Craps Odds og Husfordel: Hvert Bet på Bordet

Et craps-bord tilbyder den bredeste vifte af husfordele i et casino, fra 1,36% på don’t pass-linjen til mere end 16% på nogle proposition bets midt på bordet. Det samme terningekast afgør dem alle, så forskellen ligger ikke i spillet, men i udbetalingstabellen og antallet af udfald, hvert bet dækker. Denne side udleder hvert tal fra disse to ting, angiver de regler, hvert tal afhænger af, og omregner fordelene til penge per time ved en angivet indsats og roll-rate.

Bordet og terningerne

Et craps-bord er et filtlayout med et markeret come-område, et don’t come-område, en pass line, en don’t pass line og en midtersektion med proposition bets. Der bruges to sekssidede terninger. De 36 lige sandsynlige udfald er fundamentet for enhver beregning, der følger. Fordelingen af totaler er:

Disse sandsynligheder er fastsat af terningerne. Intet tidligere resultat ændrer dem. Terningerne har ingen hukommelse, og et bord, der ikke har set en 7’er i tyve minutter, er ikke mere tilbøjeligt til at producere en på næste kast end et bord, der netop har produceret tre i træk.

Come-out-kastet og pointen

Pass line-bettet afgøres i to faser. Det første kast er come-out. Hvis come-out er 7 eller 11, vinder pass line even money. Hvis det er 2, 3 eller 12, taber den. Enhver anden total bliver pointen. Dealeren placerer en puck på det nummer. Shooter’en kaster derefter, indtil enten pointen gentages, i hvilket tilfælde pass line vinder even money, eller en 7’er viser sig, i hvilket tilfælde den taber.

Don’t pass-bettet er det modsatte: det vinder på en come-out på 2 eller 3, skubber på 12, taber på 7 eller 11, og vinder even money, hvis en 7’er viser sig, før pointen gentages.

Udledning af pass line-fordelen

Pass line-fordelen er ikke en enkelt sandsynlighed, men et vægtet gennemsnit over de mulige point. Beregningen fortsætter i tre trin.

Trin 1: Come-out-udfald. På come-out vinder 7 eller 11, 2, 3 eller 12 taber, og enhver anden total etablerer en point. Sandsynligheden for at vinde på come-out er (6+2)/36 = 8/36. Sandsynligheden for at tabe er (1+2+1)/36 = 4/36. De resterende 24/36 etablerer en point.

Trin 2: Point-afgørelse. For hver point er sandsynligheden for at gentage pointen før en 7’er antallet af måder at lave pointen på divideret med summen af måder at lave pointen på og måder at lave en 7’er på. Måderne at lave en 7’er på er altid 6.

Trin 3: Kombiner. Sandsynligheden for at etablere hver point er antallet af måder at lave den total på divideret med 36. Den samlede sandsynlighed for at vinde, efter en point er etableret, er summen over point af P(point) gange P(point før 7).

• Point 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Point 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Point 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Point 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Omregnet til decimaler og summeret: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Så sandsynligheden for at vinde, efter en point er etableret, er omkring 0,2707.

Den samlede sandsynlighed for at vinde pass line er come-out-gevinsten plus point-gevinsten: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Sandsynligheden for at tabe er 1 - 0,4929 = 0,5071. Husfordelen er forskellen mellem sandsynligheden for at tabe og vinde, da udbetalingen er even money: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, eller 1,42%. Det almindeligt citerede tal er 1,41%, hvilket kommer fra at bære flere decimaler gennem beregningen. Den eksakte brøk er 7/495, hvilket er 0,0141414… = 1,41%.

Dette tal afhænger af, at pass line betaler even money, og af come-out-reglerne som angivet. Hvis et casino tilbyder 3-4-5x odds, er pass line-fordelen selv uændret; odds-bettet er et separat væddemål uden fordel.

Udledning af don’t pass-fordelen

Don’t pass-bettet vinder på en come-out på 2 eller 3, skubber på 12 og taber på 7 eller 11. Hvis en point etableres, vinder det, hvis en 7’er viser sig, før pointen gentages.

Sandsynligheden for at vinde på come-out er (1+2)/36 = 3/36. Sandsynligheden for at tabe er (6+2)/36 = 8/36. Sandsynligheden for et skub er 1/36. De resterende 24/36 etablerer en point. For hver point er sandsynligheden for en 7’er før pointen 1 minus sandsynligheden for pointen før en 7’er. Så for point 4, P(7 før 4) = 6/9 = 0,6667, og så videre.

Den samlede sandsynlighed for at vinde, efter en point er etableret, er summen over point af P(point) * P(7 før point).

• Point 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Point 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Point 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Point 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Sum: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Samlet sandsynlighed for at vinde: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Sandsynlighed for at tabe: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Vent, det er ikke rigtigt. Sandsynligheden for at tabe, efter en point er etableret, er sandsynligheden for, at pointen gentages før en 7’er, hvilket er 0,2707. Så den samlede tabssandsynlighed er 8/36 + 0,2707 = 0,4929. Skub-sandsynligheden er 1/36 = 0,02778. Tjek: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Godt.

Husfordelen på don’t pass er forskellen mellem tab- og gevinstsandsynligheder, justeret for skubbet: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, eller 1,40%. Det almindeligt citerede tal er 1,36%, hvilket kommer fra en mere præcis beregning. Den eksakte brøk er 3/220 = 0,013636… = 1,36%. Uoverensstemmelsen opstår, fordi skubbet udelades fra nævneren. Den korrekte fordel er 1,36%.

Dette tal afhænger af, at don’t pass bar er 12. Nogle borde barrer 2 i stedet, hvilket ændrer fordelen en smule.

Free odds: det eneste bet uden fordel

Efter en point er etableret, kan en pass line-spiller placere et ekstra væddemål bag linjen, kaldet odds. Dette bet udbetales til true odds: 2:1 på point 4 eller 10, 3:2 på 5 eller 9, og 6:5 på 6 eller 8. Fordi udbetalingen matcher den sande sandsynlighed, er den forventede værdi af odds-bettet nul. Huset har ingen fordel på det.

Odds-bettet ændrer ikke husfordelen på pass line selv. Det fortynder den samlede fordel, fordi en større brøkdel af det samlede beløb, der satses, er på et bet uden fordel. For eksempel, hvis en spiller satser 10 på pass line og 10 i odds, er det samlede væddemål 20. Det forventede tab er 1,41% af 10, hvilket er 0,141. Den samlede fordel er 0,141/20 = 0,705%. Med 100 i odds er den samlede fordel 0,141/110 = 0,128%. Pass line-fordelen forbliver 1,41% på det flade bet.

Dette er det eneste bet i et casino, der ikke bærer nogen husfordel. Det afhænger af, at casinoet tillader odds, og af den maksimale odds-multipel, som typisk er 3-4-5x, hvilket betyder 3x på 4 og 10, 4x på 5 og 9, og 5x på 6 og 8.

Proposition bets: de højeste og de værste

Midten af bordet tilbyder bets på specifikke udfald: any 7, any craps, hardways og de individuelle totaler. Disse har høje udbetalinger og høje husfordele.

Husfordelen for any 7: sandsynligheden for at vinde er 6/36 = 0,1667. Udbetalingen er 4:1, så et 1-bet returnerer 5 ved en gevinst (4 profit plus indsats). Den forventede værdi er (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, eller 16,67%.

For any craps: sandsynligheden for at vinde er 4/36 = 0,1111. Udbetaling 7:1. Forventet værdi: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, eller 11,11%.

For hard 8: sandsynligheden for at vinde er 2/36 = 0,0556. Udbetaling 9:1. Forventet værdi: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, eller 44,44%? Det er ikke rigtigt. Vent, hard 8 vinder, hvis terningerne viser 4-4 før nogen anden kombination, der giver 8 eller en 7’er. Sandsynligheden for at vinde er ikke blot 2/36. Den korrekte sandsynlighed for hard 8 er 2/36? Nej, hardway-bettet afgøres over flere kast. Sandsynligheden for at slå en hard 8 før en easy 8 eller en 7’er er 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Udbetalingen er 9:1, så forventet værdi: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Det ville være positivt, hvilket er umuligt. Lad os genberegne: hardway-bettet vinder, hvis shooter’en slår en 4-4 før en 7’er eller enhver anden kombination, der giver 8 (som er 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). Måderne at slå en hard 8 er 1 (4-4). Måderne at slå en easy 8 er 4. Måderne at slå en 7’er er 6. Så sandsynligheden for at vinde er 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Udbetalingen er 9:1, så forventet værdi: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, eller 9,09%. Det matcher tabellen.

For hard 4 eller 10: måder at slå hard 4 er 1 (2-2). Måder at slå easy 4 er 2 (1-3, 3-1). Måder at slå 7 er 6. Sandsynlighed for at vinde: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Udbetaling 7:1. Forventet værdi: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11%.

Disse fordele afhænger af den specifikke udbetalingstabel og reglerne for hvert bet. De er fastsat af terningerne og udbetalingerne.

Hvad folk tager fejl af

Den mest almindelige fejl er at behandle terningerne, som om de har en hukommelse. En shooter, der har slået seks point i træk, er ikke mere tilbøjelig til at syv-out på næste kast. Sandsynligheden for en 7’er på ethvert kast er altid 6/36 = 16,67%. Fejlen er naturlig, fordi streaks i hverdagen ofte indikerer en ændring i underliggende forhold: en basketballspiller, der har lavet ti skud i træk, kan være i en tilstand af øget fokus. Men terninger har ingen tilstand. De fysiske terninger er identiske ved hvert kast, og udfaldet er uafhængigt.

En anden fejl er at tro, at odds-bettet reducerer husfordelen på pass line. Det gør det ikke. Det er et separat væddemål med nul fordel. Pass line-bettet bærer stadig en fordel på 1,41%. Den samlede fordel på det kombinerede beløb er lavere, men fordelen på det flade bet er uændret.

En tredje fejl er at tro, at proposition bets er “due”. Et bet på any 7 bliver ikke mere sandsynligt efter en lang sekvens uden en 7’er. Sandsynligheden er altid 6/36.

Penge per time

Husfordelen er en procentdel af omsætningen, hvilket ikke er en størrelse, de fleste kan mærke. For at gøre det konkret, overvej en spiller, der satser 10 på pass line ved hvert come-out-kast, uden odds. Et craps-bord afgør typisk et pass line-bet på omkring to til tre kast, men antallet af come-out-kast i timen afhænger af antallet af spillere og dealerens hastighed. Et rimeligt skøn for et fuldt bord er 60 come-out-kast i timen. Ved 10 per bet er det samlede beløb, der satses per time, 600. Det forventede tab er 1,41% af 600, hvilket er 8,46 per time.

Hvis den samme spiller tilføjer 10 i odds bag hver point, er det samlede væddemål per come-out-kast 10 plus oddsene, men oddsene placeres kun, når en point etableres. Sandsynligheden for at etablere en point er 24/36 = 66,67%. Så det gennemsnitlige odds-væddemål per come-out-kast er 10 * 0,6667 = 6,67. Det samlede gennemsnitlige væddemål per come-out-kast er 16,67. Ved 60 come-out-kast i timen er den samlede omsætning 1000. Det forventede tab er 1,41% af 10 (det flade bet) per come-out-kast, hvilket er 0,141 per kast, gange 60 = 8,46 per time. Odds-delen tilføjer intet forventet tab. Så det timelige tab er det samme 8,46, men det samlede beløb, der satses, er højere, så den effektive fordel på den samlede omsætning er 0,846%.

Hvis spilleren i stedet satser 10 på any 7 hvert kast, og der er 100 kast i timen (inklusive ikke-come-out-kast), er det samlede væddemål 1000. Det forventede tab er 16,67% af 1000, hvilket er 166,70 per time. Det er omkostningen ved det højeste bet på bordet.

Disse tal afhænger af antallet af come-out-kast i timen og antallet af samlede kast i timen, som varierer med bordforholdene. De antager også, at spilleren altid satser det samme beløb og ikke varierer indsatsstørrelsen.

Regler, der ændrer tallene

Pass line-fordelen på 1,41% antager come-out-reglerne som beskrevet og even-money udbetaling. Don’t pass-fordelen på 1,36% antager en bar på 12. Hvis bordet barrer 2, er fordelen også 1,36%? Faktisk, hvis bordet barrer 2, skubber don’t pass-bettet på 2 i stedet for 12, hvilket ændrer fordelen en smule. Forskellen er lille.

Odds-bettets udbetaling afhænger af pointen: 2:1 på 4 og 10, 3:2 på 5 og 9, 6:5 på 6 og 8. Disse er true odds og ændrer sig ikke.

Proposition bets fordele afhænger af den specifikke udbetalingstabel. Nogle casinoer tilbyder forskellige udbetalinger for horn bet, som er en kombination af 2, 3, 11 og 12. Fordelen på horn bet er 12,5%, hvis udbetalingerne er 30:1 på 2 og 12, og 15:1 på 3 og 11, med bettet delt fire veje. Hvis udbetalingerne er anderledes, ændres fordelen.

Alle tal på denne side er for et standard craps-bord med to terninger og reglerne som angivet. De gælder ikke for crapless craps, som har forskellige pointnumre og forskellige fordele.