Kości: szanse i przewaga kasyna

Stół do kości oferuje najszerszy zakres przewagi kasyna w kasynie, od 1,36% na zakładzie don’t pass do ponad 16% na niektórych zakładach proposition na środku stołu. Ten sam rzut kośćmi rozstrzyga je wszystkie, więc różnica nie tkwi w grze, ale w tabeli wypłat i liczbie wyników, które obejmuje każdy zakład. Ta strona wyprowadza każdą liczbę z tych dwóch rzeczy, podaje zasady, od których zależy każda liczba, i przelicza przewagi na pieniądze na godzinę przy podanym zakładzie i tempie rzutów.

Stół i kości

Stół do kości to filcowa plansza z zaznaczonym obszarem come, obszarem don’t come, linią pass, linią don’t pass oraz środkową sekcją zakładów proposition. Używa się dwóch sześciościennych kości. 36 równie prawdopodobnych wyników to podstawa wszystkich poniższych obliczeń. Rozkład sum jest następujący:

Te prawdopodobieństwa są ustalone przez kości. Żaden poprzedni wynik ich nie zmienia. Kości nie mają pamięci, a stół, który nie widział 7 przez dwadzieścia minut, nie ma większej szansy na wyrzucenie jej w następnym rzucie niż stół, który właśnie wyrzucił trzy pod rząd.

Rzut come-out i punkt

Zakład pass line rozstrzyga się w dwóch etapach. Pierwszy rzut to come-out. Jeśli come-out to 7 lub 11, pass line wygrywa nawet pieniądze. Jeśli to 2, 3 lub 12, przegrywa. Każda inna suma staje się punktem. Krupier umieszcza puck na tym numerze. Strzelający rzuca następnie, aż albo punkt się powtórzy, w którym to przypadku pass line wygrywa nawet pieniądze, albo pojawi się 7, w którym to przypadku przegrywa.

Zakład don’t pass jest odwrotny: wygrywa przy come-out 2 lub 3, push przy 12, przegrywa przy 7 lub 11 i wygrywa nawet pieniądze, jeśli 7 pojawi się przed powtórzeniem punktu.

Wyprowadzenie przewagi na pass line

Przewaga na pass line nie jest pojedynczym prawdopodobieństwem, ale średnią ważoną po możliwych punktach. Obliczenie przebiega w trzech krokach.

Krok 1: Wyniki come-out. Przy come-out 7 lub 11 wygrywa, 2, 3 lub 12 przegrywa, a każda inna suma ustanawia punkt. Prawdopodobieństwo wygranej przy come-out wynosi (6+2)/36 = 8/36. Prawdopodobieństwo przegranej wynosi (1+2+1)/36 = 4/36. Pozostałe 24/36 ustanawia punkt.

Krok 2: Rozstrzygnięcie punktu. Dla każdego punktu prawdopodobieństwo powtórzenia punktu przed 7 to liczba sposobów na uzyskanie punktu podzielona przez sumę sposobów na uzyskanie punktu i sposobów na uzyskanie 7. Sposoby na uzyskanie 7 to zawsze 6.

Krok 3: Połączenie. Prawdopodobieństwo ustanowienia każdego punktu to liczba sposobów na uzyskanie tej sumy podzielona przez 36. Ogólne prawdopodobieństwo wygranej po ustanowieniu punktu to suma po punktach P(punkt) razy P(punkt przed 7).

• Punkt 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Punkt 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Punkt 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Punkt 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Punkt 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Punkt 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Zamieniając na ułamki dziesiętne i sumując: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Zatem prawdopodobieństwo wygranej po ustanowieniu punktu wynosi około 0,2707.

Całkowite prawdopodobieństwo wygranej na pass line to wygrana na come-out plus wygrana na punkcie: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Prawdopodobieństwo przegranej wynosi 1 - 0,4929 = 0,5071. Przewaga kasyna to różnica między prawdopodobieństwem przegranej a wygranej, ponieważ wypłata jest równa stawce: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, czyli 1,42%. Powszechnie cytowana liczba to 1,41%, co wynika z przenoszenia większej liczby miejsc po przecinku w obliczeniach. Dokładny ułamek to 7/495, co daje 0,0141414… = 1,41%.

Ta liczba zależy od tego, że pass line płaci równą stawkę, oraz od podanych zasad come-out. Jeśli kasyno oferuje odds 3-4-5x, przewaga na samym pass line pozostaje niezmieniona; zakład odds to osobny zakład bez przewagi.

Wyprowadzenie przewagi na don’t pass

Zakład don’t pass wygrywa przy come-out 2 lub 3, push przy 12 i przegrywa przy 7 lub 11. Jeśli punkt zostanie ustanowiony, wygrywa, jeśli 7 pojawi się przed powtórzeniem punktu.

Prawdopodobieństwo wygranej przy come-out wynosi (1+2)/36 = 3/36. Prawdopodobieństwo przegranej wynosi (6+2)/36 = 8/36. Prawdopodobieństwo push wynosi 1/36. Pozostałe 24/36 ustanawia punkt. Dla każdego punktu prawdopodobieństwo 7 przed punktem to 1 minus prawdopodobieństwo punktu przed 7. Zatem dla punktu 4, P(7 przed 4) = 6/9 = 0,6667, i tak dalej.

Ogólne prawdopodobieństwo wygranej po ustanowieniu punktu to suma po punktach P(punkt) * P(7 przed punktem).

• Punkt 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Punkt 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Punkt 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Punkt 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Punkt 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Punkt 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Suma: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Całkowite prawdopodobieństwo wygranej: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Prawdopodobieństwo przegranej: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Zaraz, to nie jest poprawne. Prawdopodobieństwo przegranej po ustanowieniu punktu to prawdopodobieństwo powtórzenia punktu przed 7, które wynosi 0,2707. Zatem całkowite prawdopodobieństwo przegranej wynosi 8/36 + 0,2707 = 0,4929. Prawdopodobieństwo push wynosi 1/36 = 0,02778. Sprawdzenie: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Dobrze.

Przewaga kasyna na don’t pass to różnica między prawdopodobieństwem przegranej a wygranej, skorygowana o push: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, czyli 1,40%. Powszechnie cytowana liczba to 1,36%, co wynika z dokładniejszego obliczenia. Dokładny ułamek to 3/220 = 0,013636… = 1,36%. Rozbieżność wynika z wykluczenia push z mianownika. Poprawna przewaga to 1,36%.

Ta liczba zależy od tego, że don’t pass bar jest równy 12. Niektóre stoły mają bar 2, co nieznacznie zmienia przewagę.

Free odds: jedyny zakład bez przewagi

Po ustanowieniu punktu gracz na pass line może postawić dodatkowy zakład za linią, zwany odds. Ten zakład jest wypłacany po prawdziwych kursach: 2:1 na punktach 4 lub 10, 3:2 na 5 lub 9 i 6:5 na 6 lub 8. Ponieważ wypłata odpowiada prawdziwemu prawdopodobieństwu, wartość oczekiwana zakładu odds wynosi zero. Kasyno nie ma na nim przewagi.

Zakład odds nie zmienia przewagi kasyna na samym pass line. Rozcieńcza ogólną przewagę, ponieważ większa część całkowitej postawionej kwoty przypada na zakład bez przewagi. Na przykład, jeśli gracz stawia 10 na pass line i 10 na odds, całkowity zakład wynosi 20. Oczekiwana strata to 1,41% z 10, czyli 0,141. Ogólna przewaga wynosi 0,141/20 = 0,705%. Przy 100 na odds ogólna przewaga wynosi 0,141/110 = 0,128%. Przewaga na pass line pozostaje 1,41% na zakładzie podstawowym.

To jedyny zakład w kasynie, który nie ma przewagi kasyna. Zależy to od tego, czy kasyno pozwala na odds i od maksymalnej wielokrotności odds, która zazwyczaj wynosi 3-4-5x, co oznacza 3x na 4 i 10, 4x na 5 i 9 oraz 5x na 6 i 8.

Zakłady proposition: najgłośniejsze i najgorsze

Środek stołu oferuje zakłady na konkretne wyniki: any 7, any craps, hardways i poszczególne sumy. Mają one wysokie wypłaty i wysokie przewagi kasyna.

Przewaga kasyna dla any 7: prawdopodobieństwo wygranej wynosi 6/36 = 0,1667. Wypłata to 4:1, więc zakład 1 zwraca 5 przy wygranej (4 zysku plus stawka). Wartość oczekiwana wynosi (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, czyli 16,67%.

Dla any craps: prawdopodobieństwo wygranej wynosi 4/36 = 0,1111. Wypłata 7:1. Wartość oczekiwana: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, czyli 11,11%.

Dla hard 8: prawdopodobieństwo wygranej wynosi 2/36 = 0,0556. Wypłata 9:1. Wartość oczekiwana: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, czyli 44,44%? To nie jest poprawne. Zaraz, hard 8 wygrywa, jeśli kości pokażą 4-4 przed jakąkolwiek inną kombinacją dającą 8 lub 7. Prawdopodobieństwo wygranej nie wynosi po prostu 2/36. Poprawne prawdopodobieństwo dla hard 8 to 2/36? Nie, zakład hardway rozstrzyga się w wielu rzutach. Prawdopodobieństwo wyrzucenia hard 8 przed easy 8 lub 7 wynosi 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Wypłata to 9:1, więc wartość oczekiwana: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? To byłoby dodatnie, co jest niemożliwe. Przeliczmy: zakład hardway wygrywa, jeśli strzelający wyrzuci 4-4 przed wyrzuceniem 7 lub jakiejkolwiek innej kombinacji dającej 8 (które to 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). Sposoby na wyrzucenie hard 8 to 1 (4-4). Sposoby na wyrzucenie easy 8 to 4. Sposoby na wyrzucenie 7 to 6. Zatem prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Wypłata to 9:1, więc wartość oczekiwana: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, czyli 9,09%. To zgadza się z tabelą.

Dla hard 4 lub 10: sposoby na wyrzucenie hard 4 to 1 (2-2). Sposoby na wyrzucenie easy 4 to 2 (1-3, 3-1). Sposoby na wyrzucenie 7 to 6. Prawdopodobieństwo wygranej: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Wypłata 7:1. Wartość oczekiwana: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11%.

Te przewagi zależą od konkretnej tabeli wypłat i zasad dla każdego zakładu. Są ustalone przez kości i wypłaty.

Co ludzie robią źle

Najczęstszym błędem jest traktowanie kości tak, jakby miały pamięć. Strzelający, który wyrzucił sześć punktów pod rząd, nie ma większej szansy na seven out w następnym rzucie. Prawdopodobieństwo 7 w każdym rzucie wynosi zawsze 6/36 = 16,67%. Błąd jest naturalny, ponieważ w życiu codziennym serie często wskazują na zmianę warunków: koszykarz, który trafił dziesięć rzutów z rzędu, może być w stanie zwiększonej koncentracji. Ale kości nie mają stanu. Fizyczne kości są identyczne w każdym rzucie, a wynik jest niezależny.

Innym błędem jest przekonanie, że zakład odds zmniejsza przewagę kasyna na pass line. Nie zmniejsza. To osobny zakład bez przewagi. Zakład pass line nadal ma przewagę 1,41%. Ogólna przewaga na połączonej kwocie jest niższa, ale przewaga na zakładzie podstawowym pozostaje niezmieniona.

Trzecim błędem jest myślenie, że zakłady proposition są należne. Zakład na any 7 nie staje się bardziej prawdopodobny po długiej serii bez 7. Prawdopodobieństwo wynosi zawsze 6/36.

Pieniądze na godzinę

Przewaga kasyna to procent obrotu, co nie jest ilością, którą większość ludzi potrafi poczuć. Aby to skonkretyzować, rozważmy gracza, który stawia 10 na pass line przy każdym rzucie come-out, bez odds. Stół do kości zazwyczaj rozstrzyga zakład pass line w około dwóch do trzech rzutów, ale liczba rzutów come-out na godzinę zależy od liczby graczy i szybkości krupiera. Rozsądne oszacowanie dla pełnego stołu to 60 rzutów come-out na godzinę. Przy 10 na zakład całkowita postawiona kwota na godzinę wynosi 600. Oczekiwana strata to 1,41% z 600, czyli 8,46 na godzinę.

Jeśli ten sam gracz doda 10 na odds za każdym punktem, całkowity zakład na rzut come-out wynosi 10 plus odds, ale odds są stawiane tylko wtedy, gdy punkt zostanie ustanowiony. Prawdopodobieństwo ustanowienia punktu wynosi 24/36 = 66,67%. Zatem średni zakład odds na rzut come-out wynosi 10 * 0,6667 = 6,67. Całkowity średni zakład na rzut come-out wynosi 16,67. Przy 60 rzutach come-out na godzinę całkowity obrót wynosi 1000. Oczekiwana strata to 1,41% z 10 (zakład podstawowy) na rzut come-out, czyli 0,141 na rzut, razy 60 = 8,46 na godzinę. Część odds nie dodaje oczekiwanej straty. Zatem strata godzinowa jest taka sama 8,46, ale całkowita postawiona kwota jest wyższa, więc efektywna przewaga na całkowitym obrocie wynosi 0,846%.

Jeśli gracz zamiast tego stawia 10 na any 7 w każdym rzucie, a na godzinę przypada 100 rzutów (w tym rzuty niebędące come-out), całkowity zakład wynosi 1000. Oczekiwana strata to 16,67% z 1000, czyli 166,70 na godzinę. To koszt najgłośniejszego zakładu na stole.

Te liczby zależą od liczby rzutów come-out na godzinę i całkowitej liczby rzutów na godzinę, które zmieniają się w zależności od warunków przy stole. Zakładają również, że gracz zawsze stawia tę samą kwotę i nie zmienia wielkości zakładu.

Zasady, które zmieniają liczby

Przewaga na pass line 1,41% zakłada zasady come-out zgodnie z opisem i wypłatę równą stawce. Przewaga na don’t pass 1,36% zakłada bar 12. Jeśli stół ma bar 2, przewaga również wynosi 1,36%? Właściwie, jeśli stół ma bar 2, zakład don’t pass daje push przy 2 zamiast przy 12, co nieznacznie zmienia przewagę. Różnica jest niewielka.

Wypłata zakładu odds zależy od punktu: 2:1 na 4 i 10, 3:2 na 5 i 9, 6:5 na 6 i 8. To są prawdziwe kursy i nie zmieniają się.

Przewagi zakładów proposition zależą od konkretnej tabeli wypłat. Niektóre kasyna oferują inne wypłaty dla horn bet, który jest kombinacją 2, 3, 11 i 12. Przewaga na horn bet wynosi 12,5%, jeśli wypłaty wynoszą 30:1 na 2 i 12 oraz 15:1 na 3 i 11, a zakład jest podzielony na cztery części. Jeśli wypłaty są inne, przewaga się zmienia.

Wszystkie liczby na tej stronie dotyczą standardowego stołu do kości z dwiema kośćmi i zasadami zgodnie z opisem. Nie mają zastosowania do crapless craps, który ma inne numery punktów i inne przewagi.