Probabilità e vantaggio del banco nel blackjack

Il costo di un tavolo di blackjack per il giocatore non è un numero unico. È una funzione delle regole stampate sul panno, del numero di mazzi nel sabot e di come il giocatore risponde alle carte. Lo stesso gioco che restituisce 99,5% con un regolamento restituisce 98,0% con un altro, e la differenza non è nascosta in una side bet o in un rimescolamento. È nel pagamento di un naturale e nell’obbligo del banco sul soft 17.

La cifra che conta è il vantaggio del banco: la perdita attesa per unità puntata. Non è una proprietà delle carte. È una proprietà della tabella dei pagamenti e della strategia applicata. Questa pagina deriva quel vantaggio dagli esiti, dichiara ogni regola che la cifra presuppone e converte la percentuale in denaro a una puntata e un ritmo di mani dichiarati.

Gli esiti e i loro pagamenti

Una mano standard di blackjack ha tre risultati terminali per il giocatore: vincita, perdita o push. Il pagamento di una vincita non è uniforme. Un blackjack naturale paga 3:2 alla maggior parte dei tavoli, ma 6:5 a molti tavoli che pubblicizzano un minimo basso. Una vincita normale paga 1:1. Un push restituisce la puntata. Una perdita prende la puntata.

Il vantaggio del banco deriva da due fonti: il banco agisce per ultimo, quindi il giocatore che sballa perde prima che il banco peschi, e il giocatore deve agire per primo su informazioni incomplete. La strategia fissa del banco di pescare fino a 17 e stare su 17 o più non è una scelta. È una regola. La scelta del giocatore è se seguire la strategia di base, che è l’insieme di decisioni che massimizza il valore atteso contro un dato regolamento.

Derivare il vantaggio dalla tabella dei pagamenti

Il vantaggio non può essere derivato dalla sola tabella dei pagamenti, perché la probabilità di ogni esito dipende dalla composizione del mazzo e dalla strategia usata. Ma il contributo del pagamento del blackjack può essere isolato.

Considera un gioco a mazzo singolo in cui il banco sta sul soft 17 e il blackjack paga 3:2. La probabilità di ricevere un blackjack naturale è:

(4/52) × (16/51) × 2 = 0,0483, ovvero 4,83%.

Il fattore 2 tiene conto dei due ordini: asso poi dieci, o dieci poi asso. La probabilità che anche il banco abbia un naturale è approssimativamente 0,0483 × (15/50) × (3/49) × 2, ma ai fini del contributo del pagamento, il confronto rilevante è la differenza tra 3:2 e 6:5.

A 3:2, una puntata di 1 unità restituisce 1,5 unità di profitto su un naturale. A 6:5, restituisce 1,2 unità. La differenza è 0,3 unità per naturale. Moltiplica per la probabilità di un naturale:

0,3 × 0,0483 = 0,0145, ovvero 1,45% della puntata iniziale.

Quel 1,45% si aggiunge al vantaggio del banco quando il pagamento scende da 3:2 a 6:5. La cifra esatta varia leggermente con il numero di mazzi e la composizione, ma l’ordine di grandezza è costante: il blackjack 6:5 costa al giocatore circa 1,4% in più per mano rispetto a 3:2, prima di considerare qualsiasi altra regola.

Per il vantaggio del banco completo, il calcolo richiede di enumerare ogni mano e la decisione ottimale in ogni punto. Le cifre standard, derivate dall’analisi combinatoria, sono:

Queste cifre presuppongono che il giocatore segua esattamente la strategia di base. Presuppongono anche nessuna resa, nessun raddoppio dopo la divisione e nessuna ri-divisione degli assi. Ognuna di queste regole cambia il vantaggio di qualche centesimo di punto percentuale, e la direzione è sempre a favore del giocatore quando la regola viene aggiunta.

Convertire il vantaggio in denaro all’ora

Una percentuale del volume di gioco non è una quantità che la maggior parte dei giocatori riesce a percepire. Lo stesso vantaggio dello ́0,5% costa un importo diverso a seconda di quante mani si giocano e quanto si punta per mano.

Supponi che un giocatore punti 10 unità per mano, giochi 60 mani all’ora e affronti un vantaggio dello 0,5%.

Passo 1: Volume totale all'ora = 10 × 60 = 600 unità.
Passo 2: Perdita attesa all'ora = 600 × 0,005 = 3 unità.

Con una puntata di 10 unità, sono 3 unità all’ora. Se l’unità è 1, la perdita attesa è 3,00 all’ora. Se l’unità è 25, la perdita attesa è 75,00 all’ora.

Ora applica lo stesso calcolo a un tavolo 6:5 con un vantaggio del 2,0%.

Passo 1: Volume = 10 × 60 = 600 unità.
Passo 2: Perdita attesa = 600 × 0,02 = 12 unità all'ora.

La differenza tra i due tavoli è di 9 unità all’ora alla stessa puntata e allo stesso ritmo di mani. Su una sessione di tre ore, il tavolo 6:5 costa 36 unità in più in attesa. Questo è il costo della regola, espresso in denaro.

Il numero di mani all’ora conta quanto il vantaggio. Un tavolo pieno con sette giocatori e un banco lento può distribuire 40 mani all’ora. Una partita testa a testa con un banco veloce può distribuirne 200. A 200 mani all’ora e un vantaggio dello 0,5%, la perdita attesa a 10 per mano è 200 × 10 × 0,005 = 10,00 all’ora. A 40 mani all’ora, è 2,00 all’ora. Il vantaggio è identico. Il costo no.

Cosa si sbaglia sulle probabilità del blackjack

L’errore più comune è trattare il vantaggio del banco come una proprietà fissa del gioco invece che una proprietà del regolamento. Un giocatore che ha letto che il blackjack ha un vantaggio dello 0,5% può sedersi a un tavolo 6:5 e credere che la cifra valga ancora. Non vale. Il solo pagamento 6:5 aggiunge circa 1,4%, e il banco che pesca sul soft 17 ne aggiunge altri 0,2%. Il tavolo che sembra blackjack non è il gioco che la cifra descrive.

Questo errore è naturale perché il gioco viene presentato sotto un unico nome. Il panno dice blackjack. Le carte sono le stesse. I movimenti del banco sono gli stessi. L’unica differenza è una riga di testo nell’angolo del tavolo, e quella riga è spesso stampata in caratteri piccoli. Il giocatore che non sa che deve cercarla non ha motivo di sospettare che il gioco sia cambiato.

Il secondo errore è credere che una serie precedente di risultati cambi la mano successiva. Un sabot che ha prodotto dieci vincite consecutive del giocatore non deve al giocatore una perdita, e un banco che ha sballato cinque volte di fila non ha più probabilità di sballare di nuovo. Ogni mano viene distribuita da un mazzo impoverito, e la composizione di quel mazzo è l’unica cosa che conta. Le carte non hanno memoria. Il sabot non deve produrre nulla. La probabilità della mano successiva è determinata dalle carte rimanenti, non dalle carte già giocate.

Questo errore è naturale perché la mente umana cerca schemi. Una sequenza di vincite sembra una striscia, e una striscia sembra dover finire. Ma il mazzo non sa che la striscia è avvenuta. L’unica cosa che cambia le probabilità è la rimozione di carte specifiche, e quell’effetto è piccolo finché il mazzo non è profondamente impoverito.

Il terzo errore è credere che un sistema di puntata possa superare il vantaggio. Una progressione Martingale raddoppia la puntata dopo una perdita, il che cambia la distribuzione degli esiti: molte piccole vincite, occasionali grandi perdite. Il valore atteso resta invariato. Il vantaggio del banco si applica a ogni puntata, e nessuna sequenza di dimensioni di puntata altera la media. Un giocatore che raddoppia dopo una perdita non migliora il rendimento. Aumenta la varianza e la dimensione della perdita finale.

Questo errore è naturale perché la progressione produce un’alta frequenza di sessioni vincenti. Il giocatore che raddoppia dopo una perdita vincerà la maggior parte delle sessioni, perché una singola vincita recupera tutte le perdite precedenti più un’unità. La rara sessione in cui la progressione incontra una lunga serie di perdite cancella molte piccole vincite. L’aritmetica non è nascosta. È solo distribuita in modo disomogeneo nel tempo.

Il conteggio delle carte come storia, non come metodo

Il conteggio delle carte è la pratica di monitorare il rapporto tra carte alte e carte basse nel mazzo rimanente. Un mazzo ricco di dieci e assi favorisce il giocatore, perché il blackjack paga più di 1:1 e perché il banco ha più probabilità di sballare. Un mazzo ricco di carte basse favorisce il banco.

Il metodo fu sviluppato negli anni 1960 e divenne ampiamente noto dopo la pubblicazione di Beat the Dealer. Funziona nel senso che un giocatore che punta di più quando il conteggio è favorevole e di meno quando è sfavorevole può spostare il valore atteso in positivo. Lo spostamento è piccolo, tipicamente da 0,5% a 1,5% a seconda del sistema di conteggio e del regolamento.

I casinò hanno risposto rimescolando prima, usando più mazzi e bandendo i contatori conosciuti. Un sabot a sei mazzi con una penetrazione del 75% offre al contatore meno opportunità di un gioco a mazzo singolo distribuito fino all’ultima carta. Il gioco moderno è progettato per ridurre l’effetto del conteggio, non per eliminarlo del tutto.

Ai fini di questa pagina, il conteggio è storia. Spiega perché i sabot vengono rimescolati quando vengono rimescolati, perché alcuni tavoli usano macchine di rimescolamento continuo e perché il regolamento di un tavolo a minimo basso è spesso peggiore del regolamento di un tavolo a minimo alto. Non è un metodo raccomandato qui, e non è un metodo che cambia il vantaggio del banco per un giocatore che non conta.

Le regole che determinano la cifra

Ogni cifra del vantaggio del banco in questa pagina dipende dalle seguenti condizioni:

• Il numero di mazzi nel sabot. Più mazzi favoriscono leggermente il banco.
• Se il banco sta o pesca sul soft 17. Pescare sul soft 17 aggiunge circa 0,2% al vantaggio del banco.
• Se il blackjack paga 3:2 o 6:5. Il 6:5 aggiunge circa 1,4% al vantaggio del banco.
• Se il giocatore può raddoppiare dopo la divisione. Consentirlo riduce il vantaggio di circa 0,1%.
• Se il giocatore può arrendersi. La resa tardiva riduce il vantaggio di circa 0,07%.
• Se il giocatore può ri-dividere gli assi. Consentirlo riduce il vantaggio di circa 0,08%.
• La strategia che il giocatore usa. Si presuppone la strategia di base. Qualsiasi deviazione aumenta il vantaggio.

Una cifra dichiarata senza queste condizioni non è una cifra. È un numero che capita di essere associato a un gioco chiamato blackjack. Lo stesso gioco, giocato con regole diverse, costa al giocatore importi diversi all’ora, e la differenza è abbastanza grande da contare.

Esempio svolto: il costo di un tavolo 6:5

Un giocatore si siede a un tavolo a sei mazzi in cui il banco sta sul soft 17 e il blackjack paga 6:5. Il giocatore punta 20 per mano e gioca 80 mani all’ora. Il giocatore segue la strategia di base.

Il vantaggio del banco per questo regolamento è di circa 1,94%. La perdita attesa all’ora è:

Passo 1: Volume = 20 × 80 = 1.600.
Passo 2: Perdita attesa = 1.600 × 0,0194 = 31,04 all'ora.

Ora confronta lo stesso giocatore a un tavolo a sei mazzi in cui il banco sta sul soft 17 e il blackjack paga 3:2. Il vantaggio del banco è di circa 0,54%. La perdita attesa all’ora è:

Passo 1: Volume = 20 × 80 = 1.600.
Passo 2: Perdita attesa = 1.600 × 0,0054 = 8,64 all'ora.

La differenza è di 22,40 all’ora. Su una sessione di quattro ore, il tavolo 6:5 costa 89,60 in più in attesa. Questo è il costo della regola di pagamento, espresso in denaro a una puntata e un ritmo di mani dichiarati.

Il giocatore che non sa che la regola esiste non può scegliere tra i due tavoli. Il giocatore che lo sa può leggere il panno prima di sedersi. L’aritmetica non richiede il nome di un operatore né una raccomandazione. Richiede il regolamento e una calcolatrice.