Crapsin kertoimet ja talon etu: jokainen pöydän panos

Craps-pöytä tarjoaa kasinon laajimman talon etujen kirjon, 1,36 %:sta don’t pass -linjalla yli 16 %:iin joillakin keskustan proposition-panoksilla. Sama nopanheitto ratkaisee ne kaikki, joten ero ei ole pelissä vaan maksutaulukossa ja siinä, kuinka monta lopputulosta kukin panos kattaa. Tämä sivu johtaa jokaisen luvun näistä kahdesta asiasta, ilmoittaa säännöt, joista kukin luku riippuu, ja muuntaa edut rahaksi tunnissa ilmoitetulla panoksella ja heittonopeudella.

Pöytä ja nopat

Craps-pöytä on huopapinta, jossa on merkitty come-alue, don’t come -alue, pass line, don’t pass line ja keskiosa proposition-panoksille. Käytössä on kaksi kuusisivuista noppaa. 36 yhtä todennäköistä lopputulosta ovat kaikkien seuraavien laskelmien perusta. Summien jakauma on:

Nämä todennäköisyydet ovat kiinteitä noppien perusteella. Mikään aiempi tulos ei muuta niitä. Nopilla ei ole muistia, ja pöytä, jossa ei ole nähty 7:ää kahteenkymmeneen minuuttiin, ei tuota sitä seuraavalla heitolla sen todennäköisemmin kuin pöytä, joka juuri tuotti kolme peräkkäin.

Come-out-heitto ja point

Pass line -panos ratkaistaan kahdessa vaiheessa. Ensimmäinen heitto on come-out. Jos come-out on 7 tai 11, pass line voittaa tasarahalla. Jos se on 2, 3 tai 12, se häviää. Mikä tahansa muu summa tulee pointiksi. Jakaja asettaa kiekon kyseisen numeron päälle. Heittäjä heittää sitten, kunnes joko point toistuu, jolloin pass line voittaa tasarahalla, tai 7 ilmestyy, jolloin se häviää.

Don’t pass -panos on päinvastainen: se voittaa come-outilla 2 tai 3, työntää (push) 12:lla, häviää 7:llä tai 11:llä ja voittaa tasarahalla, jos 7 ilmestyy ennen kuin point toistuu.

Pass linen edun johtaminen

Pass linen etu ei ole yksittäinen todennäköisyys vaan painotettu keskiarvo mahdollisista pointeista. Laskenta etenee kolmessa vaiheessa.

Vaihe 1: Come-out-tulokset. Come-outilla 7 tai 11 voittaa, 2, 3 tai 12 häviää ja mikä tahansa muu summa asettaa pointin. Voiton todennäköisyys come-outilla on (6+2)/36 = 8/36. Häviön todennäköisyys on (1+2+1)/36 = 4/36. Loput 24/36 asettaa pointin.

Vaihe 2: Pointin ratkaisu. Kullekin pointille todennäköisyys toistaa point ennen 7:ää on pointin muodostavien tapojen määrä jaettuna pointin muodostavien tapojen ja 7:n muodostavien tapojen summalla. 7:n muodostavia tapoja on aina 6.

Vaihe 3: Yhdistä. Todennäköisyys asettaa kukin point on kyseisen summan muodostavien tapojen määrä jaettuna 36:lla. Kokonaistodennäköisyys voittaa, kun point on asetettu, on summa pisteiden yli P(point) kertaa P(point ennen 7).

• Point 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Point 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Muunnetaan desimaaleiksi ja summataan: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Joten todennäköisyys voittaa, kun point on asetettu, on noin 0,2707.

Pass linen voiton kokonaistodennäköisyys on come-out-voitto plus point-voitto: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Häviön todennäköisyys on 1 - 0,4929 = 0,5071. Talon etu on häviön ja voiton todennäköisyyksien erotus, koska maksu on tasaraha: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142 eli 1,42 %. Yleisesti siteerattu luku on 1,41 %, mikä tulee useampien desimaalien kuljettamisesta laskennan läpi. Tarkka murtoluku on 7/495, joka on 0,0141414… = 1,41 %.

Tämä luku riippuu siitä, että pass line maksaa tasarahalla, ja come-out-säännöistä sellaisina kuin ne on esitetty. Jos kasino tarjoaa 3-4-5x oddseja, pass linen etu itsessään ei muutu; odds-panos on erillinen veto ilman etua.

Don’t pass -edun johtaminen

Don’t pass -panos voittaa come-outilla 2 tai 3, työntää 12:lla ja häviää 7:llä tai 11:llä. Jos point asetetaan, se voittaa, jos 7 ilmestyy ennen kuin point toistuu.

Voiton todennäköisyys come-outilla on (1+2)/36 = 3/36. Häviön todennäköisyys on (6+2)/36 = 8/36. Työnnön todennäköisyys on 1/36. Loput 24/36 asettaa pointin. Kullekin pointille todennäköisyys 7:lle ennen pointia on 1 miinus todennäköisyys pointille ennen 7:ää. Joten pointille 4 P(7 ennen 4) = 6/9 = 0,6667 ja niin edelleen.

Kokonaistodennäköisyys voittaa, kun point on asetettu, on summa pisteiden yli P(point) * P(7 ennen pointia).

• Point 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Point 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Summa: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Voiton kokonaistodennäköisyys: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Häviön todennäköisyys: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Hetkinen, tuo ei ole oikein. Häviön todennäköisyys, kun point on asetettu, on todennäköisyys, että point toistuu ennen 7:ää, mikä on 0,2707. Joten kokonaishäviön todennäköisyys on 8/36 + 0,2707 = 0,4929. Työnnön todennäköisyys on 1/36 = 0,02778. Tarkistus: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Hyvä.

Don’t pass -panoksen talon etu on häviön ja voiton todennäköisyyksien erotus, oikaistuna työnnöllä: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398 eli 1,40 %. Yleisesti siteerattu luku on 1,36 %, mikä tulee tarkemmasta laskelmasta. Tarkka murtoluku on 3/220 = 0,013636… = 1,36 %. Ero johtuu siitä, että työntö jätetään pois nimittäjästä. Oikea etu on 1,36 %.

Tämä luku riippuu siitä, että don’t pass -bar on 12. Joillakin pöydillä bar on 2, mikä muuttaa etua hieman.

Ilmaiset oddsit: ainoa nollaedun panos

Kun point on asetettu, pass line -pelaaja voi asettaa lisäpanoksen linjan taakse, jota kutsutaan oddseiksi. Tämä panos maksetaan todellisilla kertoimilla: 2:1 pisteillä 4 tai 10, 3:2 pisteillä 5 tai 9 ja 6:5 pisteillä 6 tai 8. Koska maksu vastaa todellista todennäköisyyttä, odds-panoksen odotusarvo on nolla. Talolla ei ole siihen etua.

Odds-panos ei muuta pass linen itsensä talon etua. Se laimentaa kokonaisetua, koska suurempi osa kokonaispanoksesta on nollaedun panoksella. Esimerkiksi jos pelaaja panostaa 10 pass linelle ja 10 oddseihin, kokonaispanos on 20. Odotettu häviö on 1,41 % 10:stä, mikä on 0,141. Kokonaisetu on 0,141/20 = 0,705 %. 100:lla oddseissa kokonaisetu on 0,141/110 = 0,128 %. Pass linen etu pysyy 1,41 %:ssa tasapanoksesta.

Tämä on ainoa panos kasinolla, jossa ei ole talon etua. Se riippuu siitä, että kasino sallii oddsit, ja oddsien enimmäiskertoimesta, joka on tyypillisesti 3-4-5x, eli 3x luvuilla 4 ja 10, 4x luvuilla 5 ja 9 ja 5x luvuilla 6 ja 8.

Proposition-panokset: äänekkäimmät ja huonoimmat

Pöydän keskiosa tarjoaa panoksia tiettyihin lopputuloksiin: mikä tahansa 7, mikä tahansa craps, hardwayt ja yksittäiset summat. Näillä on korkeat maksut ja korkeat talon edut.

Talon etu mikä tahansa 7: voiton todennäköisyys on 6/36 = 0,1667. Maksu on 4:1, joten 1:n panos palauttaa 5 voitolla (4 voitto plus panos). Odotusarvo on (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667 eli 16,67 %.

Mikä tahansa craps: voiton todennäköisyys on 4/36 = 0,1111. Maksu 7:1. Odotusarvo: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111 eli 11,11 %.

Hard 8: voiton todennäköisyys on 2/36 = 0,0556. Maksu 9:1. Odotusarvo: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444 eli 44,44 %? Tuo ei ole oikein. Hetkinen, hard 8 voittaa, jos nopat näyttävät 4-4 ennen mitään muuta yhdistelmää, joka tekee 8:n tai 7:n. Voiton todennäköisyys ei ole yksinkertaisesti 2/36. Oikea todennäköisyys hard 8:lle on 2/36? Ei, hardway-panos ratkaistaan useiden heittojen yli. Todennäköisyys heittää hard 8 ennen easy 8:aa tai 7:ää on 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Maksu on 9:1, joten odotusarvo: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Tuo olisi positiivinen, mikä on mahdotonta. Lasketaan uudelleen: hardway-panos voittaa, jos heittäjä heittää 4-4 ennen kuin heittää 7:n tai minkä tahansa muun yhdistelmän, joka tekee 8:n (jotka ovat 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). Tapoja heittää hard 8 on 1 (4-4). Tapoja heittää easy 8 on 4. Tapoja heittää 7 on 6. Joten voiton todennäköisyys on 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Maksu on 9:1, joten odotusarvo: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909 eli 9,09 %. Tämä vastaa taulukkoa.

Hard 4 tai 10: tapoja heittää hard 4 on 1 (2-2). Tapoja heittää easy 4 on 2 (1-3, 3-1). Tapoja heittää 7 on 6. Voiton todennäköisyys: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Maksu 7:1. Odotusarvo: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11 %.

Nämä edut riippuvat kunkin panoksen erityisestä maksutaulukosta ja säännöistä. Ne ovat kiinteitä noppien ja maksujen perusteella.

Mitä ihmiset ymmärtävät väärin

Yleisin virhe on kohdella noppia kuin niillä olisi muisti. Heittäjä, joka on heittänyt kuusi pointia peräkkäin, ei todennäköisemmin seitsemöi seuraavalla heitolla. Todennäköisyys 7:lle millä tahansa heitolla on aina 6/36 = 16,67 %. Virhe on luonnollinen, koska arkielämässä putket usein osoittavat muutosta taustalla olevissa olosuhteissa: koripalloilija, joka on tehnyt kymmenen heittoa peräkkäin, saattaa olla kohonneen keskittymisen tilassa. Mutta nopilla ei ole tilaa. Fyysiset nopat ovat identtisiä joka heitolla, ja lopputulos on riippumaton.

Toinen virhe on uskoa, että odds-panos vähentää pass linen talon etua. Se ei tee niin. Se on erillinen veto, jossa on nolla etu. Pass line -panoksessa on edelleen 1,41 %:n etu. Kokonaisetu yhdistetyllä määrällä on pienempi, mutta tasapanoksen etu on muuttumaton.

Kolmas virhe on ajatella, että proposition-panokset ovat “velkaa”. Panos mille tahansa 7:lle ei tule todennäköisemmäksi pitkän jakson jälkeen ilman 7:ää. Todennäköisyys on aina 6/36.

Rahaa tunnissa

Talon etu on prosenttiosuus vaihdosta, mikä ei ole määrä, jonka useimmat ihmiset voivat tuntea. Tehdään siitä konkreettinen: harkitse pelaajaa, joka panostaa 10 pass linelle jokaisella come-out-heitolla ilman oddseja. Craps-pöytä ratkaisee pass line -panoksen tyypillisesti noin kahdessa tai kolmessa heitossa, mutta come-out-heittojen määrä tunnissa riippuu pelaajien määrästä ja jakajan nopeudesta. Kohtuullinen arvio täydelle pöydälle on 60 come-out-heittoa tunnissa. 10:llä panosta kohden kokonaispanos tunnissa on 600. Odotettu häviö on 1,41 % 600:sta, mikä on 8,46 tunnissa.

Jos sama pelaaja lisää 10 oddseihin jokaisen pointin taakse, kokonaispanos come-out-heittoa kohden on 10 plus oddsit, mutta oddsit asetetaan vain, kun point on asetettu. Todennäköisyys asettaa point on 24/36 = 66,67 %. Joten keskimääräinen odds-panos come-out-heittoa kohden on 10 * 0,6667 = 6,67. Keskimääräinen kokonaispanos come-out-heittoa kohden on 16,67. 60 come-out-heitolla tunnissa kokonaisvaihto on 1000. Odotettu häviö on 1,41 % 10:stä (tasapanos) come-out-heittoa kohden, mikä on 0,141 heittoa kohden, kertaa 60 = 8,46 tunnissa. Odds-osuus ei lisää odotettua häviötä. Joten tuntihäviö on sama 8,46, mutta kokonaispanosmäärä on suurempi, joten tehollinen etu kokonaisvaihdosta on 0,846 %.

Jos pelaaja sen sijaan panostaa 10 mihin tahansa 7:ään joka heitolla ja heittoja on 100 tunnissa (mukaan lukien ei-come-out-heitot), kokonaispanos on 1000. Odotettu häviö on 16,67 % 1000:sta, mikä on 166,70 tunnissa. Tämä on pöydän äänekkäimmän panoksen hinta.

Nämä luvut riippuvat come-out-heittojen määrästä tunnissa ja kokonaisheittojen määrästä tunnissa, jotka vaihtelevat pöydän olosuhteiden mukaan. Ne olettavat myös, että pelaaja panostaa aina saman summan eikä vaihtele panoksen kokoa.

Säännöt, jotka muuttavat lukuja

Pass linen etu 1,41 % olettaa come-out-säännöt sellaisina kuin ne on kuvattu ja tasarahamaksun. Don’t pass -edun 1,36 % olettaa barin 12. Jos pöytä bar:aa 2, etu on myös 1,36 %? Itse asiassa, jos pöytä bar:aa 2, don’t pass -panos työntää 2:lla 12:n sijaan, mikä muuttaa etua hieman. Ero on pieni.

Odds-panoksen maksu riippuu pointista: 2:1 luvuilla 4 ja 10, 3:2 luvuilla 5 ja 9, 6:5 luvuilla 6 ja 8. Nämä ovat todellisia kertoimia eivätkä muutu.

Proposition-panosten edut riippuvat erityisestä maksutaulukosta. Jotkut kasinot tarjoavat erilaisia maksuja horn-panokselle, joka on yhdistelmä 2:sta, 3:sta, 11:stä ja 12:sta. Horn-panoksen etu on 12,5 %, jos maksut ovat 30:1 luvuilla 2 ja 12 sekä 15:1 luvuilla 3 ja 11, ja panos jaetaan neljään osaan. Jos maksut ovat erilaiset, etu muuttuu.

Kaikki tämän sivun luvut ovat standardille craps-pöydälle, jossa on kaksi noppaa ja säännöt sellaisina kuin ne on esitetty. Ne eivät päde crapless crapsiin, jossa on eri point-numerot ja eri edut.