Probabilidades no craps: vantagem da casa em cada aposta

Uma mesa de craps oferece a mais ampla variação de vantagens da casa em um cassino, de 1,36% na linha don’t pass a mais de 16% em algumas apostas de proposta no centro da mesa. A mesma rolagem dos dados resolve todas elas, então a diferença não está no jogo, mas na tabela de pagamentos e no número de resultados que cada aposta cobre. Esta página deriva cada número dessas duas coisas, declara as regras das quais cada número depende e converte as vantagens em dinheiro por hora com uma aposta e taxa de rolagem declaradas.

A mesa e os dados

Uma mesa de craps é um layout de feltro com uma área come marcada, uma área don’t come, uma pass line, uma don’t pass line e uma seção central de apostas de proposta. Dois dados de seis lados são usados. Os 36 resultados igualmente prováveis são a base de todos os cálculos que se seguem. A distribuição dos totais é:

Essas probabilidades são fixadas pelos dados. Nenhum resultado passado as altera. Os dados não têm memória, e uma mesa que não vê um 7 há vinte minutos não tem mais chance de produzi-lo na próxima rolagem do que uma mesa que acabou de produzir três seguidos.

A come-out roll e o point

A aposta na pass line é resolvida em duas etapas. A primeira rolagem é a come-out. Se a come-out for 7 ou 11, a pass line ganha dinheiro par. Se for 2, 3 ou 12, perde. Qualquer outro total se torna o point. O dealer coloca um puck naquele número. O shooter então rola até que ou o point se repita, caso em que a pass line ganha dinheiro par, ou um 7 apareça, caso em que perde.

A aposta don’t pass é o inverso: ganha em uma come-out de 2 ou 3, empata no 12, perde no 7 ou 11, e ganha dinheiro par se um 7 aparecer antes do point se repetir.

Derivando a vantagem da pass line

A vantagem da pass line não é uma única probabilidade, mas uma média ponderada sobre os points possíveis. O cálculo procede em três etapas.

Etapa 1: Resultados da come-out. Na come-out, 7 ou 11 ganha, 2, 3 ou 12 perde, e qualquer outro total estabelece um point. A probabilidade de ganhar na come-out é (6+2)/36 = 8/36. A probabilidade de perder é (1+2+1)/36 = 4/36. Os 24/36 restantes estabelecem um point.

Etapa 2: Resolução do point. Para cada point, a probabilidade de repetir o point antes de um 7 é o número de maneiras de fazer o point dividido pela soma das maneiras de fazer o point e das maneiras de fazer um 7. As maneiras de fazer um 7 são sempre 6.

Etapa 3: Combinar. A probabilidade de estabelecer cada point é o número de maneiras de fazer aquele total dividido por 36. A probabilidade geral de ganhar após um point ser estabelecido é a soma sobre os points de P(point) vezes P(point antes de 7).

• Point 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Point 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Convertendo para decimais e somando: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Então a probabilidade de ganhar após um point ser estabelecido é cerca de 0,2707.

A probabilidade total de ganhar a pass line é a vitória na come-out mais a vitória no point: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. A probabilidade de perder é 1 - 0,4929 = 0,5071. A vantagem da casa é a diferença entre a probabilidade de perder e de ganhar, já que o pagamento é dinheiro par: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, ou 1,42%. O número comumente citado é 1,41%, que vem de carregar mais casas decimais no cálculo. A fração exata é 7/495, que é 0,0141414… = 1,41%.

Esse número depende de a pass line pagar dinheiro par e das regras da come-out conforme declaradas. Se um cassino oferece odds 3-4-5x, a vantagem da pass line em si não muda; a aposta de odds é uma aposta separada sem vantagem.

Derivando a vantagem da don’t pass

A aposta don’t pass ganha em uma come-out de 2 ou 3, empata no 12, e perde no 7 ou 11. Se um point é estabelecido, ela ganha se um 7 aparecer antes do point se repetir.

A probabilidade de ganhar na come-out é (1+2)/36 = 3/36. A probabilidade de perder é (6+2)/36 = 8/36. A probabilidade de empate é 1/36. Os 24/36 restantes estabelecem um point. Para cada point, a probabilidade de um 7 antes do point é 1 menos a probabilidade do point antes de um 7. Então para o point 4, P(7 antes de 4) = 6/9 = 0,6667, e assim por diante.

A probabilidade geral de ganhar após um point ser estabelecido é a soma sobre os points de P(point) * P(7 antes do point).

• Point 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Point 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Soma: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Probabilidade total de ganhar: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Probabilidade de perder: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Espera, isso não está certo. A probabilidade de perder após um point ser estabelecido é a probabilidade do point se repetir antes de um 7, que é 0,2707. Então a probabilidade total de perder é 8/36 + 0,2707 = 0,4929. A probabilidade de empate é 1/36 = 0,02778. Verificação: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Bom.

A vantagem da casa na don’t pass é a diferença entre as probabilidades de perder e ganhar, ajustada para o empate: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, ou 1,40%. O número comumente citado é 1,36%, que vem de um cálculo mais preciso. A fração exata é 3/220 = 0,013636… = 1,36%. A discrepância surge porque o empate é excluído do denominador. A vantagem correta é 1,36%.

Esse número depende de a don’t pass barrar o 12. Algumas mesas barram o 2, o que muda ligeiramente a vantagem.

Odds grátis: a única aposta sem vantagem

Após um point ser estabelecido, um apostador da pass line pode fazer uma aposta adicional atrás da linha, chamada odds. Essa aposta é paga nas odds verdadeiras: 2:1 nos points 4 ou 10, 3:2 no 5 ou 9, e 6:5 no 6 ou 8. Como o pagamento corresponde à probabilidade verdadeira, o valor esperado da aposta de odds é zero. A casa não tem vantagem sobre ela.

A aposta de odds não muda a vantagem da casa na pass line em si. Ela dilui a vantagem geral porque uma fração maior do valor total apostado está em uma aposta sem vantagem. Por exemplo, se um jogador aposta 10 na pass line e 10 em odds, a aposta total é 20. A perda esperada é 1,41% de 10, que é 0,141. A vantagem geral é 0,141/20 = 0,705%. Com 100 em odds, a vantagem geral é 0,141/110 = 0,128%. A vantagem da pass line permanece 1,41% na aposta fixa.

Esta é a única aposta em um cassino que não carrega vantagem da casa. Depende de o cassino permitir odds e do múltiplo máximo de odds, que é tipicamente 3-4-5x, significando 3x no 4 e 10, 4x no 5 e 9, e 5x no 6 e 8.

Apostas de proposta: as mais barulhentas e as piores

O centro da mesa oferece apostas em resultados específicos: qualquer 7, qualquer craps, os hardways e os totais individuais. Estas têm pagamentos altos e vantagens da casa altas.

A vantagem da casa para qualquer 7: a probabilidade de ganhar é 6/36 = 0,1667. O pagamento é 4:1, então uma aposta de 1 retorna 5 em uma vitória (4 de lucro mais a aposta). O valor esperado é (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, ou 16,67%.

Para qualquer craps: probabilidade de ganhar é 4/36 = 0,1111. Pagamento 7:1. Valor esperado: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, ou 11,11%.

Para hard 8: probabilidade de ganhar é 2/36 = 0,0556. Pagamento 9:1. Valor esperado: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, ou 44,44%? Isso não está certo. Espera, hard 8 ganha se os dados mostrarem 4-4 antes de qualquer outra combinação que faça 8 ou um 7. A probabilidade de ganhar não é simplesmente 2/36. A probabilidade correta para hard 8 é 2/36? Não, a aposta hardway é resolvida ao longo de múltiplas rolagens. A probabilidade de rolar um hard 8 antes de um easy 8 ou um 7 é 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. O pagamento é 9:1, então valor esperado: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Isso seria positivo, o que é impossível. Vamos recalcular: a aposta hardway ganha se o shooter rolar um 4-4 antes de rolar um 7 ou qualquer outra combinação que faça 8 (que são 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). As maneiras de rolar um hard 8 são 1 (4-4). As maneiras de rolar um easy 8 são 4. As maneiras de rolar um 7 são 6. Então a probabilidade de ganhar é 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. O pagamento é 9:1, então valor esperado: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, ou 9,09%. Isso corresponde à tabela.

Para hard 4 ou 10: maneiras de rolar hard 4 é 1 (2-2). Maneiras de rolar easy 4 é 2 (1-3, 3-1). Maneiras de rolar 7 é 6. Probabilidade de ganhar: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Pagamento 7:1. Valor esperado: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11%.

Essas vantagens dependem da tabela de pagamentos específica e das regras para cada aposta. Elas são fixadas pelos dados e pelos pagamentos.

O que as pessoas erram

O erro mais comum é tratar os dados como se tivessem memória. Um shooter que rolou seis points seguidos não tem mais chance de dar sete na próxima rolagem. A probabilidade de um 7 em qualquer rolagem é sempre 6/36 = 16,67%. O erro é natural porque na vida cotidiana, sequências frequentemente indicam uma mudança nas condições subjacentes: um jogador de basquete que acertou dez arremessos seguidos pode estar em um estado de foco elevado. Mas os dados não têm estado. Os dados físicos são idênticos em cada rolagem, e o resultado é independente.

Outro erro é acreditar que a aposta de odds reduz a vantagem da casa na pass line. Ela não reduz. É uma aposta separada com vantagem zero. A aposta na pass line ainda carrega uma vantagem de 1,41%. A vantagem geral sobre o valor combinado é menor, mas a vantagem sobre a aposta fixa permanece inalterada.

Um terceiro erro é pensar que as apostas de proposta estão devendo. Uma aposta em qualquer 7 não se torna mais provável após uma longa sequência sem um 7. A probabilidade é sempre 6/36.

Dinheiro por hora

A vantagem da casa é uma porcentagem do volume apostado, que não é uma quantidade que a maioria das pessoas consegue sentir. Para tornar concreto, considere um jogador que aposta 10 na pass line em cada come-out roll, sem odds. Uma mesa de craps tipicamente resolve uma aposta na pass line em cerca de duas a três rolagens, mas o número de come-out rolls por hora depende do número de jogadores e da velocidade do dealer. Uma estimativa razoável para uma mesa cheia é 60 come-out rolls por hora. A 10 por aposta, o valor total apostado por hora é 600. A perda esperada é 1,41% de 600, que é 8,46 por hora.

Se o mesmo jogador adiciona 10 em odds atrás de cada point, a aposta total por come-out roll é 10 mais as odds, mas as odds só são colocadas quando um point é estabelecido. A probabilidade de estabelecer um point é 24/36 = 66,67%. Então a aposta média de odds por come-out roll é 10 * 0,6667 = 6,67. A aposta média total por come-out roll é 16,67. A 60 come-out rolls por hora, o volume total é 1000. A perda esperada é 1,41% de 10 (a aposta fixa) por come-out roll, que é 0,141 por rolagem, vezes 60 = 8,46 por hora. A porção de odds não adiciona perda esperada. Então a perda por hora é a mesma 8,46, mas o valor total apostado é maior, então a vantagem efetiva sobre o volume total é 0,846%.

Se o jogador em vez disso aposta 10 em qualquer 7 a cada rolagem, e há 100 rolagens por hora (incluindo rolagens que não são come-out), a aposta total é 1000. A perda esperada é 16,67% de 1000, que é 166,70 por hora. Esse é o custo da aposta mais barulhenta da mesa.

Esses números dependem do número de come-out rolls por hora e do número total de rolagens por hora, que variam com as condições da mesa. Eles também assumem que o jogador sempre aposta o mesmo valor e não varia o tamanho da aposta.

Regras que mudam os números

A vantagem da pass line de 1,41% assume as regras da come-out conforme descritas e pagamento de dinheiro par. A vantagem da don’t pass de 1,36% assume uma barreira no 12. Se a mesa barrar o 2, a vantagem é 1,36% também? Na verdade, se a mesa barrar o 2, a aposta don’t pass empata no 2 em vez do 12, o que muda ligeiramente a vantagem. A diferença é pequena.

O pagamento da aposta de odds depende do point: 2:1 no 4 e 10, 3:2 no 5 e 9, 6:5 no 6 e 8. Essas são as odds verdadeiras e não mudam.

As vantagens das apostas de proposta dependem da tabela de pagamentos específica. Alguns cassinos oferecem pagamentos diferentes para a horn bet, que é uma combinação de 2, 3, 11 e 12. A vantagem na horn bet é de 12,5% se os pagamentos forem 30:1 no 2 e 12, e 15:1 no 3 e 11, com a aposta dividida em quatro partes. Se os pagamentos forem diferentes, a vantagem muda.

Todos os números nesta página são para uma mesa de craps padrão com dois dados e as regras conforme declaradas. Eles não se aplicam ao crapless craps, que tem números de point diferentes e vantagens diferentes.