Probabilità e Vantaggio del Banco al Craps: Ogni Puntata sul Tavolo

Un tavolo da craps offre la più ampia gamma di vantaggi del banco in un casinò, dall’1,36% sulla don’t pass line a oltre il 16% su alcune proposition al centro del tavolo. Lo stesso lancio di dadi li risolve tutti, quindi la differenza non è nel gioco ma nella tabella dei pagamenti e nel numero di esiti che ogni puntata copre. Questa pagina deriva ogni cifra da questi due elementi, enuncia le regole da cui dipende ogni cifra e converte i vantaggi in denaro per ora a una puntata e un ritmo di tiri dichiarati.

Il tavolo e i dadi

Un tavolo da craps è un layout in feltro con un’area come, un’area don’t come, una pass line, una don’t pass line e una sezione centrale di proposition. Si usano due dadi a sei facce. I 36 esiti ugualmente probabili sono la base di ogni calcolo che segue. La distribuzione dei totali è:

Queste probabilità sono fissate dai dadi. Nessun risultato passato le cambia. I dadi non hanno memoria, e un tavolo che non vede un 7 da venti minuti non è più probabile che ne produca uno al prossimo tiro rispetto a un tavolo che ne ha appena prodotti tre di fila.

Il tiro di come-out e il point

La puntata pass line si risolve in due fasi. Il primo tiro è il come-out. Se il come-out è 7 o 11, la pass line vince alla pari. Se è 2, 3 o 12, perde. Qualsiasi altro totale diventa il point. Il dealer mette un puck su quel numero. Lo shooter tira poi finché il point non si ripete, nel qual caso la pass line vince alla pari, o appare un 7, nel qual caso perde.

La puntata don’t pass è l’opposto: vince su un come-out di 2 o 3, push su 12, perde su 7 o 11 e vince alla pari se appare un 7 prima che il point si ripeta.

Derivazione del vantaggio sulla pass line

Il vantaggio sulla pass line non è una singola probabilità ma una media ponderata sui possibili point. Il calcolo procede in tre passaggi.

Passaggio 1: Esiti del come-out. Al come-out, 7 o 11 vincono, 2, 3 o 12 perdono, e qualsiasi altro totale stabilisce un point. La probabilità di vincere al come-out è (6+2)/36 = 8/36. La probabilità di perdere è (1+2+1)/36 = 4/36. Il restante 24/36 stabilisce un point.

Passaggio 2: Risoluzione del point. Per ogni point, la probabilità di ripetere il point prima di un 7 è il numero di modi per fare il point diviso per la somma dei modi per fare il point e dei modi per fare un 7. I modi per fare un 7 sono sempre 6.

Passaggio 3: Combinazione. La probabilità di stabilire ogni point è il numero di modi per fare quel totale diviso 36. La probabilità complessiva di vincere dopo che un point è stabilito è la somma su tutti i point di P(point) per P(point prima di 7).

• Point 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Point 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Convertendo in decimali e sommando: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Quindi la probabilità di vincere dopo che un point è stabilito è circa 0,2707.

La probabilità totale di vincere la pass line è la vincita al come-out più la vincita sul point: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. La probabilità di perdere è 1 - 0,4929 = 0,5071. Il vantaggio del banco è la differenza tra la probabilità di perdere e quella di vincere, poiché il pagamento è alla pari: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, ovvero 1,42%. La cifra comunemente citata è 1,41%, che deriva dal portare più cifre decimali nel calcolo. La frazione esatta è 7/495, che è 0,0141414… = 1,41%.

Questa cifra dipende dal fatto che la pass line paghi alla pari e dalle regole del come-out come enunciate. Se un casinò offre odds 3-4-5x, il vantaggio sulla pass line stessa è invariato; la puntata odds è una scommessa separata senza vantaggio.

Derivazione del vantaggio sulla don’t pass

La puntata don’t pass vince su un come-out di 2 o 3, push su 12 e perde su 7 o 11. Se viene stabilito un point, vince se appare un 7 prima che il point si ripeta.

La probabilità di vincere al come-out è (1+2)/36 = 3/36. La probabilità di perdere è (6+2)/36 = 8/36. La probabilità di un push è 1/36. Il restante 24/36 stabilisce un point. Per ogni point, la probabilità di un 7 prima del point è 1 meno la probabilità del point prima di un 7. Quindi per il point 4, P(7 prima di 4) = 6/9 = 0,6667, e così via.

La probabilità complessiva di vincere dopo che un point è stabilito è la somma su tutti i point di P(point) * P(7 prima del point).

• Point 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Point 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Somma: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Probabilità totale di vincere: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Probabilità di perdere: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Aspetta, non è corretto. La probabilità di perdere dopo che un point è stabilito è la probabilità che il point si ripeta prima di un 7, che è 0,2707. Quindi la probabilità totale di perdere è 8/36 + 0,2707 = 0,4929. La probabilità di push è 1/36 = 0,02778. Verifica: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Bene.

Il vantaggio del banco sulla don’t pass è la differenza tra le probabilità di perdere e vincere, aggiustata per il push: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, ovvero 1,40%. La cifra comunemente citata è 1,36%, che deriva da un calcolo più preciso. La frazione esatta è 3/220 = 0,013636… = 1,36%. La discrepanza sorge perché il push è escluso dal denominatore. Il vantaggio corretto è 1,36%.

Questa cifra dipende dal fatto che la don’t pass bar sia 12. Alcuni tavoli bar 2 invece, il che cambia leggermente il vantaggio.

Free odds: l’unica puntata a vantaggio zero

Dopo che un point è stabilito, un giocatore della pass line può piazzare una puntata aggiuntiva dietro la linea, chiamata odds. Questa puntata viene pagata alle probabilità reali: 2:1 sui point 4 o 10, 3:2 su 5 o 9 e 6:5 su 6 o 8. Poiché il pagamento corrisponde alla probabilità reale, il valore atteso della puntata odds è zero. Il banco non ha vantaggio su di essa.

La puntata odds non cambia il vantaggio del banco sulla pass line stessa. Diluisce il vantaggio complessivo perché una frazione maggiore dell’importo totale puntato è su una puntata a vantaggio zero. Ad esempio, se un giocatore punta 10 sulla pass line e 10 in odds, la puntata totale è 20. La perdita attesa è l’1,41% di 10, che è 0,141. Il vantaggio complessivo è 0,141/20 = 0,705%. Con 100 in odds, il vantaggio complessivo è 0,141/110 = 0,128%. Il vantaggio sulla pass line rimane 1,41% sulla puntata base.

Questa è l’unica puntata in un casinò che non comporta alcun vantaggio del banco. Dipende dal fatto che il casinò permetta le odds e dal moltiplicatore massimo delle odds, che è tipicamente 3-4-5x, ovvero 3x su 4 e 10, 4x su 5 e 9 e 5x su 6 e 8.

Puntate proposition: le più rumorose e le peggiori

Il centro del tavolo offre puntate su esiti specifici: any 7, any craps, gli hardway e i totali individuali. Queste hanno pagamenti elevati e vantaggi del banco elevati.

Il vantaggio del banco per any 7: la probabilità di vincere è 6/36 = 0,1667. Il pagamento è 4:1, quindi una puntata di 1 restituisce 5 in caso di vincita (4 di profitto più la puntata). Il valore atteso è (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, ovvero 16,67%.

Per any craps: probabilità di vincere è 4/36 = 0,1111. Pagamento 7:1. Valore atteso: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, ovvero 11,11%.

Per hard 8: la probabilità di vincere è 2/36 = 0,0556. Pagamento 9:1. Valore atteso: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, ovvero 44,44%? Non è corretto. Aspetta, hard 8 vince se i dadi mostrano 4-4 prima di qualsiasi altra combinazione che fa 8 o un 7. La probabilità di vincere non è semplicemente 2/36. La probabilità corretta per hard 8 è 2/36? No, la puntata hardway si risolve su più tiri. La probabilità di ottenere un hard 8 prima di un easy 8 o un 7 è 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Il pagamento è 9:1, quindi valore atteso: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Sarebbe positivo, il che è impossibile. Ricalcoliamo: la puntata hardway vince se lo shooter ottiene un 4-4 prima di ottenere un 7 o qualsiasi altra combinazione che fa 8 (che sono 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). I modi per ottenere un hard 8 sono 1 (4-4). I modi per ottenere un easy 8 sono 4. I modi per ottenere un 7 sono 6. Quindi la probabilità di vincere è 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Il pagamento è 9:1, quindi valore atteso: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, ovvero 9,09%. Questo corrisponde alla tabella.

Per hard 4 o 10: i modi per ottenere un hard 4 sono 1 (2-2). I modi per ottenere un easy 4 sono 2 (1-3, 3-1). I modi per ottenere un 7 sono 6. Probabilità di vincere: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Pagamento 7:1. Valore atteso: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11%.

Questi vantaggi dipendono dalla specifica tabella dei pagamenti e dalle regole per ogni puntata. Sono fissati dai dadi e dai pagamenti.

Cosa le persone sbagliano

L’errore più comune è trattare i dadi come se avessero una memoria. Uno shooter che ha ottenuto sei point di fila non è più probabile che faccia sette out al prossimo tiro. La probabilità di un 7 su qualsiasi tiro è sempre 6/36 = 16,67%. L’errore è naturale perché nella vita quotidiana le serie spesso indicano un cambiamento nelle condizioni di fondo: un giocatore di basket che ha fatto dieci tiri di fila potrebbe essere in uno stato di concentrazione elevata. Ma i dadi non hanno stato. I dadi fisici sono identici a ogni tiro, e l’esito è indipendente.

Un altro errore è credere che la puntata odds riduca il vantaggio del banco sulla pass line. Non lo fa. È una scommessa separata con vantaggio zero. La puntata pass line comporta ancora un vantaggio dell’1,41%. Il vantaggio complessivo sull’importo combinato è inferiore, ma il vantaggio sulla puntata base è invariato.

Un terzo errore è pensare che le puntate proposition siano dovute. Una puntata su any 7 non diventa più probabile dopo una lunga sequenza senza un 7. La probabilità è sempre 6/36.

Denaro per ora

Il vantaggio del banco è una percentuale del volume, che non è una quantità che la maggior parte delle persone può percepire. Per renderlo concreto, considera un giocatore che punta 10 sulla pass line a ogni tiro di come-out, senza odds. Un tavolo da craps tipicamente risolve una puntata pass line in circa due o tre tiri, ma il numero di tiri di come-out all’ora dipende dal numero di giocatori e dalla velocità del dealer. Una stima ragionevole per un tavolo pieno è 60 tiri di come-out all’ora. A 10 per puntata, l’importo totale puntato all’ora è 600. La perdita attesa è l’1,41% di 600, che è 8,46 all’ora.

Se lo stesso giocatore aggiunge 10 in odds dietro ogni point, la puntata totale per tiro di come-out è 10 più le odds, ma le odds vengono piazzate solo quando un point è stabilito. La probabilità di stabilire un point è 24/36 = 66,67%. Quindi la puntata media in odds per tiro di come-out è 10 * 0,6667 = 6,67. La puntata media totale per tiro di come-out è 16,67. A 60 tiri di come-out all’ora, il volume totale è 1000. La perdita attesa è l’1,41% di 10 (la puntata base) per tiro di come-out, che è 0,141 per tiro, moltiplicato per 60 = 8,46 all’ora. La porzione odds non aggiunge perdita attesa. Quindi la perdita oraria è la stessa 8,46, ma l’importo totale puntato è maggiore, quindi il vantaggio effettivo sul volume totale è 0,846%.

Se invece il giocatore punta 10 su any 7 a ogni tiro, e ci sono 100 tiri all’ora (inclusi i tiri non di come-out), la puntata totale è 1000. La perdita attesa è il 16,67% di 1000, che è 166,70 all’ora. Questo è il costo della puntata più rumorosa del tavolo.

Queste cifre dipendono dal numero di tiri di come-out all’ora e dal numero totale di tiri all’ora, che variano con le condizioni del tavolo. Presumono anche che il giocatore punti sempre lo stesso importo e non vari la dimensione della puntata.

Regole che cambiano le cifre

Il vantaggio sulla pass line dell’1,41% presuppone le regole del come-out come descritte e il pagamento alla pari. Il vantaggio sulla don’t pass dell’1,36% presuppone un bar di 12. Se il tavolo bar 2, il vantaggio è anch’esso 1,36%? In realtà, se il tavolo bar 2, la puntata don’t pass push su 2 invece che su 12, il che cambia leggermente il vantaggio. La differenza è piccola.

Il pagamento della puntata odds dipende dal point: 2:1 su 4 e 10, 3:2 su 5 e 9, 6:5 su 6 e 8. Queste sono probabilità reali e non cambiano.

I vantaggi delle puntate proposition dipendono dalla specifica tabella dei pagamenti. Alcuni casinò offrono pagamenti diversi per la horn bet, che è una combinazione di 2, 3, 11 e 12. Il vantaggio sulla horn bet è del 12,5% se i pagamenti sono 30:1 su 2 e 12, e 15:1 su 3 e 11, con la puntata divisa in quattro parti. Se i pagamenti sono diversi, il vantaggio cambia.

Tutte le cifre in questa pagina sono per un tavolo da craps standard con due dadi e le regole come enunciate. Non si applicano al crapless craps, che ha numeri di point diversi e vantaggi diversi.