Craps-kansen en huisvoordeel: elke inzet op tafel

Een craps-tafel biedt de breedste spreiding aan huisvoordelen in een casino, van 1,36% op de don’t pass line tot meer dan 16% op sommige proposition bets in het midden van de tafel. Dezelfde worp met de dobbelstenen beslecht ze allemaal, dus het verschil zit niet in het spel maar in de uitbetalingstabel en het aantal uitkomsten dat elke inzet dekt. Deze pagina leidt elk cijfer af uit die twee dingen, vermeldt de regels waarvan elk cijfer afhangt, en zet de voordelen om in geld per uur bij een vastgestelde inzet en worpsnelheid.

De tafel en de dobbelstenen

Een craps-tafel is een vilten lay-out met een gemarkeerd come-gebied, een don’t come-gebied, een pass line, een don’t pass line, en een middenstuk met proposition bets. Er worden twee zeszijdige dobbelstenen gebruikt. De 36 even waarschijnlijke uitkomsten vormen de basis van elke berekening die volgt. De verdeling van de totalen is:

Deze kansen liggen vast door de dobbelstenen. Geen enkel verleden resultaat verandert ze. De dobbelstenen hebben geen geheugen, en een tafel die twintig minuten geen 7 heeft gezien, heeft net zoveel kans om er een te produceren bij de volgende worp als een tafel die er net drie op een rij heeft geproduceerd.

De come-out worp en het point

De pass line-inzet wordt in twee fasen beslecht. De eerste worp is de come-out. Als de come-out 7 of 11 is, wint de pass line tegen 1 op 1. Als het 2, 3 of 12 is, verliest hij. Elk ander totaal wordt het point. De dealer plaatst een puck op dat nummer. De shooter gooit dan totdat het point opnieuw verschijnt, in welk geval de pass line tegen 1 op 1 wint, of er een 7 verschijnt, in welk geval hij verliest.

De don’t pass-inzet is het omgekeerde: hij wint bij een come-out van 2 of 3, duwt bij 12, verliest bij 7 of 11, en wint tegen 1 op 1 als er een 7 verschijnt voordat het point opnieuw verschijnt.

Het afleiden van het pass line-voordeel

Het pass line-voordeel is niet een enkele kans maar een gewogen gemiddelde over de mogelijke points. De berekening verloopt in drie stappen.

Stap 1: Come-out uitkomsten. Bij de come-out wint 7 of 11, verliest 2, 3 of 12, en elk ander totaal stelt een point vast. De kans om te winnen bij de come-out is (6+2)/36 = 8/36. De kans om te verliezen is (1+2+1)/36 = 4/36. De resterende 24/36 stelt een point vast.

Stap 2: Point-afhandeling. Voor elk point is de kans om het point te herhalen voordat een 7 verschijnt het aantal manieren om het point te maken gedeeld door de som van de manieren om het point te maken en de manieren om een 7 te maken. De manieren om een 7 te maken zijn altijd 6.

Stap 3: Combineren. De kans om elk point vast te stellen is het aantal manieren om dat totaal te maken gedeeld door 36. De algehele kans om te winnen nadat een point is vastgesteld, is de som over points van P(point) maal P(point voor 7).

• Point 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Point 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Omgezet naar decimalen en opgeteld: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Dus de kans om te winnen nadat een point is vastgesteld, is ongeveer 0,2707.

De totale kans om de pass line te winnen is de come-out winst plus de point winst: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. De kans om te verliezen is 1 - 0,4929 = 0,5071. Het huisvoordeel is het verschil tussen de kans om te verliezen en te winnen, aangezien de uitbetaling 1 op 1 is: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, of 1,42%. Het algemeen aangehaalde cijfer is 1,41%, wat voortkomt uit het meenemen van meer decimalen in de berekening. De exacte breuk is 7/495, wat 0,0141414… = 1,41% is.

Dit cijfer hangt af van de pass line die 1 op 1 uitbetaalt en van de come-out regels zoals vermeld. Als een casino 3-4-5x odds biedt, blijft het pass line-voordeel zelf onveranderd; de odds-inzet is een aparte weddenschap zonder voordeel.

Het afleiden van het don’t pass-voordeel

De don’t pass-inzet wint bij een come-out van 2 of 3, duwt bij 12, en verliest bij 7 of 11. Als er een point wordt vastgesteld, wint hij als er een 7 verschijnt voordat het point opnieuw verschijnt.

De kans om te winnen bij de come-out is (1+2)/36 = 3/36. De kans om te verliezen is (6+2)/36 = 8/36. De kans op een push is 1/36. De resterende 24/36 stelt een point vast. Voor elk point is de kans op een 7 voor het point 1 minus de kans op het point voor een 7. Dus voor point 4 is P(7 voor 4) = 6/9 = 0,6667, enzovoort.

De algehele kans om te winnen nadat een point is vastgesteld, is de som over points van P(point) * P(7 voor point).

• Point 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Point 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Som: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Totale kans om te winnen: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Kans om te verliezen: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Wacht, dat klopt niet. De kans om te verliezen nadat een point is vastgesteld, is de kans dat het point opnieuw verschijnt voor een 7, wat 0,2707 is. Dus de totale verlieskans is 8/36 + 0,2707 = 0,4929. De push-kans is 1/36 = 0,02778. Controle: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Goed.

Het huisvoordeel op don’t pass is het verschil tussen de verlies- en winkansen, gecorrigeerd voor de push: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, of 1,40%. Het algemeen aangehaalde cijfer is 1,36%, wat voortkomt uit een preciezere berekening. De exacte breuk is 3/220 = 0,013636… = 1,36%. De discrepantie ontstaat omdat de push buiten de noemer wordt gelaten. Het juiste voordeel is 1,36%.

Dit cijfer hangt af van de don’t pass bar die 12 is. Sommige tafels bareren 2 in plaats daarvan, wat het voordeel enigszins verandert.

Gratis odds: de enige inzet zonder voordeel

Nadat een point is vastgesteld, mag een pass line-speler een extra inzet achter de lijn plaatsen, odds genaamd. Deze inzet wordt uitbetaald tegen ware odds: 2:1 op points 4 of 10, 3:2 op 5 of 9, en 6:5 op 6 of 8. Omdat de uitbetaling overeenkomt met de werkelijke kans, is de verwachtingswaarde van de odds-inzet nul. Het huis heeft er geen voordeel op.

De odds-inzet verandert het huisvoordeel op de pass line zelf niet. Het verwatert het algehele voordeel omdat een groter deel van het totale inzetbedrag op een inzet zonder voordeel staat. Bijvoorbeeld, als een speler 10 op de pass line inzet en 10 aan odds, is de totale inzet 20. Het verwachte verlies is 1,41% van 10, wat 0,141 is. Het algehele voordeel is 0,141/20 = 0,705%. Met 100 aan odds is het algehele voordeel 0,141/110 = 0,128%. Het pass line-voordeel blijft 1,41% op de flat bet.

Dit is de enige inzet in een casino zonder huisvoordeel. Het hangt af van het casino dat odds toestaat en van het maximale odds-veelvoud, dat doorgaans 3-4-5x is, wat betekent 3x op 4 en 10, 4x op 5 en 9, en 5x op 6 en 8.

Proposition bets: de luidste en de slechtste

Het midden van de tafel biedt inzetten op specifieke uitkomsten: any 7, any craps, de hardways, en de individuele totalen. Deze hebben hoge uitbetalingen en hoge huisvoordelen.

Het huisvoordeel voor any 7: de kans om te winnen is 6/36 = 0,1667. De uitbetaling is 4:1, dus een inzet van 1 levert 5 op bij winst (4 winst plus inzet). De verwachtingswaarde is (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, of 16,67%.

Voor any craps: kans om te winnen is 4/36 = 0,1111. Uitbetaling 7:1. Verwachte waarde: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, of 11,11%.

Voor hard 8: kans om te winnen is 2/36 = 0,0556. Uitbetaling 9:1. Verwachte waarde: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, of 44,44%? Dat klopt niet. Wacht, hard 8 wint als de dobbelstenen 4-4 tonen voordat een andere combinatie die 8 maakt of een 7 verschijnt. De kans om te winnen is niet simpelweg 2/36. De juiste kans voor hard 8 is 2/36? Nee, de hardway-inzet wordt beslecht over meerdere worpen. De kans om een hard 8 te gooien voordat een easy 8 of een 7 verschijnt, is 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. De uitbetaling is 9:1, dus verwachte waarde: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Dat zou positief zijn, wat onmogelijk is. Laten we opnieuw berekenen: de hardway-inzet wint als de shooter een 4-4 gooit voordat een 7 of een andere combinatie die 8 maakt (dat zijn 2-6, 3-5, 5-3, 6-2) verschijnt. De manieren om een hard 8 te gooien zijn 1 (4-4). De manieren om een easy 8 te gooien zijn 4. De manieren om een 7 te gooien zijn 6. Dus de kans om te winnen is 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. De uitbetaling is 9:1, dus verwachte waarde: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, of 9,09%. Dat komt overeen met de tabel.

Voor hard 4 of 10: manieren om hard 4 te gooien is 1 (2-2). Manieren om easy 4 te gooien is 2 (1-3, 3-1). Manieren om 7 te gooien is 6. Kans om te winnen: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Uitbetaling 7:1. Verwachte waarde: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11%.

Deze voordelen hangen af van de specifieke uitbetalingstabel en de regels voor elke inzet. Ze liggen vast door de dobbelstenen en de uitbetalingen.

Wat mensen verkeerd doen

De meest voorkomende fout is de dobbelstenen behandelen alsof ze een geheugen hebben. Een shooter die zes points op een rij heeft gegooid, heeft niet meer kans om de volgende worp zeven te gooien. De kans op een 7 bij elke worp is altijd 6/36 = 16,67%. De fout is natuurlijk omdat in het dagelijks leven reeksen vaak wel een verandering in onderliggende omstandigheden aangeven: een basketbalspeler die tien schoten op een rij heeft gemaakt, verkeert misschien in een staat van verhoogde concentratie. Maar dobbelstenen hebben geen staat. De fysieke dobbelstenen zijn identiek bij elke worp, en de uitkomst is onafhankelijk.

Een andere fout is geloven dat de odds-inzet het huisvoordeel op de pass line verlaagt. Dat doet het niet. Het is een aparte weddenschap zonder voordeel. De pass line-inzet draagt nog steeds een voordeel van 1,41%. Het algehele voordeel op het gecombineerde bedrag is lager, maar het voordeel op de flat bet is onveranderd.

Een derde fout is denken dat proposition bets ‘due’ zijn. Een inzet op any 7 wordt niet waarschijnlijker na een lange reeks zonder 7. De kans is altijd 6/36.

Geld per uur

Het huisvoordeel is een percentage van de omzet, wat geen hoeveelheid is die de meeste mensen kunnen voelen. Om het concreet te maken, beschouw een speler die 10 op de pass line inzet bij elke come-out worp, zonder odds. Een craps-tafel beslecht een pass line-inzet doorgaans in ongeveer twee tot drie worpen, maar het aantal come-out worpen per uur hangt af van het aantal spelers en de snelheid van de dealer. Een redelijke schatting voor een volle tafel is 60 come-out worpen per uur. Bij 10 per inzet is het totale inzetbedrag per uur 600. Het verwachte verlies is 1,41% van 600, wat 8,46 per uur is.

Als dezelfde speler 10 aan odds achter elk point toevoegt, is de totale inzet per come-out worp 10 plus de odds, maar de odds worden alleen geplaatst als er een point wordt vastgesteld. De kans om een point vast te stellen is 24/36 = 66,67%. Dus de gemiddelde odds-inzet per come-out worp is 10 * 0,6667 = 6,67. De totale gemiddelde inzet per come-out worp is 16,67. Bij 60 come-out worpen per uur is de totale omzet 1000. Het verwachte verlies is 1,41% van 10 (de flat bet) per come-out worp, wat 0,141 per worp is, maal 60 = 8,46 per uur. Het odds-deel voegt geen verwacht verlies toe. Dus het verlies per uur is hetzelfde 8,46, maar het totale inzetbedrag is hoger, dus het effectieve voordeel op de totale omzet is 0,846%.

Als de speler in plaats daarvan 10 op any 7 inzet bij elke worp, en er zijn 100 worpen per uur (inclusief niet-come-out worpen), is de totale inzet 1000. Het verwachte verlies is 16,67% van 1000, wat 166,70 per uur is. Dat is de kosten van de luidste inzet op tafel.

Deze cijfers hangen af van het aantal come-out worpen per uur en het aantal totale worpen per uur, die variëren met de tafelomstandigheden. Ze gaan er ook van uit dat de speler altijd hetzelfde bedrag inzet en de inzetgrootte niet varieert.

Regels die de cijfers veranderen

Het pass line-voordeel van 1,41% veronderstelt de come-out regels zoals beschreven en een uitbetaling van 1 op 1. Het don’t pass-voordeel van 1,36% veronderstelt een bar van 12. Als de tafel 2 barert, is het voordeel ook 1,36%? Eigenlijk, als de tafel 2 barert, duwt de don’t pass-inzet bij 2 in plaats van 12, wat het voordeel enigszins verandert. Het verschil is klein.

De odds-uitbetaling hangt af van het point: 2:1 op 4 en 10, 3:2 op 5 en 9, 6:5 op 6 en 8. Dit zijn ware odds en veranderen niet.

De proposition bet-voordelen hangen af van de specifieke uitbetalingstabel. Sommige casino’s bieden verschillende uitbetalingen voor de horn bet, een combinatie van 2, 3, 11 en 12. Het voordeel op de horn bet is 12,5% als de uitbetalingen 30:1 zijn op 2 en 12, en 15:1 op 3 en 11, met de inzet in vieren gedeeld. Als de uitbetalingen anders zijn, verandert het voordeel.

Alle cijfers op deze pagina zijn voor een standaard craps-tafel met twee dobbelstenen en de regels zoals vermeld. Ze zijn niet van toepassing op crapless craps, dat andere point-nummers en andere voordelen heeft.