Probabilités au craps et avantage de la maison

Une table de craps offre la plus large gamme d’avantages de la maison dans un casino, de 1,36 % sur la ligne don’t pass à plus de 16 % sur certains paris propositionnels du centre de la table. Le même lancer de dés les règle tous, donc la différence ne réside pas dans le jeu mais dans le tableau des gains et le nombre de résultats que chaque pari couvre. Cette page dérive chaque chiffre à partir de ces deux éléments, énonce les règles dont dépend chaque chiffre, et convertit les avantages en argent par heure pour une mise et un rythme de lancers donnés.

La table et les dés

Une table de craps est un tapis avec une zone come marquée, une zone don’t come, une pass line, une don’t pass line, et une section centrale de paris propositionnels. Deux dés à six faces sont utilisés. Les 36 résultats équiprobables sont la base de tous les calculs qui suivent. La distribution des totaux est :

Ces probabilités sont fixées par les dés. Aucun résultat passé ne les change. Les dés n’ont pas de mémoire, et une table qui n’a pas vu de 7 depuis vingt minutes n’a pas plus de chances d’en produire un au prochain lancer qu’une table qui vient d’en produire trois d’affilée.

Le come-out roll et le point

Le pari pass line se résout en deux étapes. Le premier lancer est le come-out. Si le come-out est 7 ou 11, la pass line gagne à égalité. Si c’est 2, 3 ou 12, elle perd. Tout autre total devient le point. Le croupier place un palet sur ce numéro. Le shooter lance ensuite jusqu’à ce que soit le point se répète, auquel cas la pass line gagne à égalité, soit un 7 apparaît, auquel cas elle perd.

Le pari don’t pass est l’inverse : il gagne sur un come-out de 2 ou 3, pousse sur 12, perd sur 7 ou 11, et gagne à égalité si un 7 apparaît avant que le point ne se répète.

Dérivation de l’avantage de la pass line

L’avantage de la pass line n’est pas une probabilité unique mais une moyenne pondérée sur les points possibles. Le calcul se déroule en trois étapes.

Étape 1 : Résultats du come-out. Au come-out, 7 ou 11 gagne, 2, 3 ou 12 perd, et tout autre total établit un point. La probabilité de gagner au come-out est (6+2)/36 = 8/36. La probabilité de perdre est (1+2+1)/36 = 4/36. Les 24/36 restants établissent un point.

Étape 2 : Résolution du point. Pour chaque point, la probabilité de répéter le point avant un 7 est le nombre de façons de faire le point divisé par la somme des façons de faire le point et des façons de faire un 7. Les façons de faire un 7 sont toujours 6.

Étape 3 : Combiner. La probabilité d’établir chaque point est le nombre de façons de faire ce total divisé par 36. La probabilité globale de gagner après qu’un point est établi est la somme sur les points de P(point) fois P(point avant 7).

• Point 4 : (3/36) * (3/9) = 9/324
• Point 5 : (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 6 : (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 8 : (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 9 : (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 10 : (3/36) * (3/9) = 9/324

En convertissant en décimales et en additionnant : 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Donc la probabilité de gagner après qu’un point est établi est d’environ 0,2707.

La probabilité totale de gagner la pass line est la victoire au come-out plus la victoire sur le point : 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. La probabilité de perdre est 1 - 0,4929 = 0,5071. L’avantage de la maison est la différence entre la probabilité de perdre et de gagner, puisque le gain est à égalité : 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, soit 1,42 %. Le chiffre couramment cité est 1,41 %, qui provient du report de plus de décimales dans le calcul. La fraction exacte est 7/495, soit 0,0141414… = 1,41 %.

Ce chiffre dépend du fait que la pass line paie à égalité et des règles du come-out telles qu’énoncées. Si un casino offre des cotes 3-4-5x, l’avantage de la pass line elle-même est inchangé ; le pari de cotes est un pari séparé sans avantage.

Dérivation de l’avantage du don’t pass

Le pari don’t pass gagne sur un come-out de 2 ou 3, pousse sur 12, et perd sur 7 ou 11. Si un point est établi, il gagne si un 7 apparaît avant que le point ne se répète.

La probabilité de gagner au come-out est (1+2)/36 = 3/36. La probabilité de perdre est (6+2)/36 = 8/36. La probabilité d’un push est 1/36. Les 24/36 restants établissent un point. Pour chaque point, la probabilité d’un 7 avant le point est 1 moins la probabilité du point avant un 7. Donc pour le point 4, P(7 avant 4) = 6/9 = 0,6667, et ainsi de suite.

La probabilité globale de gagner après qu’un point est établi est la somme sur les points de P(point) * P(7 avant point).

• Point 4 : (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Point 5 : (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 6 : (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 8 : (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 9 : (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 10 : (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Somme : 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Probabilité totale de gagner : 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Probabilité de perdre : 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Attendez, ce n’est pas correct. La probabilité de perdre après qu’un point est établi est la probabilité que le point se répète avant un 7, qui est 0,2707. Donc la probabilité totale de perdre est 8/36 + 0,2707 = 0,4929. La probabilité de push est 1/36 = 0,02778. Vérification : 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Bien.

L’avantage de la maison sur le don’t pass est la différence entre les probabilités de perdre et de gagner, ajustée pour le push : (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, soit 1,40 %. Le chiffre couramment cité est 1,36 %, qui provient d’un calcul plus précis. La fraction exacte est 3/220 = 0,013636… = 1,36 %. L’écart provient du fait que le push est exclu du dénominateur. L’avantage correct est 1,36 %.

Ce chiffre dépend du fait que le don’t pass bar soit 12. Certaines tables barrent 2 à la place, ce qui change légèrement l’avantage.

Les cotes gratuites : le seul pari à avantage nul

Après qu’un point est établi, un parieur de la pass line peut placer une mise supplémentaire derrière la ligne, appelée cotes. Ce pari est payé aux cotes véritables : 2:1 sur les points 4 ou 10, 3:2 sur 5 ou 9, et 6:5 sur 6 ou 8. Parce que le gain correspond à la probabilité véritable, l’espérance mathématique du pari de cotes est nulle. La maison n’a aucun avantage dessus.

Le pari de cotes ne change pas l’avantage de la maison sur la pass line elle-même. Il dilue l’avantage global parce qu’une plus grande fraction du montant total misé est sur un pari à avantage nul. Par exemple, si un joueur mise 10 sur la pass line et 10 en cotes, la mise totale est de 20. La perte attendue est de 1,41 % de 10, soit 0,141. L’avantage global est de 0,141/20 = 0,705 %. Avec 100 en cotes, l’avantage global est de 0,141/110 = 0,128 %. L’avantage de la pass line reste de 1,41 % sur la mise plate.

C’est le seul pari dans un casino qui ne comporte aucun avantage de la maison. Il dépend du fait que le casino autorise les cotes et du multiple maximal de cotes, qui est typiquement 3-4-5x, soit 3x sur 4 et 10, 4x sur 5 et 9, et 5x sur 6 et 8.

Les paris propositionnels : les plus bruyants et les pires

Le centre de la table propose des paris sur des résultats spécifiques : any 7, any craps, les hardways, et les totaux individuels. Ceux-ci ont des gains élevés et des avantages de la maison élevés.

L’avantage de la maison pour any 7 : la probabilité de gagner est 6/36 = 0,1667. Le gain est de 4:1, donc une mise de 1 rapporte 5 en cas de victoire (4 de profit plus la mise). L’espérance mathématique est (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, soit 16,67 %.

Pour any craps : la probabilité de gagner est 4/36 = 0,1111. Gain 7:1. Espérance mathématique : (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, soit 11,11 %.

Pour hard 8 : la probabilité de gagner est 2/36 = 0,0556. Gain 9:1. Espérance mathématique : (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, soit 44,44 % ? Ce n’est pas correct. Attendez, hard 8 gagne si les dés montrent 4-4 avant toute autre combinaison qui fait 8 ou un 7. La probabilité de gagner n’est pas simplement 2/36. La probabilité correcte pour hard 8 est 2/36 ? Non, le pari hardway se résout sur plusieurs lancers. La probabilité de rouler un hard 8 avant un easy 8 ou un 7 est 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Le gain est de 9:1, donc espérance mathématique : (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667 ? Ce serait positif, ce qui est impossible. Recalculons : le pari hardway gagne si le shooter lance un 4-4 avant de lancer un 7 ou toute autre combinaison qui fait 8 (qui sont 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). Les façons de faire un hard 8 sont 1 (4-4). Les façons de faire un easy 8 sont 4. Les façons de faire un 7 sont 6. Donc la probabilité de gagner est 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Le gain est de 9:1, donc espérance mathématique : (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, soit 9,09 %. Cela correspond au tableau.

Pour hard 4 ou 10 : les façons de faire un hard 4 sont 1 (2-2). Les façons de faire un easy 4 sont 2 (1-3, 3-1). Les façons de faire un 7 sont 6. Probabilité de gagner : 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Gain 7:1. Espérance mathématique : (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11 %.

Ces avantages dépendent du tableau des gains spécifique et des règles de chaque pari. Ils sont fixés par les dés et les gains.

Ce que les gens comprennent mal

L’erreur la plus courante est de traiter les dés comme s’ils avaient une mémoire. Un shooter qui a fait six points d’affilée n’a pas plus de chances de faire un seven out au prochain lancer. La probabilité d’un 7 à n’importe quel lancer est toujours 6/36 = 16,67 %. L’erreur est naturelle parce que dans la vie quotidienne, les séries indiquent souvent un changement dans les conditions sous-jacentes : un joueur de basket qui a réussi dix tirs d’affilée est peut-être dans un état de concentration accru. Mais les dés n’ont pas d’état. Les dés physiques sont identiques à chaque lancer, et le résultat est indépendant.

Une autre erreur est de croire que le pari de cotes réduit l’avantage de la maison sur la pass line. Ce n’est pas le cas. C’est un pari séparé à avantage nul. Le pari pass line comporte toujours un avantage de 1,41 %. L’avantage global sur le montant combiné est plus faible, mais l’avantage sur la mise plate est inchangé.

Une troisième erreur est de penser que les paris propositionnels sont dus. Un pari sur any 7 ne devient pas plus probable après une longue séquence sans 7. La probabilité est toujours 6/36.

Argent par heure

L’avantage de la maison est un pourcentage du chiffre d’affaires, ce qui n’est pas une quantité que la plupart des gens peuvent ressentir. Pour le rendre concret, considérons un joueur qui mise 10 sur la pass line à chaque come-out roll, sans cotes. Une table de craps résout généralement un pari pass line en environ deux à trois lancers, mais le nombre de come-out rolls par heure dépend du nombre de joueurs et de la vitesse du croupier. Une estimation raisonnable pour une table pleine est de 60 come-out rolls par heure. À 10 par pari, le montant total misé par heure est de 600. La perte attendue est de 1,41 % de 600, soit 8,46 par heure.

Si le même joueur ajoute 10 en cotes derrière chaque point, la mise totale par come-out roll est de 10 plus les cotes, mais les cotes ne sont placées que lorsqu’un point est établi. La probabilité d’établir un point est de 24/36 = 66,67 %. Donc la mise moyenne en cotes par come-out roll est de 10 * 0,6667 = 6,67. La mise moyenne totale par come-out roll est de 16,67. À 60 come-out rolls par heure, le chiffre d’affaires total est de 1000. La perte attendue est de 1,41 % de 10 (la mise plate) par come-out roll, soit 0,141 par lancer, fois 60 = 8,46 par heure. La portion de cotes n’ajoute aucune perte attendue. Donc la perte horaire est la même 8,46, mais le montant total misé est plus élevé, donc l’avantage effectif sur le chiffre d’affaires total est de 0,846 %.

Si le joueur mise plutôt 10 sur any 7 à chaque lancer, et qu’il y a 100 lancers par heure (y compris les lancers non come-out), la mise totale est de 1000. La perte attendue est de 16,67 % de 1000, soit 166,70 par heure. C’est le coût du pari le plus bruyant de la table.

Ces chiffres dépendent du nombre de come-out rolls par heure et du nombre total de lancers par heure, qui varient selon les conditions de la table. Ils supposent également que le joueur mise toujours le même montant et ne varie pas la taille de la mise.

Règles qui changent les chiffres

L’avantage de la pass line de 1,41 % suppose les règles du come-out telles que décrites et un gain à égalité. L’avantage du don’t pass de 1,36 % suppose un bar de 12. Si la table barre 2, l’avantage est également de 1,36 % ? En fait, si la table barre 2, le pari don’t pass pousse sur 2 au lieu de 12, ce qui change légèrement l’avantage. La différence est faible.

Le gain du pari de cotes dépend du point : 2:1 sur 4 et 10, 3:2 sur 5 et 9, 6:5 sur 6 et 8. Ce sont les cotes véritables et elles ne changent pas.

Les avantages des paris propositionnels dépendent du tableau des gains spécifique. Certains casinos offrent des gains différents pour le horn bet, qui est une combinaison de 2, 3, 11 et 12. L’avantage sur le horn bet est de 12,5 % si les gains sont de 30:1 sur 2 et 12, et 15:1 sur 3 et 11, avec le pari divisé en quatre. Si les gains sont différents, l’avantage change.

Tous les chiffres de cette page concernent une table de craps standard avec deux dés et les règles telles qu’énoncées. Ils ne s’appliquent pas au crapless craps, qui a des numéros de point différents et des avantages différents.