Πιθανότητες στο κίνο: πλεονέκτημα καζίνο και κόστος ανά ώρα

Το Κίνο είναι ένα παιχνίδι τύπου λαχείου στο οποίο ο παίκτης επιλέγει από 1 έως 20 αριθμούς από μια δεξαμενή 80, και ο φορέας εκμετάλλευσης κληρώνει 20 αριθμούς τυχαία. Οι πληρωμές γίνονται ανάλογα με το πόσοι από τους επιλεγμένους αριθμούς του παίκτη ταιριάζουν με τους κληρωθέντες αριθμούς. Το πλεονέκτημα του καζίνο δεν είναι σταθερή ιδιότητα του παιχνιδιού· καθορίζεται εξ ολοκλήρου από τον πίνακα πληρωμών και τον αριθμό των σημείων που παίζονται. Στους συνήθεις πίνακες πληρωμών, το πλεονέκτημα κυμαίνεται από περίπου 20% έως 35%, καθιστώντας το κίνο ένα από τα πιο δαπανηρά παιχνίδια σε ένα καζίνο. Αυτή η σελίδα δείχνει πώς υπολογίζεται αυτό το εύρος από τον αριθμό των αποτελεσμάτων και τον πίνακα πληρωμών, και μετατρέπει το πλεονέκτημα σε χρήματα ανά ώρα με δεδομένο ποντάρισμα και ρυθμό γύρων.

Ο αριθμός των αποτελεσμάτων

Το πρώτο βήμα για την εξαγωγή του πλεονεκτήματος του καζίνο είναι η καταμέτρηση του συνολικού αριθμού πιθανών αποτελεσμάτων. Στο κίνο, 20 αριθμοί κληρώνονται από 80 χωρίς επανατοποθέτηση. Ο αριθμός των πιθανών συνδυασμών κλήρωσης είναι ο διωνυμικός συντελεστής C(80,20). Αυτός ισούται με 3.535.316.142.212.174.320. Για έναν παίκτη που έχει επιλέξει s σημεία, ο αριθμός των τρόπων να ταιριάξει ακριβώς k από αυτά τα σημεία είναι C(s,k) * C(80-s,20-k). Η πιθανότητα να ταιριάξει k σημεία είναι αυτό το γινόμενο διαιρεμένο με το C(80,20).

Αυτές οι πιθανότητες είναι το θεμέλιο κάθε πίνακα πληρωμών κίνο. Δεν αλλάζουν με τον φορέα εκμετάλλευσης, το μηχάνημα ή την ώρα της ημέρας. Είναι καθορισμένες από τους κανόνες της κλήρωσης.

Ένα παράδειγμα: ο πίνακας πληρωμών 8 σημείων

Εξετάστε έναν κοινό πίνακα πληρωμών κίνο 8 σημείων. Ο παίκτης επιλέγει 8 αριθμούς. Οι πληρωμές για την αντιστοίχιση k σημείων είναι συνήθως:

Για να βρείτε την αναμενόμενη απόδοση, υπολογίστε την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος και πολλαπλασιάστε με την πληρωμή. Οι πιθανότητες για ένα παιχνίδι 8 σημείων είναι:

Αυτές οι πιθανότητες αθροίζονται σε 1. Η αναμενόμενη απόδοση είναι το άθροισμα των (πιθανότητα * πληρωμή) για κάθε αποτέλεσμα. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω πληρωμές:

• 0 αντιστοιχίσεις: 0,0883 * 0 = 0
• 1 αντιστοίχιση: 0,2475 * 0 = 0
• 2 αντιστοιχίσεις: 0,3090 * 0 = 0
• 3 αντιστοιχίσεις: 0,2200 * 0 = 0
• 4 αντιστοιχίσεις: 0,1000 * 1 = 0,1000
• 5 αντιστοιχίσεις: 0,0285 * 5 = 0,1425
• 6 αντιστοιχίσεις: 0,0048 * 50 = 0,2400
• 7 αντιστοιχίσεις: 0,0004 * 500 = 0,2000
• 8 αντιστοιχίσεις: 0,00002 * 10.000 = 0,2000

Αθροίζοντας αυτά προκύπτει αναμενόμενη απόδοση 0,1000 + 0,1425 + 0,2400 + 0,2000 + 0,2000 = 0,8825. Άρα η αναμενόμενη απόδοση είναι 88,25%, και το πλεονέκτημα του καζίνο είναι 100% - 88,25% = 11,75%. Αυτό είναι χαμηλότερο από το εύρος 20-35% που συχνά αναφέρεται, επειδή αυτός ο συγκεκριμένος πίνακας πληρωμών είναι σχετικά γενναιόδωρος. Πολλοί πίνακες πληρωμών κίνο έχουν υψηλότερο πλεονέκτημα.

Γιατί το πλεονέκτημα ποικίλλει τόσο πολύ

Το πλεονέκτημα του καζίνο στο κίνο εξαρτάται από τον πίνακα πληρωμών, ο οποίος επιλέγεται από τον φορέα εκμετάλλευσης. Το ίδιο παιχνίδι με διαφορετικό σύνολο πληρωμών μπορεί να έχει δραστικά διαφορετικό πλεονέκτημα. Για παράδειγμα, αν ο παραπάνω πίνακας πληρωμών 8 σημείων άλλαζε ώστε 4 αντιστοιχίσεις να πληρώνουν 0, 5 αντιστοιχίσεις να πληρώνουν 2, 6 αντιστοιχίσεις να πληρώνουν 20, 7 αντιστοιχίσεις να πληρώνουν 100, και 8 αντιστοιχίσεις να πληρώνουν 2.000, η αναμενόμενη απόδοση θα ήταν:

• 4 αντιστοιχίσεις: 0,1000 * 0 = 0
• 5 αντιστοιχίσεις: 0,0285 * 2 = 0,0570
• 6 αντιστοιχίσεις: 0,0048 * 20 = 0,0960
• 7 αντιστοιχίσεις: 0,0004 * 100 = 0,0400
• 8 αντιστοιχίσεις: 0,00002 * 2.000 = 0,0400

Συνολική αναμενόμενη απόδοση = 0,0570 + 0,0960 + 0,0400 + 0,0400 = 0,2330, ή 23,30%. Το πλεονέκτημα του καζίνο είναι 76,70%. Αυτό δείχνει ότι δύο παιχνίδια κίνο στο ίδιο καζίνο μπορούν να διαφέρουν περισσότερο από δέκα ποσοστιαίες μονάδες στο πλεονέκτημα, απλώς λόγω του πίνακα πληρωμών.

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το πλεονέκτημα του καζίνο για διάφορα συνήθη μεγέθη σημείων και πίνακες πληρωμών. Το πλεονέκτημα εξαρτάται από τον αριθμό των σημείων και τις συγκεκριμένες πληρωμές. Τα στοιχεία προέρχονται από τις πιθανότητες αντιστοίχισης k σημείων, οι οποίες καθορίζονται από τη δεξαμενή των 80 αριθμών και την κλήρωση των 20 αριθμών.

Τα πλεονεκτήματα που εμφανίζονται είναι κατά προσέγγιση και εξαρτώνται από τον ακριβή πίνακα πληρωμών. Για μεγέθη σημείων 1 έως 7 και 10, οι πίνακες πληρωμών συχνά ρυθμίζονται ώστε να παράγουν πλεονέκτημα 25%. Τα παιχνίδια 8 και 9 σημείων μερικές φορές έχουν χαμηλότερα πλεονεκτήματα, αλλά αυτό δεν είναι εγγυημένο. Ο μόνος τρόπος να γνωρίζετε το πλεονέκτημα για ένα συγκεκριμένο παιχνίδι κίνο είναι να διαβάσετε τον πίνακα πληρωμών του και να εκτελέσετε τον υπολογισμό.

Μετατροπή του πλεονεκτήματος σε χρήματα ανά ώρα

Ένα ποσοστό του τζίρου δεν είναι ποσότητα που οι περισσότεροι άνθρωποι μπορούν να αισθανθούν. Για να γίνει το κόστος συγκεκριμένο, εξετάστε έναν παίκτη που παίζει 200 γύρους κίνο ανά ώρα με ποντάρισμα 1 ανά γύρο. Το συνολικό ποσό που ποντάρεται ανά ώρα είναι 200. Αν το πλεονέκτημα του καζίνο είναι 25%, η αναμενόμενη απώλεια ανά ώρα είναι 200 * 0,25 = 50. Αν το πλεονέκτημα είναι 35%, η αναμενόμενη απώλεια είναι 200 * 0,35 = 70. Αν το πλεονέκτημα είναι 11,75%, η αναμενόμενη απώλεια είναι 200 * 0,1175 = 23,50.

Με ποντάρισμα 0,50 ανά γύρο και 200 γύρους ανά ώρα, το συνολικό ποντάρισμα είναι 100. Η αναμενόμενη απώλεια με πλεονέκτημα 25% είναι 25 ανά ώρα. Με πλεονέκτημα 35%, είναι 35 ανά ώρα.

Ο ρυθμός γύρων έχει σημασία. Ένας παίκτης που παίζει 400 γύρους ανά ώρα με 1 ανά γύρο ποντάρει 400 ανά ώρα. Με πλεονέκτημα 25%, η αναμενόμενη απώλεια είναι 100 ανά ώρα. Το κόστος κλιμακώνεται γραμμικά με τον αριθμό των γύρων και το ποντάρισμα.

Αυτός είναι ο λόγος που το κίνο συχνά περιγράφεται ως ένα από τα χειρότερα στοιχήματα στο καζίνο. Ένας παίκτης που περνά μια ώρα σε ένα τραπέζι μπλάκτζακ με πλεονέκτημα 0,5% και ποντάρισμα 100 ανά ώρα μπορεί να περιμένει να χάσει 0,50 ανά ώρα. Ο ίδιος παίκτης σε ένα μηχάνημα κίνο με πλεονέκτημα 25% και ποντάρισμα 200 ανά ώρα αναμένει να χάσει 50 ανά ώρα. Η διαφορά είναι δύο τάξεις μεγέθους.

Τι λανθασμένα πιστεύουν οι άνθρωποι για τις πιθανότητες κίνο

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να υποθέτουν ότι το πλεονέκτημα του καζίνο είναι το ίδιο για όλα τα παιχνίδια κίνο. Δεν είναι. Το πλεονέκτημα είναι συνάρτηση του πίνακα πληρωμών, και οι πίνακες πληρωμών ποικίλλουν ευρέως. Δύο παιχνίδια κίνο στο ίδιο καζίνο, ακόμη και σε διπλανά μηχανήματα, μπορούν να έχουν πλεονεκτήματα που διαφέρουν κατά δέκα ποσοστιαίες μονάδες ή περισσότερο. Ένας παίκτης που υποθέτει πλεονέκτημα 25% όταν το πραγματικό πλεονέκτημα είναι 35% θα υποεκτιμήσει το κόστος κατά 40%.

Ένα άλλο λάθος είναι να πιστεύουν ότι ορισμένοι αριθμοί είναι πιο πιθανό να κληρωθούν επειδή δεν έχουν εμφανιστεί πρόσφατα. Αυτή είναι η πλάνη του τζογαδόρου. Κάθε κλήρωση είναι ανεξάρτητη. Η πιθανότητα να κληρωθεί οποιοσδήποτε συγκεκριμένος αριθμός είναι 20/80 = 0,25, ανεξάρτητα από το τι συνέβη σε προηγούμενες κληρώσεις. Το μηχάνημα δεν έχει μνήμη. Δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα όπως ένας αριθμός που «οφείλει» να βγει στο κίνο.

Ένα τρίτο λάθος είναι να πιστεύουν ότι το να παίζουν περισσότερους αριθμούς βελτιώνει τις πιθανότητες. Το να παίζετε περισσότερα σημεία αλλάζει τη διακύμανση και τον πίνακα πληρωμών, αλλά δεν αλλάζει το θεμελιώδες πλεονέκτημα του καζίνο εκτός αν ο πίνακας πληρωμών είναι διαφορετικός. Στην πραγματικότητα, ορισμένα μεγέθη σημείων έχουν υψηλότερα πλεονεκτήματα από άλλα. Το πλεονέκτημα καθορίζεται από τον πίνακα πληρωμών, όχι από τον αριθμό των σημείων καθαυτό.

Αυτά τα λάθη είναι φυσικά επειδή το κίνο παρουσιάζεται ως λαχείο, και τα λαχεία συχνά προκαλούν μια αίσθηση μοτίβου και τύχης. Ο ανθρώπινος νους αναζητά μοτίβα σε τυχαία γεγονότα. Αλλά τα μαθηματικά του κίνο είναι σταθερά και μπορούν να υπολογιστούν με ακρίβεια. Το μόνο άγνωστο είναι ο πίνακας πληρωμών, ο οποίος είναι τυπωμένος στο μηχάνημα ή διαθέσιμος στην οθόνη βοήθειας του παιχνιδιού.

Ο ρόλος του δωρεάν κίνο και του διαδικτυακού κίνο

Τα δωρεάν παιχνίδια κίνο, που συχνά είναι διαθέσιμα online, χρησιμοποιούν την ίδια μηχανική κλήρωσης αλλά δεν περιλαμβάνουν πραγματικά χρήματα. Είναι χρήσιμα για την κατανόηση της ροής του παιχνιδιού και των πιθανοτήτων διαφόρων αποτελεσμάτων, αλλά δεν αλλάζουν το πλεονέκτημα του καζίνο. Όταν περιλαμβάνονται πραγματικά χρήματα, το πλεονέκτημα καθορίζεται από τον πίνακα πληρωμών του συγκεκριμένου παιχνιδιού.

Τα διαδικτυακά παιχνίδια κίνο μπορεί να έχουν διαφορετικούς πίνακες πληρωμών από τα μηχανήματα ξηράς. Μερικά διαδικτυακά καζίνο προσφέρουν κίνο με πλεονεκτήματα τόσο χαμηλά όσο 5% ή τόσο υψηλά όσο 35%. Ο ίδιος κανόνας ισχύει: διαβάστε τον πίνακα πληρωμών και υπολογίστε την αναμενόμενη απόδοση. Ο αριθμός των αποτελεσμάτων βασίζεται πάντα σε 80 αριθμούς και κλήρωση 20 αριθμών, οπότε οι πιθανότητες είναι οι ίδιες. Μόνο οι πληρωμές αλλάζουν.

Το Super keno είναι μια παραλλαγή που μερικές φορές προσφέρει διαφορετικό πίνακα πληρωμών ή πρόσθετα χαρακτηριστικά, όπως έναν πολλαπλασιαστή. Αυτά τα χαρακτηριστικά μπορούν να αλλάξουν το πλεονέκτημα, αλλά δεν αλλάζουν τις υποκείμενες πιθανότητες. Το πλεονέκτημα εξακολουθεί να προέρχεται από τον πίνακα πληρωμών και τον αριθμό των αποτελεσμάτων.

Πώς να υπολογίσετε το πλεονέκτημα για οποιονδήποτε πίνακα πληρωμών κίνο

Η μέθοδος είναι η ίδια για οποιονδήποτε πίνακα πληρωμών. Για έναν δεδομένο αριθμό σημείων s, καταγράψτε τις πληρωμές για κάθε πιθανό αριθμό αντιστοιχίσεων k (από 0 έως s). Για κάθε k, υπολογίστε την πιθανότητα P(k) = C(s,k) * C(80-s,20-k) / C(80,20). Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το P(k) με την πληρωμή για k και αθροίστε αυτά τα γινόμενα. Το αποτέλεσμα είναι η αναμενόμενη απόδοση. Το πλεονέκτημα του καζίνο είναι 1 μείον την αναμενόμενη απόδοση.

Αυτός ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με ένα υπολογιστικό φύλλο ή μια αριθμομηχανή. Οι διωνυμικοί συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!). Για μεγάλους αριθμούς, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή που χειρίζεται μεγάλους ακέραιους ή χρησιμοποιήστε λογάριθμους.

Για παράδειγμα, για s=8, η πιθανότητα αντιστοίχισης 4 είναι C(8,4)*C(72,16)/C(80,20). C(8,4)=70. Το C(72,16) είναι ένας μεγάλος αριθμός, αλλά ο λόγος μπορεί να υπολογιστεί. Το αποτέλεσμα είναι περίπου 0,1000. Η πιθανότητα αντιστοίχισης 8 είναι C(8,8)*C(72,12)/C(80,20) = 1 * C(72,12)/C(80,20) ≈ 0,00002.

Μόλις οι πιθανότητες είναι γνωστές, η αναμενόμενη απόδοση είναι απλή. Η μόνη μεταβλητή είναι ο πίνακας πληρωμών.

Σύνοψη του κόστους

Το κίνο είναι ένα παιχνίδι με υψηλό πλεονέκτημα καζίνο, συνήθως μεταξύ 20% και 35%. Το πλεονέκτημα καθορίζεται από τον πίνακα πληρωμών, ο οποίος ποικίλλει ανάλογα με τον φορέα εκμετάλλευσης και το μέγεθος των σημείων. Με ποντάρισμα 1 ανά γύρο και 200 γύρους ανά ώρα, η αναμενόμενη απώλεια κυμαίνεται από περίπου 23,50 έως 70 ανά ώρα, ανάλογα με το πλεονέκτημα. Με ποντάρισμα 0,50 ανά γύρο, η απώλεια κυμαίνεται από περίπου 11,75 έως 35 ανά ώρα. Αυτά τα στοιχεία είναι αναμενόμενες τιμές· τα πραγματικά αποτελέσματα θα ποικίλλουν. Το πλεονέκτημα δεν επηρεάζεται από προηγούμενα αποτελέσματα, από τον αριθμό των σημείων που παίζονται, ή από το αν το παιχνίδι είναι δωρεάν ή με χρήματα. Είναι μια σταθερή ιδιότητα του πίνακα πληρωμών και της κλήρωσης.