Крепс: шанси та перевага казино для всіх ставок

Стіл для крепсу пропонує найширший діапазон переваги казино в казино: від 1,36% на лінії don’t pass до понад 16% на деяких пропозиційних ставках у центрі столу. Один і той самий кидок кубиків вирішує їх усі, тому різниця не в грі, а в таблиці виплат і кількості результатів, які покриває кожна ставка. Ця сторінка виводить кожну цифру з цих двох речей, зазначає правила, від яких залежить кожна цифра, і перетворює переваги в гроші за годину за вказаної ставки та швидкості кидків.

Стіл і кубики

Стіл для крепсу — це сукняна розмітка з позначеною зоною come, зоною don’t come, лінією pass, лінією don’t pass і центральною секцією пропозиційних ставок. Використовуються два шестигранні кубики. 36 рівноймовірних результатів є основою всіх подальших розрахунків. Розподіл сум:

Ці ймовірності визначені кубиками. Жоден минулий результат їх не змінює. Кубики не мають пам’яті, і стіл, який не бачив 7 протягом двадцяти хвилин, не має більшої ймовірності викинути її на наступному кидку, ніж стіл, який щойно викинув три поспіль.

Кидок come-out і поінт

Ставка на лінію pass вирішується у два етапи. Перший кидок — це come-out. Якщо come-out дорівнює 7 або 11, лінія pass виграє за рівних грошей. Якщо це 2, 3 або 12, вона програє. Будь-яка інша сума стає поінтом. Дилер ставить фішку на це число. Потім стрілець кидає, доки або поінт не повториться, і тоді лінія pass виграє за рівних грошей, або не з’явиться 7, і тоді вона програє.

Ставка don’t pass є протилежною: вона виграє на come-out 2 або 3, повертається на 12, програє на 7 або 11 і виграє за рівних грошей, якщо 7 з’явиться до того, як повториться поінт.

Виведення переваги на лінії pass

Перевага на лінії pass — це не єдина ймовірність, а зважене середнє за можливими поінтами. Розрахунок виконується у три кроки.

Крок 1: Результати come-out. На come-out 7 або 11 виграє, 2, 3 або 12 програє, а будь-яка інша сума встановлює поінт. Ймовірність виграшу на come-out становить (6+2)/36 = 8/36. Ймовірність програшу становить (1+2+1)/36 = 4/36. Решта 24/36 встановлює поінт.

Крок 2: Вирішення поінта. Для кожного поінта ймовірність повторення поінта до 7 — це кількість способів викинути поінт, поділена на суму способів викинути поінт і способів викинути 7. Способів викинути 7 завжди 6.

Крок 3: Об’єднання. Ймовірність встановлення кожного поінта — це кількість способів викинути цю суму, поділена на 36. Загальна ймовірність виграшу після встановлення поінта — це сума за поінтами P(поінт), помножена на P(поінт до 7).

• Поінт 4: (3/36) * (3/9) = 9/324
• Поінт 5: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Поінт 6: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Поінт 8: (5/36) * (5/11) = 25/396
• Поінт 9: (4/36) * (4/10) = 16/360
• Поінт 10: (3/36) * (3/9) = 9/324

Переведення в десяткові дроби та підсумовування: 0,02778 + 0,04444 + 0,06313 + 0,06313 + 0,04444 + 0,02778 = 0,2707. Отже, ймовірність виграшу після встановлення поінта становить близько 0,2707.

Загальна ймовірність виграшу на лінії pass — це виграш на come-out плюс виграш на поінті: 8/36 + 0,2707 = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Ймовірність програшу становить 1 - 0,4929 = 0,5071. Перевага казино — це різниця між ймовірністю програшу та виграшу, оскільки виплата становить рівні гроші: 0,5071 - 0,4929 = 0,0142, або 1,42%. Зазвичай цитована цифра — 1,41%, що походить від збереження більшої кількості десяткових знаків у розрахунку. Точний дріб — 7/495, що дорівнює 0,0141414… = 1,41%.

Ця цифра залежить від того, що лінія pass платить рівні гроші, і від правил come-out, як зазначено. Якщо казино пропонує шанси 3-4-5x, перевага на самій лінії pass не змінюється; ставка на шанси — це окрема ставка без переваги.

Виведення переваги на don’t pass

Ставка don’t pass виграє на come-out 2 або 3, повертається на 12 і програє на 7 або 11. Якщо встановлено поінт, вона виграє, якщо 7 з’явиться до того, як повториться поінт.

Ймовірність виграшу на come-out становить (1+2)/36 = 3/36. Ймовірність програшу становить (6+2)/36 = 8/36. Ймовірність повернення становить 1/36. Решта 24/36 встановлює поінт. Для кожного поінта ймовірність 7 до поінта дорівнює 1 мінус ймовірність поінта до 7. Отже, для поінта 4 P(7 до 4) = 6/9 = 0,6667, і так далі.

Загальна ймовірність виграшу після встановлення поінта — це сума за поінтами P(поінт) * P(7 до поінта).

• Поінт 4: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556
• Поінт 5: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Поінт 6: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Поінт 8: (5/36) * (6/11) = 30/396 = 0,07576
• Поінт 9: (4/36) * (6/10) = 24/360 = 0,06667
• Поінт 10: (3/36) * (6/9) = 18/324 = 0,05556

Сума: 0,05556 + 0,06667 + 0,07576 + 0,07576 + 0,06667 + 0,05556 = 0,39598.

Загальна ймовірність виграшу: 3/36 + 0,39598 = 0,08333 + 0,39598 = 0,47931. Ймовірність програшу: 8/36 + (0,2707) = 0,2222 + 0,2707 = 0,4929. Чекайте, це не правильно. Ймовірність програшу після встановлення поінта — це ймовірність повторення поінта до 7, яка становить 0,2707. Отже, загальна ймовірність програшу — 8/36 + 0,2707 = 0,4929. Ймовірність повернення — 1/36 = 0,02778. Перевірка: 0,47931 + 0,4929 + 0,02778 = 1,0000. Добре.

Перевага казино на don’t pass — це різниця між ймовірностями програшу та виграшу, скоригована на повернення: (0,4929 - 0,47931) / (1 - 0,02778) = 0,01359 / 0,97222 = 0,01398, або 1,40%. Зазвичай цитована цифра — 1,36%, що походить від точнішого розрахунку. Точний дріб — 3/220 = 0,013636… = 1,36%. Розбіжність виникає тому, що повернення виключено зі знаменника. Правильна перевага — 1,36%.

Ця цифра залежить від того, що на don’t pass бар’єр становить 12. Деякі столи мають бар’єр 2, що трохи змінює перевагу.

Безкоштовні шанси: єдина ставка з нульовою перевагою

Після встановлення поінта гравець на лінії pass може зробити додаткову ставку за лінією, яка називається шансами. Ця ставка виплачується за істинними шансами: 2:1 на поінтах 4 або 10, 3:2 на 5 або 9 і 6:5 на 6 або 8. Оскільки виплата відповідає істинній ймовірності, очікуване значення ставки на шанси дорівнює нулю. Казино не має переваги на ній.

Ставка на шанси не змінює перевагу казино на самій лінії pass. Вона розбавляє загальну перевагу, оскільки більша частка загальної суми ставки припадає на ставку з нульовою перевагою. Наприклад, якщо гравець ставить 10 на лінію pass і 10 на шанси, загальна ставка становить 20. Очікуваний програш — 1,41% від 10, що дорівнює 0,141. Загальна перевага — 0,141/20 = 0,705%. Зі 100 на шанси загальна перевага — 0,141/110 = 0,128%. Перевага на лінії pass залишається 1,41% на флет-ставку.

Це єдина ставка в казино, яка не несе переваги казино. Вона залежить від того, чи дозволяє казино шанси, і від максимального множника шансів, який зазвичай становить 3-4-5x, тобто 3x на 4 і 10, 4x на 5 і 9 та 5x на 6 і 8.

Пропозиційні ставки: найгучніші та найгірші

Центр столу пропонує ставки на конкретні результати: будь-яка 7, будь-який крепс, хардвеї та окремі суми. Вони мають високі виплати та високу перевагу казино.

Перевага казино для будь-якої 7: ймовірність виграшу становить 6/36 = 0,1667. Виплата 4:1, тому ставка 1 повертає 5 у разі виграшу (4 прибутку плюс ставка). Очікуване значення: (6/36)*4 - (30/36)*1 = 24/36 - 30/36 = -6/36 = -0,1667, або 16,67%.

Для будь-якого крепсу: ймовірність виграшу становить 4/36 = 0,1111. Виплата 7:1. Очікуване значення: (4/36)*7 - (32/36)*1 = 28/36 - 32/36 = -4/36 = -0,1111, або 11,11%.

Для харду 8: ймовірність виграшу становить 2/36 = 0,0556. Виплата 9:1. Очікуване значення: (2/36)*9 - (34/36)*1 = 18/36 - 34/36 = -16/36 = -0,4444, або 44,44%? Це не правильно. Чекайте, хард 8 виграє, якщо кубики показують 4-4 до будь-якої іншої комбінації, яка дає 8, або 7. Ймовірність виграшу не дорівнює просто 2/36. Правильна ймовірність для харду 8 — 2/36? Ні, ставка на хардвей вирішується протягом кількох кидків. Ймовірність викинути хард 8 до легкої 8 або 7 становить 2/(2+4+6) = 2/12 = 1/6 = 0,1667. Виплата 9:1, тому очікуване значення: (1/6)*9 - (5/6)*1 = 9/6 - 5/6 = 4/6 = 0,6667? Це було б позитивним, що неможливо. Перерахуємо: ставка на хардвей виграє, якщо стрілець викине 4-4 до того, як викине 7 або будь-яку іншу комбінацію, яка дає 8 (це 2-6, 3-5, 5-3, 6-2). Способів викинути хард 8 — 1 (4-4). Способів викинути легку 8 — 4. Способів викинути 7 — 6. Отже, ймовірність виграшу становить 1/(1+4+6) = 1/11 = 0,0909. Виплата 9:1, тому очікуване значення: (1/11)*9 - (10/11)*1 = 9/11 - 10/11 = -1/11 = -0,0909, або 9,09%. Це збігається з таблицею.

Для харду 4 або 10: способів викинути хард 4 — 1 (2-2). Способів викинути легку 4 — 2 (1-3, 3-1). Способів викинути 7 — 6. Ймовірність виграшу: 1/(1+2+6) = 1/9 = 0,1111. Виплата 7:1. Очікуване значення: (1/9)*7 - (8/9)*1 = 7/9 - 8/9 = -1/9 = 11,11%.

Ці переваги залежать від конкретної таблиці виплат і правил для кожної ставки. Вони визначені кубиками та виплатами.

Що люди розуміють неправильно

Найпоширеніша помилка — ставитися до кубиків так, ніби вони мають пам’ять. Стрілець, який викинув шість поінтів поспіль, не має більшої ймовірності викинути сім на наступному кидку. Ймовірність 7 на будь-якому кидку завжди становить 6/36 = 16,67%. Помилка природна, тому що в повсякденному житті серії часто вказують на зміну основних умов: баскетболіст, який зробив десять кидків поспіль, може перебувати в стані підвищеної концентрації. Але кубики не мають стану. Фізичні кубики ідентичні на кожному кидку, і результат незалежний.

Інша помилка — вірити, що ставка на шанси зменшує перевагу казино на лінії pass. Це не так. Це окрема ставка з нульовою перевагою. Ставка на лінію pass все ще несе перевагу 1,41%. Загальна перевага на об’єднаній сумі нижча, але перевага на флет-ставці незмінна.

Третя помилка — думати, що пропозиційні ставки «назріли». Ставка на будь-яку 7 не стає більш імовірною після довгої послідовності без 7. Ймовірність завжди становить 6/36.

Гроші за годину

Перевага казино — це відсоток від обороту, що не є величиною, яку більшість людей можуть відчути. Щоб зробити це конкретним, розглянемо гравця, який ставить 10 на лінію pass на кожному кидку come-out, без шансів. Стіл для крепсу зазвичай вирішує ставку на лінію pass приблизно за два-три кидки, але кількість кидків come-out за годину залежить від кількості гравців і швидкості дилера. Розумна оцінка для повного столу — 60 кидків come-out за годину. За ставки 10 загальна сума ставок за годину становить 600. Очікуваний програш — 1,41% від 600, що дорівнює 8,46 за годину.

Якщо той самий гравець додає 10 на шанси за кожним поінтом, загальна ставка за кидок come-out становить 10 плюс шанси, але шанси розміщуються лише тоді, коли встановлено поінт. Ймовірність встановлення поінта становить 24/36 = 66,67%. Отже, середня ставка на шанси за кидок come-out становить 10 * 0,6667 = 6,67. Загальна середня ставка за кидок come-out становить 16,67. За 60 кидків come-out за годину загальний оборот становить 1000. Очікуваний програш — 1,41% від 10 (флет-ставка) за кидок come-out, що дорівнює 0,141 за кидок, помножене на 60 = 8,46 за годину. Частина шансів не додає очікуваного програшу. Отже, погодинний програш той самий — 8,46, але загальна сума ставок вища, тому ефективна перевага на загальному обороті становить 0,846%.

Якщо гравець натомість ставить 10 на будь-яку 7 на кожному кидку, і за годину відбувається 100 кидків (включаючи кидки не come-out), загальна ставка становить 1000. Очікуваний програш — 16,67% від 1000, що дорівнює 166,70 за годину. Це вартість найгучнішої ставки на столі.

Ці цифри залежать від кількості кидків come-out за годину та загальної кількості кидків за годину, які змінюються залежно від умов столу. Вони також припускають, що гравець завжди ставить однакову суму і не змінює розмір ставки.

Правила, які змінюють цифри

Перевага на лінії pass 1,41% припускає правила come-out, як описано, і виплату за рівних грошей. Перевага на don’t pass 1,36% припускає бар’єр 12. Якщо стіл має бар’єр 2, перевага також становить 1,36%? Насправді, якщо стіл має бар’єр 2, ставка don’t pass повертається на 2 замість 12, що трохи змінює перевагу. Різниця невелика.

Виплата за ставкою на шанси залежить від поінта: 2:1 на 4 і 10, 3:2 на 5 і 9, 6:5 на 6 і 8. Це істинні шанси, і вони не змінюються.

Переваги пропозиційних ставок залежать від конкретної таблиці виплат. Деякі казино пропонують інші виплати для ставки horn, яка є комбінацією 2, 3, 11 і 12. Перевага на ставці horn становить 12,5%, якщо виплати 30:1 на 2 і 12 та 15:1 на 3 і 11, а ставка розділена на чотири частини. Якщо виплати інші, перевага змінюється.

Усі цифри на цій сторінці стосуються стандартного столу для крепсу з двома кубиками та правилами, як зазначено. Вони не застосовуються до crapless craps, який має інші номери поінтів та інші переваги.