικό πλεονέκτημα. Το στοίχημα pass line εξακολουθεί να έχει πλεονέκτημα 1,41%. Το συνολικό πλεονέκτημα στο συνδυασμένο ποσό είναι χαμηλότερο, αλλά το πλεονέκτημα στο βασικό στοίχημα παραμένει αμετάβλητο.

Ένα τρίτο λάθος είναι να πιστεύετε ότι τα προτεινόμενα στοιχήματα είναι «ώριμα». Ένα στοίχημα σε any 7 δεν γίνεται πιο πιθανό μετά από μια μεγάλη σειρά χωρίς 7. Η πιθανότητα είναι πάντα 6/36.

Χρήματα ανά ώρα

Το πλεονέκτημα του καζίνο είναι ένα ποσοστό του τζίρου, που δεν είναι ένα μέγεθος που οι περισσότεροι μπορούν να αισθανθούν. Για να το κάνουμε συγκεκριμένο, σκεφτείτε έναν παίκτη που στοιχηματίζει 10 στο pass line σε κάθε ζαριά come-out, χωρίς odds. Ένα τραπέζι craps συνήθως κρίνει ένα στοίχημα pass line σε περίπου δύο με τρεις ζαριές, αλλά ο αριθμός των ζαριών come-out ανά ώρα εξαρτάται από τον αριθμό των παικτών και την ταχύτητα του ντίλερ. Μια λογική εκτίμηση για ένα γεμάτο τραπέζι είναι 60 ζαριές come-out ανά ώρα. Με 10 ανά στοίχημα, το συνολικό ποσό που στοιχηματίζεται ανά ώρα είναι 600. Η αναμενόμενη απώλεια είναι 1,41% του 600, που είναι 8,46 ανά ώρα.

Αν ο ίδιος παίκτης προσθέσει 10 σε odds πίσω από κάθε point, το συνολικό στοίχημα ανά ζαριά come-out είναι 10 συν τα odds, αλλά τα odds τοποθετούνται μόνο όταν καθιερωθεί point. Η πιθανότητα να καθιερωθεί point είναι 24/36 = 66,67%. Άρα το μέσο στοίχημα odds ανά ζαριά come-out είναι 10 * 0,6667 = 6,67. Το συνολικό μέσο στοίχημα ανά ζαριά come-out είναι 16,67. Με 60 ζαριές come-out ανά ώρα, ο συνολικός τζίρος είναι 1000. Η αναμενόμενη απώλεια είναι 1,41% του 10 (το βασικό στοίχημα) ανά ζαριά come-out, που είναι 0,141 ανά ζαριά, επί 60 = 8,46 ανά ώρα. Το τμήμα των odds δεν προσθέτει αναμενόμενη απώλεια. Άρα η ωριαία απώλεια είναι η ίδια 8,46, αλλά το συνολικό ποσό που στοιχηματίζεται είναι υψηλότερο, οπότε το πραγματικό πλεονέκτημα στον συνολικό τζίρο είναι 0,846%.

Αν ο παίκτης αντ’ αυτού στοιχηματίζει 10 σε any 7 σε κάθε ζαριά, και υπάρχουν 100 ζαριές ανά ώρα (συμπεριλαμβανομένων των μη come-out ζαριών), το συνολικό στοίχημα είναι 1000. Η αναμενόμενη απώλεια είναι 16,67% του 1000, που είναι 166,70 ανά ώρα. Αυτό είναι το κόστος του πιο θορυβώδους στοιχήματος στο τραπέζι.

Αυτά τα νούμερα εξαρτώνται από τον αριθμό των ζαριών come-out ανά ώρα και τον αριθμό των συνολικών ζαριών ανά ώρα, που ποικίλλουν ανάλογα με τις συνθήκες του τραπεζιού. Υποθέτουν επίσης ότι ο παίκτης στοιχηματίζει πάντα το ίδιο ποσό και δεν μεταβάλλει το μέγεθος του στοιχήματος.

Κανόνες που αλλάζουν τα νούμερα

Το πλεονέκτημα του pass line του 1,41% υποθέτει τους κανόνες come-out όπως περιγράφονται και πληρωμή ίσων χρημάτων. Το πλεονέκτημα του don’t pass του 1,36% υποθέτει bar 12. Αν το τραπέζι έχει bar 2, το πλεονέκτημα είναι επίσης 1,36%; Στην πραγματικότητα, αν το τραπέζι έχει bar 2, το στοίχημα don’t pass επιστρέφει το στοίχημα (push) στο 2 αντί για το 12, που αλλάζει ελαφρώς το πλεονέκτημα. Η διαφορά είναι μικρή.

Η πληρωμή του στοιχήματος odds εξαρτάται από το point: 2:1 στα 4 και 10, 3:2 στα 5 και 9, 6:5 στα 6 και 8. Αυτές είναι πραγματικές πιθανότητες και δεν αλλάζουν.

Τα πλεονεκτήματα των προτεινόμενων στοιχημάτων εξαρτώνται από τον συγκεκριμένο πίνακα πληρωμών. Κάποια καζίνο προσφέρουν διαφορετικές πληρωμές για το horn bet, που είναι συνδυασμός των 2, 3, 11 και 12. Το πλεονέκτημα στο horn bet είναι 12,5% αν οι πληρωμές είναι 30:1 στα 2 και 12, και 15:1 στα 3 και 11, με το στοίχημα να χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν οι πληρωμές είναι διαφορετικές, το πλεονέκτημα αλλάζει.

Όλα τα νούμερα σε αυτή τη σελίδα είναι για ένα τυπικό τραπέζι craps με δύο ζάρια και τους κανόνες όπως αναφέρονται. Δεν ισχύουν για crapless craps, που έχει διαφορετικούς αριθμούς point και διαφορετικά πλεονεκτήματα.