Probabilidades y ventaja de la casa en el craps

Una mesa de craps ofrece la mayor variedad de ventajas de la casa en un casino, desde el 1.36% en la línea don’t pass hasta más del 16% en algunas apuestas de proposición del centro de la mesa. La misma tirada de dados resuelve todas ellas, así que la diferencia no está en el juego sino en la tabla de pagos y el número de resultados que cubre cada apuesta. Esta página deriva cada cifra a partir de esas dos cosas, indica las reglas de las que depende cada cifra y convierte las ventajas en dinero por hora con una apuesta y un ritmo de tiradas determinados.

La mesa y los dados

Una mesa de craps es un tapete con un área de come marcada, un área de don’t come, una pass line, una don’t pass line y una sección central de apuestas de proposición. Se utilizan dos dados de seis caras. Los 36 resultados igualmente probables son la base de todos los cálculos que siguen. La distribución de totales es:

Estas probabilidades están fijadas por los dados. Ningún resultado pasado las cambia. Los dados no tienen memoria, y una mesa que no ha visto un 7 en veinte minutos no tiene más probabilidad de producirlo en la siguiente tirada que una mesa que acaba de producir tres seguidos.

La tirada de come-out y el punto

La apuesta de pass line se resuelve en dos etapas. La primera tirada es el come-out. Si el come-out es 7 u 11, la pass line gana a partes iguales. Si es 2, 3 o 12, pierde. Cualquier otro total se convierte en el punto. El crupier coloca un disco en ese número. El tirador entonces lanza hasta que o bien se repite el punto, en cuyo caso la pass line gana a partes iguales, o aparece un 7, en cuyo caso pierde.

La apuesta don’t pass es lo contrario: gana con un come-out de 2 o 3, empata con 12, pierde con 7 u 11, y gana a partes iguales si aparece un 7 antes de que se repita el punto.

Derivación de la ventaja de la pass line

La ventaja de la pass line no es una única probabilidad sino un promedio ponderado sobre los posibles puntos. El cálculo procede en tres pasos.

Paso 1: Resultados del come-out. En el come-out, 7 u 11 gana, 2, 3 o 12 pierde, y cualquier otro total establece un punto. La probabilidad de ganar en el come-out es (6+2)/36 = 8/36. La probabilidad de perder es (1+2+1)/36 = 4/36. El 24/36 restante establece un punto.

Paso 2: Resolución del punto. Para cada punto, la probabilidad de repetir el punto antes de un 7 es el número de formas de hacer el punto dividido por la suma de formas de hacer el punto y formas de hacer un 7. Las formas de hacer un 7 son siempre 6.

Paso 3: Combinar. La probabilidad de establecer cada punto es el número de formas de hacer ese total dividido por 36. La probabilidad general de ganar después de establecer un punto es la suma sobre los puntos de P(punto) por P(punto antes de 7).

• Punto 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Punto 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Punto 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Punto 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Punto 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Punto 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Convirtiendo a decimales y sumando: 0.02778 + 0.04444 + 0.06313 + 0.06313 + 0.04444 + 0.02778 = 0.2707. Así que la probabilidad de ganar después de establecer un punto es aproximadamente 0.2707.

La probabilidad total de ganar la pass line es la ganancia en el come-out más la ganancia en el punto: 8/36 + 0.2707 = 0.2222 + 0.2707 = 0.4929. La probabilidad de perder es 1 - 0.4929 = 0.5071. La ventaja de la casa es la diferencia entre la probabilidad de perder y ganar, ya que el pago es a partes iguales: 0.5071 - 0.4929 = 0.0142, o 1.42%. La cifra comúnmente citada es 1.41%, que proviene de arrastrar más decimales en el cálculo. La fracción exacta es 7/495, que es 0.0141414… = 1.41%.

Esta cifra depende de que la pass line pague a partes iguales y de las reglas del come-out tal como se han descrito. Si un casino ofrece odds 3-4-5x, la ventaja de la pass line en sí no cambia; la apuesta de odds es una apuesta separada sin ventaja.

Derivación de la ventaja de la don’t pass

La apuesta don’t pass gana con un come-out de 2 o 3, empata con 12, y pierde con 7 u 11. Si se establece un punto, gana si aparece un 7 antes de que se repita el punto.

La probabilidad de ganar en el come-out es (1+2)/36 = 3/36. La probabilidad de perder es (6+2)/36 = 8/36. La probabilidad de empate es 1/36. El 24/36 restante establece un punto. Para cada punto, la probabilidad de un 7 antes del punto es 1 menos la probabilidad del punto antes de un 7. Así, para el punto 4, P(7 antes de 4) = 6/9 = 0.6667, y así sucesivamente.

La probabilidad general de ganar después de establecer un punto es la suma sobre los puntos de P(punto) * P(7 antes del punto).

• Punto 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0.05556
• Punto 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0.06667
• Punto 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0.07576
• Punto 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0.07576
• Punto 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0.06667
• Punto 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0.05556

Suma: 0.05556 + 0.06667 + 0.07576 + 0.07576 + 0.06667 + 0.05556 = 0.39598.

Probabilidad total de ganar: 3/36 + 0.39598 = 0.08333 + 0.39598 = 0.47931. Probabilidad de perder: 8/36 + (0.2707) = 0.2222 + 0.2707 = 0.4929. Espera, eso no es correcto. La probabilidad de perder después de establecer un punto es la probabilidad de que el punto se repita antes de un 7, que es 0.2707. Así que la probabilidad total de perder es 8/36 + 0.2707 = 0.4929. La probabilidad de empate es 1/36 = 0.02778. Comprobación: 0.47931 + 0.4929 + 0.02778 = 1.0000. Bien.

La ventaja de la casa en don’t pass es la diferencia entre las probabilidades de perder y ganar, ajustada por el empate: (0.4929 - 0.47931) / (1 - 0.02778) = 0.01359 / 0.97222 = 0.01398, o 1.40%. La cifra comúnmente citada es 1.36%, que proviene de un cálculo más preciso. La fracción exacta es 3/220 = 0.013636… = 1.36%. La discrepancia surge porque el empate se excluye del denominador. La ventaja correcta es 1.36%.

Esta cifra depende de que el bar de don’t pass sea 12. Algunas mesas hacen bar en 2, lo que cambia ligeramente la ventaja.

Odds gratis: la única apuesta sin ventaja

Después de establecer un punto, un apostador de pass line puede colocar una apuesta adicional detrás de la línea, llamada odds. Esta apuesta se paga a probabilidades reales: 2:1 en los puntos 4 o 10, 3:2 en 5 o 9, y 6:5 en 6 u 8. Como el pago coincide con la probabilidad real, el valor esperado de la apuesta de odds es cero. La casa no tiene ventaja en ella.

La apuesta de odds no cambia la ventaja de la casa en la pass line en sí. Diluye la ventaja general porque una fracción mayor de la cantidad total apostada está en una apuesta sin ventaja. Por ejemplo, si un jugador apuesta 10 en la pass line y 10 en odds, la apuesta total es 20. La pérdida esperada es el 1.41% de 10, que es 0.141. La ventaja general es 0.141/20 = 0.705%. Con 100 en odds, la ventaja general es 0.141/110 = 0.128%. La ventaja de la pass line sigue siendo del 1.41% sobre la apuesta plana.

Esta es la única apuesta en un casino que no conlleva ventaja de la casa. Depende de que el casino permita odds y del múltiplo máximo de odds, que típicamente es 3-4-5x, es decir, 3x en 4 y 10, 4x en 5 y 9, y 5x en 6 y 8.

Apuestas de proposición: las más ruidosas y las peores

El centro de la mesa ofrece apuestas sobre resultados específicos: cualquier 7, cualquier craps, los hardways y los totales individuales. Estas tienen pagos altos y ventajas de la casa altas.

La ventaja de la casa para cualquier 7: la probabilidad de ganar es 6/36 = 0.1667. El pago es 4:1, así que una apuesta de 1 devuelve 5 en una victoria (4 de beneficio más la apuesta). El valor esperado es (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0.1667, o 16.67%.

Para cualquier craps: la probabilidad de ganar es 4/36 = 0.1111. Pago 7:1. Valor esperado: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0.1111, o 11.11%.

Para hard 8: la probabilidad de ganar es 2/36 = 0.0556. Pago 9:1. Valor esperado: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0.4444, o 44.44%? Eso no es correcto. Espera, hard 8 gana si los dados muestran 4-4 antes de cualquier otra combinación que haga 8 o un 7. La probabilidad de ganar no es simplemente 2/36. La probabilidad correcta para hard 8 es 2/36? No, la apuesta hardway se resuelve en múltiples tiradas. La probabilidad de sacar un hard 8 antes de un easy 8 o un 7 es 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0.1667. El pago es 9:1, así que el valor esperado: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0.6667? Eso sería positivo, lo cual es imposible. Recalculemos: la apuesta hardway gana si el tirador saca un 4-4 antes de sacar un 7 o cualquier otra combinación que haga 8 (que son 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). Las formas de sacar un hard 8 son 1 (4-4). Las formas de sacar un easy 8 son 4. Las formas de sacar un 7 son 6. Así que la probabilidad de ganar es 1/(1+4+6) = 1/11 = 0.0909. El pago es 9:1, así que el valor esperado: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0.0909, o 9.09%. Eso coincide con la tabla.

Para hard 4 o 10: las formas de sacar un hard 4 son 1 (2-2). Las formas de sacar un easy 4 son 2 (1-3, 3-1). Las formas de sacar un 7 son 6. Probabilidad de ganar: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0.1111. Pago 7:1. Valor esperado: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11.11%.

Estas ventajas dependen de la tabla de pagos específica y de las reglas de cada apuesta. Están fijadas por los dados y los pagos.

Lo que la gente malinterpreta

El error más común es tratar los dados como si tuvieran memoria. Un tirador que ha repetido seis puntos seguidos no tiene más probabilidad de sacar un siete en la siguiente tirada. La probabilidad de un 7 en cualquier tirada es siempre 6/36 = 16.67%. El error es natural porque en la vida cotidiana, las rachas a menudo indican un cambio en las condiciones subyacentes: un jugador de baloncesto que ha metido diez tiros seguidos podría estar en un estado de concentración elevada. Pero los dados no tienen estado. Los dados físicos son idénticos en cada tirada, y el resultado es independiente.

Otro error es creer que la apuesta de odds reduce la ventaja de la casa en la pass line. No lo hace. Es una apuesta separada con ventaja cero. La apuesta de pass line sigue conllevando una ventaja del 1.41%. La ventaja general sobre la cantidad combinada es menor, pero la ventaja sobre la apuesta plana no cambia.

Un tercer error es pensar que las apuestas de proposición están “debidas”. Una apuesta a cualquier 7 no se vuelve más probable después de una larga secuencia sin un 7. La probabilidad es siempre 6/36.

Dinero por hora

La ventaja de la casa es un porcentaje del volumen apostado, que no es una cantidad que la mayoría de la gente pueda sentir. Para hacerlo concreto, consideremos un jugador que apuesta 10 en la pass line en cada tirada de come-out, sin odds. Una mesa de craps típicamente resuelve una apuesta de pass line en unas dos o tres tiradas, pero el número de tiradas de come-out por hora depende del número de jugadores y la velocidad del crupier. Una estimación razonable para una mesa llena es de 60 tiradas de come-out por hora. A 10 por apuesta, la cantidad total apostada por hora es 600. La pérdida esperada es el 1.41% de 600, que es 8.46 por hora.

Si el mismo jugador añade 10 en odds detrás de cada punto, la apuesta total por tirada de come-out es 10 más las odds, pero las odds solo se colocan cuando se establece un punto. La probabilidad de establecer un punto es 24/36 = 66.67%. Así que la apuesta promedio de odds por tirada de come-out es 10 * 0.6667 = 6.67. La apuesta promedio total por tirada de come-out es 16.67. A 60 tiradas de come-out por hora, el volumen total es 1000. La pérdida esperada es el 1.41% de 10 (la apuesta plana) por tirada de come-out, que es 0.141 por tirada, multiplicado por 60 = 8.46 por hora. La porción de odds no añade pérdida esperada. Así que la pérdida por hora es la misma 8.46, pero la cantidad total apostada es mayor, por lo que la ventaja efectiva sobre el volumen total es 0.846%.

Si el jugador en cambio apuesta 10 a cualquier 7 en cada tirada, y hay 100 tiradas por hora (incluyendo tiradas que no son de come-out), la apuesta total es 1000. La pérdida esperada es el 16.67% de 1000, que es 166.70 por hora. Ese es el coste de la apuesta más ruidosa de la mesa.

Estas cifras dependen del número de tiradas de come-out por hora y el número total de tiradas por hora, que varían con las condiciones de la mesa. También asumen que el jugador siempre apuesta la misma cantidad y no varía el tamaño de la apuesta.

Reglas que cambian las cifras

La ventaja de la pass line del 1.41% asume las reglas del come-out tal como se describen y un pago a partes iguales. La ventaja de don’t pass del 1.36% asume un bar en 12. Si la mesa hace bar en 2, la ventaja es 1.36% también? En realidad, si la mesa hace bar en 2, la apuesta don’t pass empata con 2 en lugar de 12, lo que cambia ligeramente la ventaja. La diferencia es pequeña.

El pago de la apuesta de odds depende del punto: 2:1 en 4 y 10, 3:2 en 5 y 9, 6:5 en 6 y 8. Estas son probabilidades reales y no cambian.

Las ventajas de las apuestas de proposición dependen de la tabla de pagos específica. Algunos casinos ofrecen pagos diferentes para la apuesta horn, que es una combinación de 2, 3, 11 y 12. La ventaja en la apuesta horn es del 12.5% si los pagos son 30:1 en 2 y 12, y 15:1 en 3 y 11, con la apuesta dividida en cuatro partes. Si los pagos son diferentes, la ventaja cambia.

Todas las cifras de esta página son para una mesa de craps estándar con dos dados y las reglas indicadas. No se aplican al crapless craps, que tiene números de punto diferentes y ventajas diferentes.