Wie hoch ist der Hausvorteil auf der Pass Line bei Craps?

Der Hausvorteil auf der Pass Line beträgt 1,41 %. Er ergibt sich aus der Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,4929 und der Verlustwahrscheinlichkeit von 0,5071 bei einer Auszahlung von 1:1. Der exakte Bruch ist 7/495.

Warum haben Proposition-Wetten einen so hohen Hausvorteil?

Proposition-Wetten haben hohe Vorteile, weil die Auszahlung geringer ist als die echten Quoten. Zum Beispiel zahlt Any 7 4:1, aber die echten Quoten sind 5:1 (6 Gewinnmöglichkeiten, 30 Verlustmöglichkeiten). Die Differenz ergibt einen Hausvorteil von 16,67 %.

Wie viel kostet es, pro Stunde Craps zu spielen?

Bei einer Pass Line Wette von 10 und 60 Come-out-Würfen pro Stunde beträgt der erwartete Verlust etwa 8,46 pro Stunde. Wenn Sie Odds hinzufügen, bleibt der erwartete Verlust gleich, aber der insgesamt gesetzte Betrag steigt, was den effektiven Vorteil auf den Gesamtumsatz senkt.

Beeinflusst die Anzahl der Spieler am Tisch den Hausvorteil?

Nein. Der Hausvorteil wird durch die Würfel und die Auszahlungstabelle bestimmt. Die Anzahl der Spieler beeinflusst die Anzahl der Würfe pro Stunde, was die stündlichen Kosten beeinflusst, aber nicht den Vorteil pro Wette.

Craps Hausvorteil: Pass, Don't Pass, Odds und Props

Q: Haben Free Odds bei Craps wirklich keinen Hausvorteil?

Ja. Die Odds-Wette wird zu echten Quoten ausgezahlt: 2:1 bei 4 oder 10, 3:2 bei 5 oder 9 und 6:5 bei 6 oder 8. Da die Auszahlung der wahren Wahrscheinlichkeit entspricht, ist der Erwartungswert null. Es ist die einzige Wette in einem Casino ohne Hausvorteil.

Ein Craps-Tisch bietet die größte Bandbreite an Hausvorteilen in einem Casino, von 1,36 % auf der Don’t Pass Line bis zu über 16 % bei einigen Proposition-Wetten in der Tischmitte. Der gleiche Würfelwurf entscheidet über alle, daher liegt der Unterschied nicht im Spiel, sondern in der Auszahlungstabelle und der Anzahl der Ergebnisse, die jede Wette abdeckt. Diese Seite leitet jede Zahl aus diesen beiden Dingen ab, nennt die Regeln, von denen jede Zahl abhängt, und rechnet die Vorteile in Geld pro Stunde bei einem angegebenen Einsatz und einer angegebenen Wurfrate um.

Der Tisch und die Würfel

Ein Craps-Tisch ist ein Filz-Layout mit einem markierten Come-Bereich, einem Don’t Come-Bereich, einer Pass Line, einer Don’t Pass Line und einem mittleren Abschnitt für Proposition-Wetten. Es werden zwei sechsseitige Würfel verwendet. Die 36 gleich wahrscheinlichen Ergebnisse sind die Grundlage für jede folgende Berechnung. Die Verteilung der Augensummen ist:

Summe	Möglichkeiten	Wahrscheinlichkeit
2	1	2,78 %
3	2	5,56 %
4	3	8,33 %
5	4	11,11 %
6	5	13,89 %
7	6	16,67 %
8	5	13,89 %
9	4	11,11 %
10	3	8,33 %
11	2	5,56 %
12	1	2,78 %

Diese Wahrscheinlichkeiten sind durch die Würfel festgelegt. Kein vergangenes Ergebnis ändert sie. Die Würfel haben kein Gedächtnis, und ein Tisch, der zwanzig Minuten lang keine 7 gesehen hat, ist beim nächsten Wurf nicht wahrscheinlicher für eine 7 als ein Tisch, der gerade drei hintereinander geworfen hat.

Der Come-out-Wurf und der Point

Die Pass Line Wette wird in zwei Phasen abgewickelt. Der erste Wurf ist der Come-out. Wenn der Come-out 7 oder 11 ist, gewinnt die Pass Line zu gleichen Quoten. Wenn er 2, 3 oder 12 ist, verliert sie. Jede andere Summe wird zum Point. Der Dealer legt einen Puck auf diese Zahl. Der Shooter würfelt dann, bis entweder der Point wiederholt wird, in welchem Fall die Pass Line zu gleichen Quoten gewinnt, oder eine 7 erscheint, in welchem Fall sie verliert.

Die Don’t Pass Wette ist das Gegenteil: Sie gewinnt bei einem Come-out von 2 oder 3, schiebt bei 12, verliert bei 7 oder 11 und gewinnt zu gleichen Quoten, wenn eine 7 erscheint, bevor der Point wiederholt wird.

Ableitung des Pass Line Vorteils

Der Pass Line Vorteil ist keine einzelne Wahrscheinlichkeit, sondern ein gewichteter Durchschnitt über die möglichen Points. Die Berechnung erfolgt in drei Schritten.

Schritt 1: Come-out-Ergebnisse. Beim Come-out gewinnt 7 oder 11, 2, 3 oder 12 verliert, und jede andere Summe etabliert einen Point. Die Wahrscheinlichkeit, beim Come-out zu gewinnen, ist (6+2)/36 = 8/36. Die Verlustwahrscheinlichkeit ist (1+2+1)/36 = 4/36. Die verbleibenden 24/36 etablieren einen Point.

Schritt 2: Point-Auflösung. Für jeden Point ist die Wahrscheinlichkeit, den Point vor einer 7 zu wiederholen, die Anzahl der Möglichkeiten, den Point zu machen, geteilt durch die Summe der Möglichkeiten, den Point zu machen, und der Möglichkeiten, eine 7 zu machen. Die Möglichkeiten, eine 7 zu machen, sind immer 6.

Point	Möglichkeiten, den Point zu machen	Möglichkeiten, eine 7 zu machen	P(Point vor 7)
4	3	6	3/9 = 0,3333
5	4	6	4/10 = 0,4000
6	5	6	5/11 = 0,4545
8	5	6	5/11 = 0,4545
9	4	6	4/10 = 0,4000
10	3	6	3/9 = 0,3333

Schritt 3: Kombination. Die Wahrscheinlichkeit, jeden Point zu etablieren, ist die Anzahl der Möglichkeiten, diese Summe zu machen, geteilt durch 36. Die Gesamtwahrscheinlichkeit zu gewinnen, nachdem ein Point etabliert wurde, ist die Summe über die Points von P(Point) mal P(Point vor 7).

Point 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
Point 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
Point 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
Point 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
Point 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
Point 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Umwandlung in Dezimalzahlen und Summierung: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Die Wahrscheinlichkeit, nach der Etablierung eines Points zu gewinnen, beträgt also etwa 0,2707.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, die Pass Line zu gewinnen, ist der Come-out-Gewinn plus der Point-Gewinn: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Die Verlustwahrscheinlichkeit ist 1 - 0,4929 = 0,5071. Der Hausvorteil ist die Differenz zwischen Verlust- und Gewinnwahrscheinlichkeit, da die Auszahlung 1:1 ist: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, also 1,42 %. Die häufig zitierte Zahl ist 1,41 %, was aus einer Berechnung mit mehr Dezimalstellen resultiert. Der exakte Bruch ist 7/495, was 0,0141414… = 1,41 % ergibt.

Diese Zahl hängt davon ab, dass die Pass Line 1:1 auszahlt und die Come-out-Regeln wie beschrieben gelten. Wenn ein Casino 3-4-5x Odds anbietet, bleibt der Pass Line Vorteil selbst unverändert; die Odds-Wette ist eine separate Wette ohne Vorteil.

Ableitung des Don’t Pass Vorteils

Die Don’t Pass Wette gewinnt bei einem Come-out von 2 oder 3, schiebt bei 12 und verliert bei 7 oder 11. Wenn ein Point etabliert wird, gewinnt sie, wenn eine 7 erscheint, bevor der Point wiederholt wird.

Die Wahrscheinlichkeit, beim Come-out zu gewinnen, ist (1+2)/36 = 3/36. Die Verlustwahrscheinlichkeit ist (6+2)/36 = 8/36. Die Push-Wahrscheinlichkeit ist 1/36. Die verbleibenden 24/36 etablieren einen Point. Für jeden Point ist die Wahrscheinlichkeit einer 7 vor dem Point gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit des Points vor einer 7. Für Point 4 ist P(7 vor 4) = 6/9 = 0,6667, und so weiter.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit zu gewinnen, nachdem ein Point etabliert wurde, ist die Summe über die Points von P(Point) * P(7 vor Point).

Point 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
Point 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
Point 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
Point 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
Point 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
Point 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Summe: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Gesamtwahrscheinlichkeit zu gewinnen: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Verlustwahrscheinlichkeit: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Moment, das ist nicht richtig. Die Verlustwahrscheinlichkeit nach der Etablierung eines Points ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Point vor einer 7 wiederholt wird, also 0,2707. Die gesamte Verlustwahrscheinlichkeit ist also 8/36 + 0,2707 = 0,4929. Die Push-Wahrscheinlichkeit ist 1/36 = 0,02778. Prüfung: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Gut.

Der Hausvorteil bei Don’t Pass ist die Differenz zwischen Verlust- und Gewinnwahrscheinlichkeit, angepasst um den Push: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, also 1,40 %. Die häufig zitierte Zahl ist 1,36 %, was aus einer genaueren Berechnung stammt. Der exakte Bruch ist 3/220 = 0,013636… = 1,36 %. Die Diskrepanz entsteht, weil der Push aus dem Nenner ausgeschlossen wird. Der korrekte Vorteil ist 1,36 %.

Diese Zahl hängt davon ab, dass Don’t Pass bei 12 schiebt. Einige Tische schieben stattdessen bei 2, was den Vorteil leicht verändert.

Free Odds: die einzige Wette ohne Vorteil

Nachdem ein Point etabliert wurde, kann ein Pass Line Spieler eine zusätzliche Wette hinter der Linie platzieren, genannt Odds. Diese Wette wird zu echten Quoten ausgezahlt: 2:1 bei den Points 4 oder 10, 3:2 bei 5 oder 9 und 6:5 bei 6 oder 8. Da die Auszahlung der wahren Wahrscheinlichkeit entspricht, ist der Erwartungswert der Odds-Wette null. Das Haus hat keinen Vorteil darauf.

Die Odds-Wette ändert nicht den Hausvorteil auf der Pass Line selbst. Sie verwässert den Gesamtvorteil, weil ein größerer Anteil des insgesamt gesetzten Betrags auf einer Wette ohne Vorteil liegt. Wenn ein Spieler beispielsweise 10 auf die Pass Line und 10 in Odds setzt, beträgt der Gesamteinsatz 20. Der erwartete Verlust ist 1,41 % von 10, also 0,141. Der Gesamtvorteil ist 0,141/20 = 0,705 %. Mit 100 in Odds ist der Gesamtvorteil 0,141/110 = 0,128 %. Der Pass Line Vorteil bleibt 1,41 % auf die flache Wette.

Dies ist die einzige Wette in einem Casino, die keinen Hausvorteil trägt. Sie hängt davon ab, dass das Casino Odds erlaubt und dem maximalen Odds-Vielfachen, das typischerweise 3-4-5x beträgt, also 3x bei 4 und 10, 4x bei 5 und 9 und 5x bei 6 und 8.

Proposition-Wetten: die lautesten und die schlechtesten

Die Tischmitte bietet Wetten auf bestimmte Ergebnisse: Any 7, Any Craps, die Hardways und die einzelnen Summen. Diese haben hohe Auszahlungen und hohe Hausvorteile.

Wette	Auszahlung	Gewinnmöglichkeiten	Verlustmöglichkeiten	Hausvorteil
Any 7	4:1	6	30	16,67 %
Any Craps (2,3,12)	7:1	4	32	11,11 %
2 oder 12	30:1	1	35	13,89 %
3 oder 11	15:1	2	34	11,11 %
Hard 4 oder 10	7:1	2	34	11,11 %
Hard 6 oder 8	9:1	2	34	9,09 %
Horn Bet (2,3,11,12)	variiert	4	32	12,5 %

Der Hausvorteil für Any 7: Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 6/36 = 0,1667. Die Auszahlung ist 4:1, also bringt eine 1-Wette 5 bei einem Gewinn (4 Gewinn plus Einsatz). Der Erwartungswert ist (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, also 16,67 %.

Für Any Craps: Gewinnwahrscheinlichkeit ist 4/36 = 0,1111. Auszahlung 7:1. Erwartungswert: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, also 11,11 %.

Für Hard 8: Gewinnwahrscheinlichkeit ist 2/36 = 0,0556. Auszahlung 9:1. Erwartungswert: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, also 44,44 %? Das ist nicht richtig. Moment, Hard 8 gewinnt, wenn die Würfel 4-4 zeigen, bevor eine andere Kombination, die 8 ergibt, oder eine 7 fällt. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist nicht einfach 2/36. Die korrekte Wahrscheinlichkeit für Hard 8 ist 2/36? Nein, die Hardway-Wette wird über mehrere Würfe abgewickelt. Die Wahrscheinlichkeit, eine Hard 8 vor einer Easy 8 oder einer 7 zu würfeln, ist 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Die Auszahlung ist 9:1, also Erwartungswert: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Das wäre positiv, was unmöglich ist. Neu berechnen: Die Hardway-Wette gewinnt, wenn der Shooter eine 4-4 würfelt, bevor er eine 7 oder eine andere Kombination, die 8 ergibt (2-6, 3-5, 5-3, 6-2), würfelt. Die Möglichkeiten, eine Hard 8 zu würfeln, sind 1 (4-4). Die Möglichkeiten, eine Easy 8 zu würfeln, sind 4. Die Möglichkeiten, eine 7 zu würfeln, sind 6. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Die Auszahlung ist 9:1, also Erwartungswert: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, also 9,09 %. Das stimmt mit der Tabelle überein.

Für Hard 4 oder 10: Möglichkeiten, eine Hard 4 zu würfeln, ist 1 (2-2). Möglichkeiten, eine Easy 4 zu würfeln, ist 2 (1-3, 3-1). Möglichkeiten, eine 7 zu würfeln, ist 6. Gewinnwahrscheinlichkeit: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Auszahlung 7:1. Erwartungswert: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11 %.

Diese Vorteile hängen von der spezifischen Auszahlungstabelle und den Regeln für jede Wette ab. Sie sind durch die Würfel und die Auszahlungen festgelegt.

Was die Leute falsch verstehen

Der häufigste Fehler ist, die Würfel so zu behandeln, als hätten sie ein Gedächtnis. Ein Shooter, der sechs Points hintereinander geworfen hat, ist beim nächsten Wurf nicht wahrscheinlicher für einen Seven-out. Die Wahrscheinlichkeit einer 7 bei jedem Wurf ist immer 6/36 = 16,67 %. Der Fehler ist natürlich, weil im Alltag Serien oft auf eine Änderung der zugrunde liegenden Bedingungen hindeuten: Ein Basketballspieler, der zehn Würfe hintereinander getroffen hat, könnte sich in einem Zustand erhöhter Konzentration befinden. Aber Würfel haben keinen Zustand. Die physischen Würfel sind bei jedem Wurf identisch, und das Ergebnis ist unabhängig.

Ein weiterer Fehler ist die Annahme, dass die Odds-Wette den Hausvorteil auf der Pass Line reduziert. Das tut sie nicht. Sie ist eine separate Wette ohne Vorteil. Die Pass Line Wette trägt weiterhin einen Vorteil von 1,41 %. Der Gesamtvorteil auf den kombinierten Betrag ist niedriger, aber der Vorteil auf die flache Wette bleibt unverändert.

Ein dritter Fehler ist die Annahme, dass Proposition-Wetten fällig sind. Eine Wette auf Any 7 wird nach einer langen Serie ohne 7 nicht wahrscheinlicher. Die Wahrscheinlichkeit ist immer 6/36.

Geld pro Stunde

Der Hausvorteil ist ein Prozentsatz des Umsatzes, was keine Größe ist, die die meisten Menschen fühlen können. Um es konkret zu machen, betrachten Sie einen Spieler, der bei jedem Come-out-Wurf 10 auf die Pass Line setzt, ohne Odds. Ein Craps-Tisch löst eine Pass Line Wette typischerweise in etwa zwei bis drei Würfen ab, aber die Anzahl der Come-out-Würfe pro Stunde hängt von der Anzahl der Spieler und der Geschwindigkeit des Dealers ab. Eine vernünftige Schätzung für einen vollen Tisch sind 60 Come-out-Würfe pro Stunde. Bei 10 pro Wette beträgt der insgesamt gesetzte Betrag pro Stunde 600. Der erwartete Verlust ist 1,41 % von 600, also 8,46 pro Stunde.

Wenn derselbe Spieler hinter jedem Point 10 in Odds hinzufügt, beträgt der Gesamteinsatz pro Come-out-Wurf 10 plus die Odds, aber die Odds werden nur platziert, wenn ein Point etabliert wird. Die Wahrscheinlichkeit, einen Point zu etablieren, ist 24/36 = 66,67 %. Der durchschnittliche Odds-Einsatz pro Come-out-Wurf ist also 10 * 0,6667 = 6,67. Der durchschnittliche Gesamteinsatz pro Come-out-Wurf ist 16,67. Bei 60 Come-out-Würfen pro Stunde beträgt der Gesamtumsatz 1000. Der erwartete Verlust ist 1,41 % von 10 (die flache Wette) pro Come-out-Wurf, also 0,141 pro Wurf, mal 60 = 8,46 pro Stunde. Der Odds-Anteil fügt keinen erwarteten Verlust hinzu. Der stündliche Verlust ist also derselbe 8,46, aber der insgesamt gesetzte Betrag ist höher, sodass der effektive Vorteil auf den Gesamtumsatz 0,846 % beträgt.

Wenn der Spieler stattdessen bei jedem Wurf 10 auf Any 7 setzt und es 100 Würfe pro Stunde gibt (einschließlich Nicht-Come-out-Würfen), beträgt der Gesamteinsatz 1000. Der erwartete Verlust ist 16,67 % von 1000, also 166,70 pro Stunde. Das sind die Kosten der lautesten Wette auf dem Tisch.

Diese Zahlen hängen von der Anzahl der Come-out-Würfe pro Stunde und der Gesamtzahl der Würfe pro Stunde ab, die je nach Tischbedingungen variieren. Sie gehen auch davon aus, dass der Spieler immer den gleichen Betrag setzt und die Einsatzhöhe nicht variiert.

Regeln, die die Zahlen ändern

Der Pass Line Vorteil von 1,41 % setzt die Come-out-Regeln wie beschrieben und eine Auszahlung von 1:1 voraus. Der Don’t Pass Vorteil von 1,36 % setzt eine Barriere bei 12 voraus. Wenn der Tisch bei 2 sperrt, ist der Vorteil ebenfalls 1,36 %? Tatsächlich schiebt die Don’t Pass Wette bei 2 statt bei 12, was den Vorteil leicht verändert. Der Unterschied ist gering.

Die Odds-Auszahlung hängt vom Point ab: 2:1 bei 4 und 10, 3:2 bei 5 und 9, 6:5 bei 6 und 8. Dies sind echte Quoten und ändern sich nicht.

Die Vorteile der Proposition-Wetten hängen von der spezifischen Auszahlungstabelle ab. Einige Casinos bieten unterschiedliche Auszahlungen für die Horn-Wette an, die eine Kombination aus 2, 3, 11 und 12 ist. Der Vorteil bei der Horn-Wette beträgt 12,5 %, wenn die Auszahlungen 30:1 bei 2 und 12 und 15:1 bei 3 und 11 betragen, wobei die Wette auf vier Arten aufgeteilt wird. Wenn die Auszahlungen anders sind, ändert sich der Vorteil.

Alle Zahlen auf dieser Seite gelten für einen Standard-Craps-Tisch mit zwei Würfeln und den genannten Regeln. Sie gelten nicht für Crapless Craps, das andere Point-Zahlen und andere Vorteile hat.

Craps Quoten und Hausvorteil: Jede Wette auf dem Tisch