Probabilidades do keno: vantagem da casa e custo por hora

O keno é um jogo no estilo loteria em que o jogador escolhe entre 1 e 20 números de um conjunto de 80, e o operador sorteia 20 números aleatoriamente. Os pagamentos são feitos de acordo com quantos dos números escolhidos pelo jogador coincidem com os números sorteados. A vantagem da casa não é uma propriedade fixa do jogo; é determinada inteiramente pela tabela de pagamentos e pelo número de dezenas jogadas. Nas tabelas de pagamentos comuns, a vantagem varia de aproximadamente 20% a 35%, tornando o keno um dos jogos mais caros de um cassino. Esta página mostra como esse intervalo é calculado a partir do número de resultados possíveis e da tabela de pagamentos, e converte a vantagem em dinheiro por hora com uma aposta e um ritmo de rodadas declarados.

O número de resultados possíveis

O primeiro passo para derivar a vantagem da casa é contar o número total de resultados possíveis. No keno, 20 números são sorteados de 80 sem reposição. O número de combinações de sorteio possíveis é o coeficiente binomial C(80,20). Isso equivale a 3.535.316.142.212.174.320. Para um jogador que escolheu s dezenas, o número de maneiras de acertar exatamente k dessas dezenas é C(s,k) * C(80-s,20-k). A probabilidade de acertar k dezenas é esse produto dividido por C(80,20).

Essas probabilidades são a base de toda tabela de pagamentos do keno. Elas não mudam com o operador, a máquina ou a hora do dia. São fixadas pelas regras do sorteio.

Um exemplo prático: a tabela de pagamentos de 8 dezenas

Considere uma tabela de pagamentos comum de keno com 8 dezenas. O jogador escolhe 8 números. Os pagamentos por acertar k dezenas são tipicamente:

Para encontrar o retorno esperado, calcule a probabilidade de cada resultado e multiplique pelo pagamento. As probabilidades para um jogo de 8 dezenas são:

Essas probabilidades somam 1. O retorno esperado é a soma de (probabilidade * pagamento) para cada resultado. Usando os pagamentos acima:

• 0 acertos: 0,0883 * 0 = 0
• 1 acerto: 0,2475 * 0 = 0
• 2 acertos: 0,3090 * 0 = 0
• 3 acertos: 0,2200 * 0 = 0
• 4 acertos: 0,1000 * 1 = 0,1000
• 5 acertos: 0,0285 * 5 = 0,1425
• 6 acertos: 0,0048 * 50 = 0,2400
• 7 acertos: 0,0004 * 500 = 0,2000
• 8 acertos: 0,00002 * 10.000 = 0,2000

Somando esses valores, obtém-se um retorno esperado de 0,1000 + 0,1425 + 0,2400 + 0,2000 + 0,2000 = 0,8825. Portanto, o retorno esperado é 88,25%, e a vantagem da casa é 100% - 88,25% = 11,75%. Isso é inferior ao intervalo de 20-35% frequentemente citado, porque essa tabela de pagamentos em particular é relativamente generosa. Muitas tabelas de pagamentos do keno têm uma vantagem maior.

Por que a vantagem varia tanto

A vantagem da casa no keno depende da tabela de pagamentos, que é escolhida pelo operador. O mesmo jogo com um conjunto diferente de pagamentos pode ter uma vantagem drasticamente diferente. Por exemplo, se a tabela de pagamentos de 8 dezenas acima fosse alterada para que 4 acertos pagassem 0, 5 acertos pagassem 2, 6 acertos pagassem 20, 7 acertos pagassem 100 e 8 acertos pagassem 2.000, o retorno esperado seria:

• 4 acertos: 0,1000 * 0 = 0
• 5 acertos: 0,0285 * 2 = 0,0570
• 6 acertos: 0,0048 * 20 = 0,0960
• 7 acertos: 0,0004 * 100 = 0,0400
• 8 acertos: 0,00002 * 2.000 = 0,0400

Retorno esperado total = 0,0570 + 0,0960 + 0,0400 + 0,0400 = 0,2330, ou 23,30%. A vantagem da casa é 76,70%. Isso ilustra que dois jogos de keno no mesmo cassino podem diferir em mais de dez pontos percentuais na vantagem, simplesmente por causa da tabela de pagamentos.

A tabela a seguir mostra a vantagem da casa para vários tamanhos de dezenas e tabelas de pagamentos comuns. A vantagem depende do número de dezenas e dos pagamentos específicos. Os números são derivados das probabilidades de acertar k dezenas, que são determinadas pelo conjunto de 80 números e pelo sorteio de 20 números.

As vantagens mostradas são aproximadas e dependem da tabela de pagamentos exata. Para tamanhos de 1 a 7 e 10 dezenas, as tabelas de pagamentos são frequentemente definidas para produzir uma vantagem de 25%. Os jogos de 8 e 9 dezenas às vezes têm vantagens menores, mas isso não é garantido. A única maneira de saber a vantagem de um jogo de keno específico é ler sua tabela de pagamentos e realizar o cálculo.

Convertendo a vantagem em dinheiro por hora

Uma porcentagem do volume apostado não é uma quantidade que a maioria das pessoas consegue sentir. Para tornar o custo concreto, considere um jogador que joga 200 rodadas de keno por hora com uma aposta de 1 por rodada. O valor total apostado por hora é 200. Se a vantagem da casa é 25%, a perda esperada por hora é 200 * 0,25 = 50. Se a vantagem é 35%, a perda esperada é 200 * 0,35 = 70. Se a vantagem é 11,75%, a perda esperada é 200 * 0,1175 = 23,50.

Com uma aposta de 0,50 por rodada e 200 rodadas por hora, o total apostado é 100. A perda esperada com uma vantagem de 25% é 25 por hora. Com uma vantagem de 35%, é 35 por hora.

O ritmo de rodadas importa. Um jogador que joga 400 rodadas por hora a 1 por rodada aposta 400 por hora. Com uma vantagem de 25%, a perda esperada é 100 por hora. O custo escala linearmente com o número de rodadas e a aposta.

É por isso que o keno é frequentemente descrito como uma das piores apostas do cassino. Um jogador que passa uma hora em uma mesa de blackjack com uma vantagem de 0,5% e uma aposta de 100 por hora pode esperar perder 0,50 por hora. O mesmo jogador em uma máquina de keno com uma vantagem de 25% e uma aposta de 200 por hora espera perder 50 por hora. A diferença é de duas ordens de magnitude.

O que as pessoas erram sobre as probabilidades do keno

O erro mais comum é assumir que a vantagem da casa é a mesma para todos os jogos de keno. Não é. A vantagem é uma função da tabela de pagamentos, e as tabelas de pagamentos variam amplamente. Dois jogos de keno no mesmo cassino, mesmo em máquinas adjacentes, podem ter vantagens que diferem em dez pontos percentuais ou mais. Um jogador que assume uma vantagem de 25% quando a vantagem real é 35% subestimará o custo em 40%.

Outro erro é acreditar que certos números têm maior probabilidade de serem sorteados porque não apareceram recentemente. Esta é a falácia do apostador. Cada sorteio é independente. A probabilidade de qualquer número específico ser sorteado é 20/80 = 0,25, independentemente do que aconteceu nos sorteios anteriores. A máquina não tem memória. Não existe número atrasado no keno.

Um terceiro erro é pensar que jogar mais números melhora as probabilidades. Jogar mais dezenas altera a variância e a tabela de pagamentos, mas não altera a vantagem fundamental da casa, a menos que a tabela de pagamentos seja diferente. Na verdade, alguns tamanhos de dezenas têm vantagens maiores que outros. A vantagem é determinada pela tabela de pagamentos, não pelo número de dezenas em si.

Esses erros são naturais porque o keno é apresentado como uma loteria, e as loterias frequentemente evocam uma sensação de padrão e sorte. A mente humana busca padrões em eventos aleatórios. Mas a matemática do keno é fixa e pode ser calculada exatamente. A única incógnita é a tabela de pagamentos, que está impressa na máquina ou disponível na tela de ajuda do jogo.

O papel do keno grátis e do keno online

Jogos de keno grátis, frequentemente disponíveis online, usam a mesma mecânica de sorteio, mas não envolvem dinheiro real. Eles são úteis para entender o fluxo do jogo e as probabilidades de diferentes resultados, mas não alteram a vantagem da casa. Quando dinheiro real está envolvido, a vantagem é determinada pela tabela de pagamentos do jogo específico.

Jogos de keno online podem ter tabelas de pagamentos diferentes das máquinas físicas. Alguns cassinos online oferecem keno com vantagens tão baixas quanto 5% ou tão altas quanto 35%. A mesma regra se aplica: leia a tabela de pagamentos e calcule o retorno esperado. O número de resultados é sempre baseado em 80 números e um sorteio de 20 números, então as probabilidades são as mesmas. Apenas os pagamentos mudam.

O super keno é uma variante que às vezes oferece uma tabela de pagamentos diferente ou recursos adicionais, como um multiplicador. Esses recursos podem alterar a vantagem, mas não alteram as probabilidades subjacentes. A vantagem ainda é derivada da tabela de pagamentos e do número de resultados.

Como calcular a vantagem para qualquer tabela de pagamentos de keno

O método é o mesmo para qualquer tabela de pagamentos. Para um dado número de dezenas s, liste os pagamentos para cada número possível de acertos k (de 0 a s). Para cada k, calcule a probabilidade P(k) = C(s,k) * C(80-s,20-k) / C(80,20). Em seguida, multiplique P(k) pelo pagamento para k e some esses produtos. O resultado é o retorno esperado. A vantagem da casa é 1 menos o retorno esperado.

Esse cálculo pode ser feito com uma planilha ou uma calculadora. Os coeficientes binomiais podem ser calculados usando a fórmula C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!). Para números grandes, use uma calculadora que lide com inteiros grandes ou use logaritmos.

Por exemplo, para s=8, a probabilidade de acertar 4 é C(8,4)*C(72,16)/C(80,20). C(8,4)=70. C(72,16) é um número grande, mas a razão pode ser calculada. O resultado é aproximadamente 0,1000. A probabilidade de acertar 8 é C(8,8)*C(72,12)/C(80,20) = 1 * C(72,12)/C(80,20) ≈ 0,00002.

Uma vez conhecidas as probabilidades, o retorno esperado é direto. A única variável é a tabela de pagamentos.

Resumo do custo

O keno é um jogo com uma alta vantagem da casa, tipicamente entre 20% e 35%. A vantagem é determinada pela tabela de pagamentos, que varia por operador e por tamanho de dezenas. Com uma aposta de 1 por rodada e 200 rodadas por hora, a perda esperada varia de cerca de 23,50 a 70 por hora, dependendo da vantagem. Com uma aposta de 0,50 por rodada, a perda varia de cerca de 11,75 a 35 por hora. Esses números são valores esperados; os resultados reais variarão. A vantagem não é afetada por resultados anteriores, pelo número de dezenas jogadas ou por o jogo ser grátis ou valer dinheiro. É uma propriedade fixa da tabela de pagamentos e do sorteio.