Craps oranları ve ev avantajı: masadaki her bahis

Bir craps masası, kumarhanedeki en geniş ev avantajı aralığını sunar: don’t pass line’da %1,36’dan bazı orta masa önerilerinde %16’nın üzerine kadar. Aynı zar atışı hepsini sonuçlandırır, bu nedenle fark oyunda değil, ödeme tablosunda ve her bahsin kapsadığı sonuç sayısındadır. Bu sayfa her bir rakamı bu iki şeyden türetir, her rakamın bağlı olduğu kuralları belirtir ve avantajları belirtilen bahis ve atış hızında saat başına paraya dönüştürür.

Masa ve zarlar

Bir craps masası, işaretli come alanı, don’t come alanı, pass line, don’t pass line ve öneri bahislerinin bulunduğu orta bölümü olan bir çuha düzenidir. İki adet altı yüzlü zar kullanılır. Eşit olasılıklı 36 sonuç, takip eden her hesaplamanın temelidir. Toplamların dağılımı şöyledir:

Bu olasılıklar zarlar tarafından sabitlenir. Geçmiş hiçbir sonuç onları değiştirmez. Zarların hafızası yoktur ve yirmi dakikadır 7 görmeyen bir masa, bir sonraki atışta 7 gelme olasılığı açısından üst üste üç kez 7 gelen bir masadan daha fazla değildir.

Come-out atışı ve puan

Pass line bahsi iki aşamada sonuçlanır. İlk atış come-out’tur. Come-out 7 veya 11 ise, pass line başabaş kazanır. 2, 3 veya 12 ise kaybeder. Diğer herhangi bir toplam puan olur. Krupiye o numaraya bir pul koyar. Atıcı daha sonra ya puan tekrarlanana kadar (bu durumda pass line başabaş kazanır) ya da 7 gelene kadar (bu durumda kaybeder) zar atar.

Don’t pass bahsi tam tersidir: come-out 2 veya 3’te kazanır, 12’de berabere kalır, 7 veya 11’de kaybeder ve puan tekrarlanmadan önce 7 gelirse başabaş kazanır.

Pass line avantajının türetilmesi

Pass line avantajı tek bir olasılık değil, olası puanlar üzerinden ağırlıklı bir ortalamadır. Hesaplama üç adımda ilerler.

Adım 1: Come-out sonuçları. Come-out’ta 7 veya 11 kazanır, 2, 3 veya 12 kaybeder ve diğer herhangi bir toplam puan belirler. Come-out’ta kazanma olasılığı (6+2)/36 = 8/36’dır. Kaybetme olasılığı (1+2+1)/36 = 4/36’dır. Kalan 24/36 puan belirler.

Adım 2: Puan çözümü. Her puan için, 7’den önce puanı tekrarlama olasılığı, puanı yapma yollarının sayısının puanı yapma yolları ile 7 yapma yollarının toplamına bölünmesiyle bulunur. 7 yapma yolları her zaman 6’dır.

Adım 3: Birleştir. Her puanı belirleme olasılığı, o toplamı yapma yollarının sayısının 36’ya bölünmesiyle bulunur. Bir puan belirlendikten sonra kazanmanın genel olasılığı, puanlar üzerinden P(puan) çarpı P(7’den önce puan) toplamıdır.

• Puan 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Puan 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Puan 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Puan 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Puan 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Puan 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Ondalık sayılara dönüştürüp toplarsak: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Yani bir puan belirlendikten sonra kazanma olasılığı yaklaşık 0,2707’dir.

Pass line’da toplam kazanma olasılığı, come-out kazancı artı puan kazancıdır: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Kaybetme olasılığı 1 - 0,4929 = 0,5071’dir. Ev avantajı, ödeme başabaş olduğu için kaybetme ve kazanma olasılıkları arasındaki farktır: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142 veya %1,42. Yaygın olarak belirtilen rakam %1,41’dir, bu hesaplamada daha fazla ondalık basamak taşımaktan gelir. Kesin kesir 7/495’tir, bu da 0,0141414… = %1,41’dir.

Bu rakam, pass line’ın başabaş ödemesine ve belirtilen come-out kurallarına bağlıdır. Bir kumarhane 3-4-5x oran sunuyorsa, pass line avantajı değişmez; oran bahsi avantajsız ayrı bir bahistir.

Don’t pass avantajının türetilmesi

Don’t pass bahsi come-out 2 veya 3’te kazanır, 12’de berabere kalır ve 7 veya 11’de kaybeder. Bir puan belirlenirse, puan tekrarlanmadan önce 7 gelirse kazanır.

Come-out’ta kazanma olasılığı (1+2)/36 = 3/36’dır. Kaybetme olasılığı (6+2)/36 = 8/36’dır. Berabere kalma olasılığı 1/36’dır. Kalan 24/36 puan belirler. Her puan için, puandan önce 7 gelme olasılığı, 7’den önce puan gelme olasılığının 1 eksiğidir. Yani puan 4 için, P(4’ten önce 7) = 6/9 = 0,6667 ve benzeri.

Bir puan belirlendikten sonra kazanmanın genel olasılığı, puanlar üzerinden P(puan) * P(puandan önce 7) toplamıdır.

• Puan 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Puan 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Puan 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Puan 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Puan 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Puan 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Toplam: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Toplam kazanma olasılığı: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Kaybetme olasılığı: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Bekle, bu doğru değil. Bir puan belirlendikten sonra kaybetme olasılığı, 7’den önce puanın tekrarlanma olasılığıdır, yani 0,2707. Yani toplam kaybetme olasılığı 8/36 + 0,2707 = 0,4929’dur. Berabere kalma olasılığı 1/36 = 0,02778’dir. Kontrol: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. İyi.

Don’t pass’ta ev avantajı, kaybetme ve kazanma olasılıkları arasındaki farkın beraberlik için düzeltilmesiyle bulunur: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398 veya %1,40. Yaygın olarak belirtilen rakam %1,36’dır, bu daha kesin bir hesaplamadan gelir. Kesin kesir 3/220 = 0,013636… = %1,36’dır. Fark, beraberliğin paydadan çıkarılmasından kaynaklanır. Doğru avantaj %1,36’dır.

Bu rakam, don’t pass bar’ın 12 olmasına bağlıdır. Bazı masalar bunun yerine 2’yi bar alır, bu avantajı biraz değiştirir.

Ücretsiz oranlar: tek sıfır avantajlı bahis

Bir puan belirlendikten sonra, pass line bahisçisi çizginin arkasına ek bir bahis koyabilir, buna oran denir. Bu bahis gerçek oranlarda ödenir: 4 veya 10 puanlarında 2:1, 5 veya 9’da 3:2 ve 6 veya 8’de 6:5. Ödeme gerçek olasılıkla eşleştiği için, oran bahsinin beklenen değeri sıfırdır. Evin bunda hiçbir avantajı yoktur.

Oran bahsi, pass line’ın kendi üzerindeki ev avantajını değiştirmez. Genel avantajı seyreltir çünkü yatırılan toplam miktarın daha büyük bir kısmı sıfır avantajlı bir bahistedir. Örneğin, bir oyuncu pass line’a 10 ve oranlara 10 bahis koyarsa, toplam bahis 20’dir. Beklenen kayıp 10’un %1,41’i, yani 0,141’dir. Genel avantaj 0,141/20 = %0,705’tir. 100 oranla, genel avantaj 0,141/110 = %0,128’dir. Pass line avantajı sabit bahis üzerinde %1,41 olarak kalır.

Bu, bir kumarhanede ev avantajı taşımayan tek bahistir. Kumarhanenin oranlara izin vermesine ve tipik olarak 3-4-5x olan maksimum oran katına bağlıdır; bu, 4 ve 10’da 3x, 5 ve 9’da 4x ve 6 ve 8’de 5x anlamına gelir.

Öneri bahisleri: en gürültülü ve en kötü

Masanın ortası belirli sonuçlar üzerine bahisler sunar: herhangi bir 7, herhangi bir craps, hardway’ler ve bireysel toplamlar. Bunlar yüksek ödemelere ve yüksek ev avantajlarına sahiptir.

Herhangi bir 7 için ev avantajı: kazanma olasılığı 6/36 = 0,1667’dir. Ödeme 4:1’dir, yani 1 bahis kazanırsa 5 döner (4 kâr artı bahis). Beklenen değer: (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667 veya %16,67.

Herhangi bir craps için: kazanma olasılığı 4/36 = 0,1111’dir. Ödeme 7:1. Beklenen değer: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111 veya %11,11.

Hard 8 için: kazanma olasılığı 2/36 = 0,0556’dır. Ödeme 9:1. Beklenen değer: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444 veya %44,44? Bu doğru değil. Bekle, hard 8, zarlar 8 yapan diğer herhangi bir kombinasyondan veya 7’den önce 4-4 gösterirse kazanır. Kazanma olasılığı basitçe 2/36 değildir. Hard 8 için doğru olasılık 2/36 mı? Hayır, hardway bahsi birden fazla atışta sonuçlanır. Kolay 8 veya 7’den önce hard 8 atma olasılığı 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667’dir. Ödeme 9:1’dir, yani beklenen değer: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Bu pozitif olurdu, ki bu imkansızdır. Yeniden hesaplayalım: hardway bahsi, atıcı 7 veya 8 yapan diğer herhangi bir kombinasyondan (2-6, 3-5, 5-3, 6-2) önce 4-4 atarsa kazanır. Hard 8 atma yolları 1’dir (4-4). Kolay 8 atma yolları 4’tür. 7 atma yolları 6’dır. Yani kazanma olasılığı 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909’dur. Ödeme 9:1’dir, yani beklenen değer: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909 veya %9,09. Bu tabloyla eşleşir.

Hard 4 veya 10 için: hard 4 atma yolları 1’dir (2-2). Kolay 4 atma yolları 2’dir (1-3, 3-1). 7 atma yolları 6’dır. Kazanma olasılığı: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111’dir. Ödeme 7:1. Beklenen değer: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = %11,11.

Bu avantajlar belirli ödeme tablosuna ve her bahsin kurallarına bağlıdır. Zarlar ve ödemeler tarafından sabitlenirler.

İnsanların yanlış anladığı şeyler

En yaygın hata, zarları hafızası varmış gibi ele almaktır. Üst üste altı puan atan bir atıcının bir sonraki atışta yedi atma olasılığı daha yüksek değildir. Herhangi bir atışta 7 gelme olasılığı her zaman 6/36 = %16,67’dir. Bu hata doğaldır çünkü günlük hayatta seriler genellikle altta yatan koşullarda bir değişikliğe işaret eder: üst üste on şut atan bir basketbolcu artmış bir odaklanma durumunda olabilir. Ancak zarların durumu yoktur. Fiziksel zarlar her atışta aynıdır ve sonuç bağımsızdır.

Bir başka hata, oran bahsinin pass line’daki ev avantajını azalttığına inanmaktır. Azaltmaz. Sıfır avantajlı ayrı bir bahistir. Pass line bahsi hala %1,41 avantaj taşır. Birleşik miktar üzerindeki genel avantaj daha düşüktür, ancak sabit bahis üzerindeki avantaj değişmez.

Üçüncü bir hata, öneri bahislerinin sırası geldiğini düşünmektir. Herhangi bir 7 üzerine bahis, uzun bir 7 gelmeyen diziden sonra daha olası hale gelmez. Olasılık her zaman 6/36’dır.

Saat başına para

Ev avantajı cironun bir yüzdesidir, ki bu çoğu insanın hissedebileceği bir miktar değildir. Somutlaştırmak için, her come-out atışında pass line’a 10 bahis koyan ve oran kullanmayan bir oyuncu düşünün. Bir craps masası tipik olarak bir pass line bahsini yaklaşık iki ila üç atışta sonuçlandırır, ancak saat başına come-out atışı sayısı oyuncu sayısına ve krupiyenin hızına bağlıdır. Dolu bir masa için makul bir tahmin saatte 60 come-out atışıdır. Bahis başına 10 ile saatte yatırılan toplam miktar 600’dür. Beklenen kayıp 600’ün %1,41’i, yani saatte 8,46’dır.

Aynı oyuncu her puanın arkasına 10 oran eklerse, come-out atışı başına toplam bahis 10 artı oranlardır, ancak oranlar yalnızca bir puan belirlendiğinde konur. Bir puan belirleme olasılığı 24/36 = %66,67’dir. Yani come-out atışı başına ortalama oran bahsi 10 * 0,6667 = 6,67’dir. Come-out atışı başına toplam ortalama bahis 16,67’dir. Saatte 60 come-out atışı ile toplam ciro 1000’dir. Beklenen kayıp, come-out atışı başına 10’un (sabit bahis) %1,41’i, yani atış başına 0,141, çarpı 60 = saatte 8,46’dır. Oran kısmı beklenen kayıp eklemez. Yani saatlik kayıp aynı 8,46’dır, ancak toplam yatırılan miktar daha yüksektir, bu nedenle toplam ciro üzerindeki etkin avantaj %0,846’dır.

Oyuncu bunun yerine her atışta herhangi bir 7’ye 10 bahis koyarsa ve saatte 100 atış varsa (come-out olmayan atışlar dahil), toplam bahis 1000’dir. Beklenen kayıp 1000’in %16,67’si, yani saatte 166,70’tir. Bu, masadaki en gürültülü bahsin maliyetidir.

Bu rakamlar saat başına come-out atışı sayısına ve toplam atış sayısına bağlıdır, ki bunlar masa koşullarına göre değişir. Ayrıca oyuncunun her zaman aynı miktarı bahis koyduğunu ve bahis boyutunu değiştirmediğini varsayarlar.

Rakamları değiştiren kurallar

%1,41’lik pass line avantajı, açıklanan come-out kurallarını ve başabaş ödemeyi varsayar. %1,36’lık don’t pass avantajı 12 barını varsayar. Masa 2’yi bar alırsa, avantaj da %1,36 mıdır? Aslında, masa 2’yi bar alırsa, don’t pass bahsi 12 yerine 2’de berabere kalır, bu avantajı biraz değiştirir. Fark küçüktür.

Oran bahsi ödemesi puana bağlıdır: 4 ve 10’da 2:1, 5 ve 9’da 3:2, 6 ve 8’de 6:5. Bunlar gerçek oranlardır ve değişmez.

Öneri bahsi avantajları belirli ödeme tablosuna bağlıdır. Bazı kumarhaneler horn bahsi için farklı ödemeler sunar, bu 2, 3, 11 ve 12’nin bir kombinasyonudur. Horn bahsindeki avantaj, ödemeler 2 ve 12’de 30:1 ve 3 ve 11’de 15:1 ise ve bahis dört yöne bölünmüşse %12,5’tir. Ödemeler farklıysa, avantaj değişir.

Bu sayfadaki tüm rakamlar, iki zarlı ve belirtilen kurallara sahip standart bir craps masası içindir. Farklı puan numaralarına ve farklı avantajlara sahip crapless craps için geçerli değildir.