Probabilidades y ventaja de la casa en el blackjack

El coste de una mesa de blackjack para el jugador no es un único número. Es una función de las reglas impresas en el fieltro, el número de barajas en el zapato y cómo responde el jugador a las cartas. El mismo juego que devuelve 99.5% bajo un conjunto de reglas devuelve 98.0% bajo otro, y la diferencia no está oculta en una apuesta lateral ni en un barajado. Está en el pago de un blackjack natural y en la obligación del crupier con un 17 blando.

La cifra que importa es la ventaja de la casa: la pérdida esperada por unidad apostada. No es una propiedad de las cartas. Es una propiedad de la tabla de pagos y de la estrategia aplicada a ella. Esta página deriva esa ventaja a partir de los resultados, indica cada regla que asume la cifra y convierte el porcentaje en dinero con una apuesta y un ritmo de manos determinados.

Los resultados y sus pagos

Una mano estándar de blackjack tiene tres resultados finales para el jugador: ganar, perder o empatar. El pago por una victoria no es uniforme. Un blackjack natural paga 3:2 en la mayoría de las mesas, pero 6:5 en muchas mesas que anuncian un mínimo bajo. Una victoria normal paga 1:1. Un empate devuelve la apuesta. Una pérdida se lleva la apuesta.

La ventaja de la casa proviene de dos fuentes: el crupier actúa en último lugar, por lo que el jugador que se pasa pierde antes de que el crupier robe, y el jugador debe actuar primero con información incompleta. La estrategia fija del crupier de pedir hasta 17 y plantarse en 17 o más no es una elección. Es una regla. La elección del jugador es si sigue la estrategia básica, que es el conjunto de decisiones que maximiza el valor esperado contra un conjunto de reglas dado.

Derivación de la ventaja a partir de la tabla de pagos

La ventaja no puede derivarse solo de la tabla de pagos, porque la probabilidad de cada resultado depende de la composición del mazo y de la estrategia utilizada. Pero la contribución del pago del blackjack puede aislarse.

Consideremos un juego de una baraja donde el crupier se planta en 17 blando y el blackjack paga 3:2. La probabilidad de recibir un blackjack natural es:

(4/52) × (16/51) × 2 = 0.0483, o 4.83%.

El factor de 2 tiene en cuenta los dos órdenes: as y luego diez, o diez y luego as. La probabilidad de que el crupier también tenga un natural es aproximadamente 0.0483 × (15/50) × (3/49) × 2, pero para el propósito de la contribución al pago, la comparación relevante es la diferencia entre 3:2 y 6:5.

Con 3:2, una apuesta de 1 unidad devuelve 1.5 unidades de beneficio en un natural. Con 6:5, devuelve 1.2 unidades. La diferencia es de 0.3 unidades por natural. Multiplicamos por la probabilidad de un natural:

0.3 × 0.0483 = 0.0145, o 1.45% de la apuesta inicial.

Ese 1.45% se añade a la ventaja de la casa cuando el pago baja de 3:2 a 6:5. La cifra exacta varía ligeramente con el número de barajas y la composición, pero la magnitud es consistente: el blackjack 6:5 cuesta al jugador aproximadamente 1.4% más por mano que el 3:2, antes de considerar cualquier otra regla.

Para la ventaja completa de la casa, el cálculo requiere enumerar cada mano y la decisión óptima en cada punto. Las cifras estándar, derivadas del análisis combinatorio, son:

Estas cifras asumen que el jugador sigue la estrategia básica exactamente. También asumen que no hay rendición, no hay doblar después de dividir y no hay volver a dividir ases. Cada una de esas reglas cambia la ventaja en unas centésimas de porcentaje, y la dirección siempre favorece al jugador cuando se añade la regla.

Conversión de la ventaja a dinero por hora

Un porcentaje del volumen de apuestas no es una cantidad que la mayoría de los jugadores pueda sentir. La misma ventaja del 0.5% cuesta una cantidad diferente según cuántas manos se jueguen y cuánto se apueste por mano.

Supongamos que un jugador apuesta 10 unidades por mano, juega 60 manos por hora y enfrenta una ventaja del 0.5%.

Paso 1: Volumen total por hora = 10 × 60 = 600 unidades.
Paso 2: Pérdida esperada por hora = 600 × 0.005 = 3 unidades.

Con una apuesta de 10 unidades, eso es 3 unidades por hora. Si la unidad es 1, la pérdida esperada es 3.00 por hora. Si la unidad es 25, la pérdida esperada es 75.00 por hora.

Ahora apliquemos el mismo cálculo a una mesa 6:5 con una ventaja del 2.0%.

Paso 1: Volumen = 10 × 60 = 600 unidades.
Paso 2: Pérdida esperada = 600 × 0.02 = 12 unidades por hora.

La diferencia entre las dos mesas es de 9 unidades por hora con la misma apuesta y ritmo de manos. Durante una sesión de tres horas, la mesa 6:5 cuesta 36 unidades más en expectativa. Ese es el coste de la regla, expresado en dinero.

El número de manos por hora importa tanto como la ventaja. Una mesa llena con siete jugadores y un crupier lento puede repartir 40 manos por hora. Un juego mano a mano con un crupier rápido puede repartir 200. A 200 manos por hora y una ventaja del 0.5%, la pérdida esperada con 10 por mano es 200 × 10 × 0.005 = 10.00 por hora. A 40 manos por hora, es 2.00 por hora. La ventaja es idéntica. El coste no lo es.

Lo que la gente malinterpreta sobre las probabilidades del blackjack

El error más común es tratar la ventaja de la casa como una propiedad fija del juego en lugar de una propiedad del conjunto de reglas. Un jugador que ha leído que el blackjack tiene una ventaja del 0.5% puede sentarse en una mesa 6:5 y creer que la cifra sigue aplicándose. No es así. Solo el pago 6:5 añade aproximadamente 1.4%, y que el crupier pida con 17 blando añade otro 0.2%. La mesa que parece blackjack no es el juego que describe la cifra.

Este error es natural porque el juego se presenta bajo un solo nombre. El fieltro dice blackjack. Las cartas son las mismas. Los movimientos del crupier son los mismos. La única diferencia es una línea de texto en la esquina de la mesa, y esa línea a menudo está impresa en letra pequeña. El jugador que no sabe que debe buscarla no tiene razón para sospechar que el juego ha cambiado.

El segundo error es creer que una racha previa de resultados cambia la siguiente mano. Un zapato que ha producido diez victorias consecutivas del jugador no le debe una pérdida, y un crupier que se ha pasado cinco veces seguidas no tiene más probabilidades de pasarse de nuevo. Cada mano se reparte de un mazo disminuido, y la composición de ese mazo es lo único que importa. Las cartas no tienen memoria. El zapato no tiene que producir nada. La probabilidad de la siguiente mano está determinada por las cartas restantes, no por las cartas ya jugadas.

Este error es natural porque la mente humana busca patrones. Una secuencia de victorias parece una racha, y una racha parece que debe terminar. Pero el mazo no sabe que la racha ocurrió. Lo único que cambia las probabilidades es la eliminación de cartas específicas, y ese efecto es pequeño hasta que el mazo está muy disminuido.

El tercer error es creer que un sistema de apuestas puede superar la ventaja. Una progresión Martingala dobla la apuesta después de una pérdida, lo que cambia la distribución de resultados: muchas ganancias pequeñas, pérdidas grandes ocasionales. El valor esperado no cambia. La ventaja de la casa se aplica a cada apuesta, y ninguna secuencia de tamaños de apuesta altera la media. Un jugador que dobla después de una pérdida no mejora el retorno. Aumenta la varianza y el tamaño de la pérdida eventual.

Este error es natural porque la progresión produce una alta frecuencia de sesiones ganadoras. El jugador que dobla después de una pérdida ganará la mayoría de las sesiones, porque una sola victoria recupera todas las pérdidas anteriores más una unidad. La rara sesión en que la progresión se encuentra con una larga racha perdedora borra muchas ganancias pequeñas. La aritmética no está oculta. Solo está distribuida de forma desigual en el tiempo.

El conteo de cartas como historia, no como método

El conteo de cartas es la práctica de seguir la proporción de cartas altas respecto a las bajas en el mazo restante. Un mazo rico en dieces y ases favorece al jugador, porque el blackjack paga más de 1:1 y porque el crupier tiene más probabilidades de pasarse. Un mazo rico en cartas bajas favorece al crupier.

El método se desarrolló en la década de 1960 y se hizo ampliamente conocido tras la publicación de Beat the Dealer. Funciona en el sentido de que un jugador que apuesta más cuando el conteo es favorable y menos cuando es desfavorable puede desplazar el valor esperado a positivo. El desplazamiento es pequeño, típicamente del 0.5% al 1.5% según el sistema de conteo y el conjunto de reglas.

Los casinos respondieron barajando antes, usando más barajas y prohibiendo a los contadores conocidos. Un zapato de seis barajas con una penetración del 75% da al contador menos oportunidades que un juego de una baraja repartido hasta la última carta. El juego moderno está diseñado para reducir el efecto del conteo, no para eliminarlo por completo.

A los efectos de esta página, el conteo es historia. Explica por qué se barajan los zapatos cuando se hace, por qué algunas mesas usan máquinas de barajado continuo y por qué el conjunto de reglas de una mesa de mínimo bajo suele ser peor que el de una mesa de mínimo alto. No es un método recomendado aquí, y no es un método que cambie la ventaja de la casa para un jugador que no cuenta.

Las reglas que determinan la cifra

Cada cifra de ventaja de la casa en esta página depende de las siguientes condiciones:

• El número de barajas en el zapato. Más barajas favorecen ligeramente al crupier.
• Si el crupier se planta o pide con 17 blando. Pedir con 17 blando añade aproximadamente 0.2% a la ventaja de la casa.
• Si el blackjack paga 3:2 o 6:5. 6:5 añade aproximadamente 1.4% a la ventaja de la casa.
• Si el jugador puede doblar después de dividir. Permitirlo reduce la ventaja en aproximadamente 0.1%.
• Si el jugador puede rendirse. La rendición tardía reduce la ventaja en aproximadamente 0.07%.
• Si el jugador puede volver a dividir ases. Permitirlo reduce la ventaja en aproximadamente 0.08%.
• La estrategia que utiliza el jugador. Se asume la estrategia básica. Cualquier desviación aumenta la ventaja.

Una cifra indicada sin estas condiciones no es una cifra. Es un número que casualmente se asocia con un juego llamado blackjack. El mismo juego, jugado bajo reglas diferentes, cuesta al jugador cantidades diferentes por hora, y la diferencia es lo suficientemente grande como para importar.

Ejemplo práctico: el coste de una mesa 6:5

Un jugador se sienta en una mesa de seis barajas donde el crupier se planta en 17 blando y el blackjack paga 6:5. El jugador apuesta 20 por mano y juega 80 manos por hora. El jugador sigue la estrategia básica.

La ventaja de la casa para este conjunto de reglas es de aproximadamente 1.94%. La pérdida esperada por hora es:

Paso 1: Volumen = 20 × 80 = 1,600.
Paso 2: Pérdida esperada = 1,600 × 0.0194 = 31.04 por hora.

Ahora comparemos al mismo jugador en una mesa de seis barajas donde el crupier se planta en 17 blando y el blackjack paga 3:2. La ventaja de la casa es de aproximadamente 0.54%. La pérdida esperada por hora es:

Paso 1: Volumen = 20 × 80 = 1,600.
Paso 2: Pérdida esperada = 1,600 × 0.0054 = 8.64 por hora.

La diferencia es de 22.40 por hora. Durante una sesión de cuatro horas, la mesa 6:5 cuesta 89.60 más en expectativa. Ese es el coste de la regla de pago, expresado en dinero con una apuesta y un ritmo de manos determinados.

El jugador que no sabe que la regla existe no puede elegir entre las dos mesas. El jugador que sí lo sabe puede leer el fieltro antes de sentarse. La aritmética no requiere el nombre de un operador ni una recomendación. Requiere el conjunto de reglas y una calculadora.