Blackjack-odds og husets fordel: En regelbaseret udledning

Prisen for en spiller ved et blackjack-bord er ikke et enkelt tal. Den er en funktion af de regler, der er trykt på filten, antallet af kortstokke i shoe’en, og hvordan spilleren reagerer på kortene. Det samme spil, der giver 99,5% under ét regelsæt, giver 98,0% under et andet, og forskellen er ikke skjult i et sidebet eller en blanding. Den ligger i udbetalingen for en naturlig blackjack og i dealerens forpligtelse på en soft 17.

Det tal, der betyder noget, er husets fordel: det forventede tab pr. indsatsenhed. Det er ikke en egenskab ved kortene. Det er en egenskab ved udbetalingstabellen og den strategi, der anvendes på den. Denne side udleder denne fordel fra udfaldene, angiver hver regel, tallet forudsætter, og omregner procentdelen til penge ved en angivet indsats og rundehastighed.

Udfaldene og deres udbetalinger

En standard blackjack-hånd har tre endelige resultater for spilleren: gevinst, tab eller push. Udbetalingen for en gevinst er ikke ensartet. En naturlig blackjack betaler 3:2 ved de fleste borde, men 6:5 ved mange borde, der annoncerer et lavt minimum. En almindelig gevinst betaler 1:1. En push returnerer indsatsen. Et tab tager indsatsen.

Husets fordel kommer fra to kilder: dealeren handler sidst, så spilleren, der går over, taber før dealeren trækker, og spilleren skal handle først på ufuldstændig information. Dealerens faste strategi med at trække til 17 og stå på 17 eller mere er ikke et valg. Det er en regel. Spillerens valg er, hvorvidt de følger grundstrategi, som er det sæt beslutninger, der maksimerer den forventede værdi mod et givet regelsæt.

Udledning af fordelen fra udbetalingstabellen

Fordelen kan ikke udledes alene fra udbetalingstabellen, fordi sandsynligheden for hvert udfald afhænger af sammensætningen af kortstokken og den anvendte strategi. Men bidraget fra blackjack-udbetalingen kan isoleres.

Overvej et spil med en enkelt kortstok, hvor dealeren står på soft 17, og blackjack betaler 3:2. Sandsynligheden for at blive tildelt en naturlig blackjack er:

(4/52) × (16/51) × 2 = 0,0483, eller 4,83%.

Faktoren 2 tager højde for de to rækkefølger: es før tier, eller tier før es. Sandsynligheden for, at dealeren også har en naturlig, er cirka 0,0483 × (15/50) × (3/49) × 2, men for udbetalingens bidrag er den relevante sammenligning forskellen mellem 3:2 og 6:5.

Ved 3:2 giver en indsats på 1 enhed et overskud på 1,5 enheder på en naturlig. Ved 6:5 giver den 1,2 enheder. Forskellen er 0,3 enheder pr. naturlig. Gang med sandsynligheden for en naturlig:

0,3 × 0,0483 = 0,0145, eller 1,45% af den oprindelige indsats.

Disse 1,45% lægges til husets fordel, når udbetalingen falder fra 3:2 til 6:5. Det præcise tal varierer lidt med antallet af kortstokke og sammensætningen, men størrelsesordenen er konsistent: 6:5 blackjack koster spilleren cirka 1,4% mere pr. hånd end 3:2, før nogen anden regel tages i betragtning.

For den fulde husfordel kræver beregningen en opregning af hver hånd og den optimale beslutning på hvert punkt. Standardtallene, udledt fra kombinatorisk analyse, er:

Disse tal forudsætter, at spilleren følger grundstrategi nøjagtigt. De forudsætter også ingen overgivelse, ingen fordobling efter split, og ingen genopdeling af esser. Hver af disse regler ændrer fordelen med nogle få hundrededele af en procent, og retningen er altid til spillerens fordel, når reglen tilføjes.

Omregning af fordelen til penge pr. time

En procentdel af omsætningen er ikke en størrelse, de fleste spillere kan mærke. Den samme fordel på 0,5% koster et forskelligt beløb afhængigt af, hvor mange hænder der spilles, og hvor meget der satses pr. hånd.

Antag, at en spiller satser 10 enheder pr. hånd, spiller 60 hænder i timen og står over for en fordel på 0,5%.

Trin 1: Samlet omsætning pr. time = 10 × 60 = 600 enheder.
Trin 2: Forventet tab pr. time = 600 × 0,005 = 3 enheder.

Ved en indsats på 10 enheder er det 3 enheder i timen. Hvis enheden er 1, er det forventede tab 3,00 i timen. Hvis enheden er 25, er det forventede tab 75,00 i timen.

Anvend nu den samme beregning på et 6:5-bord med en fordel på 2,0%.

Trin 1: Omsætning = 10 × 60 = 600 enheder.
Trin 2: Forventet tab = 600 × 0,02 = 12 enheder pr. time.

Forskellen mellem de to borde er 9 enheder i timen ved samme indsats og rundehastighed. Over en session på tre timer koster 6:5-bordet 36 enheder mere i forventning. Det er prisen for reglen, udtrykt i penge.

Antallet af hænder i timen betyder lige så meget som fordelen. Et fuldt bord med syv spillere og en langsom dealer kan måske dele 40 hænder i timen ud. Et heads-up-spil med en hurtig dealer kan måske dele 200. Ved 200 hænder i timen og en fordel på 0,5% er det forventede tab ved 10 pr. hånd 200 × 10 × 0,005 = 10,00 i timen. Ved 40 hænder i timen er det 2,00 i timen. Fordelen er identisk. Omkostningen er ikke.

Hvad folk tager fejl af ved blackjack-odds

Den mest almindelige fejl er at behandle husets fordel som en fast egenskab ved spillet i stedet for en egenskab ved regelsættet. En spiller, der har læst, at blackjack har en fordel på 0,5%, kan sætte sig ved et 6:5-bord og tro, at tallet stadig gælder. Det gør det ikke. Alene 6:5-udbetalingen tilføjer omkring 1,4%, og dealerens træk på soft 17 tilføjer yderligere 0,2%. Det bord, der ligner blackjack, er ikke det spil, tallet beskriver.

Denne fejl er naturlig, fordi spillet præsenteres under ét navn. Filten siger blackjack. Kortene er de samme. Dealerens bevægelser er de samme. Den eneste forskel er en linje tekst i hjørnet af bordet, og den linje er ofte trykt med små typer. Den spiller, der ikke ved, at de skal lede efter den, har ingen grund til at mistænke, at spillet har ændret sig.

Den anden fejl er at tro, at en tidligere række resultater ændrer den næste hånd. En shoe, der har givet ti spillergevinster i træk, skylder ikke spilleren et tab, og en dealer, der er gået over fem gange i træk, er ikke mere tilbøjelig til at gå over igen. Hver hånd deles fra en formindsket kortstok, og sammensætningen af den kortstok er det eneste, der betyder noget. Kortene har ingen hukommelse. Shoe’en skal ikke producere noget. Sandsynligheden for den næste hånd bestemmes af de resterende kort, ikke af de kort, der allerede er spillet.

Denne fejl er naturlig, fordi den menneskelige hjerne søger mønstre. En sekvens af gevinster ligner en stime, og en stime føles, som om den skal slutte. Men kortstokken ved ikke, at stimen fandt sted. Det eneste, der ændrer oddsene, er fjernelsen af bestemte kort, og den effekt er lille, indtil kortstokken er dybt tømt.

Den tredje fejl er at tro, at et indsatsystem kan overvinde fordelen. En Martingale-progression fordobler indsatsen efter et tab, hvilket ændrer fordelingen af udfald: mange små gevinster, lejlighedsvise store tab. Den forventede værdi er uændret. Husets fordel gælder for hver indsats, og ingen sekvens af indsatsstørrelser ændrer middelværdien. En spiller, der fordobler efter et tab, forbedrer ikke afkastet. De øger variansen og størrelsen af det eventuelle tab.

Denne fejl er naturlig, fordi progressionen giver en høj hyppighed af vindende sessioner. Spilleren, der fordobler efter et tab, vil vinde de fleste sessioner, fordi en enkelt gevinst genvinder alle tidligere tab plus en enhed. Den sjældne session, hvor progressionen møder en lang tabsrække, udsletter mange små gevinster. Aritmetikken er ikke skjult. Den er bare fordelt ujævnt over tid.

Korttælling som historie, ikke metode

Korttælling er praksissen med at spore forholdet mellem høje og lave kort i den resterende kortstok. En kortstok rig på tiere og esser favoriserer spilleren, fordi blackjack betaler mere end 1:1, og fordi dealeren er mere tilbøjelig til at gå over. En kortstok rig på lave kort favoriserer dealeren.

Metoden blev udviklet i 1960’erne og blev almindeligt kendt efter udgivelsen af Beat the Dealer. Den virker i den forstand, at en spiller, der satser mere, når tællingen er gunstig, og mindre, når den er ugunstig, kan flytte den forventede værdi positivt. Flytningen er lille, typisk 0,5% til 1,5% afhængigt af tællesystemet og regelsættet.

Kasinoer reagerede ved at blande tidligere, bruge flere kortstokke og udelukke kendte tællere. En shoe med seks kortstokke og en penetration på 75% giver tælleren færre muligheder end et spil med en enkelt kortstok delt til sidste kort. Det moderne spil er designet til at reducere effekten af tælling, ikke til at eliminere den helt.

For formålene med denne side er tælling historie. Det forklarer, hvorfor shoes blandes, når de gør, hvorfor nogle borde bruger kontinuerlige blandesmaskiner, og hvorfor regelsættet ved et lavminimumsbord ofte er dårligere end regelsættet ved et højminimumsbord. Det er ikke en metode, der anbefales her, og det er ikke en metode, der ændrer husets fordel for en spiller, der ikke tæller.

Reglerne, der bestemmer tallet

Hvert husfordelstal på denne side afhænger af følgende betingelser:

• Antallet af kortstokke i shoe’en. Flere kortstokke favoriserer lidt dealeren.
• Om dealeren står eller trækker på soft 17. At trække på soft 17 tilføjer omkring 0,2% til husets fordel.
• Om blackjack betaler 3:2 eller 6:5. 6:5 tilføjer omkring 1,4% til husets fordel.
• Om spilleren må fordoble efter split. At tillade det reducerer fordelen med omkring 0,1%.
• Om spilleren må overgive sig. Sen overgivelse reducerer fordelen med omkring 0,07%.
• Om spilleren må genopdele esser. At tillade det reducerer fordelen med omkring 0,08%.
• Den strategi, spilleren bruger. Grundstrategi forudsættes. Enhver afvigelse øger fordelen.

Et tal angivet uden disse betingelser er ikke et tal. Det er et nummer, der tilfældigvis er forbundet med et spil kaldet blackjack. Det samme spil, spillet under forskellige regler, koster spilleren forskellige beløb i timen, og forskellen er stor nok til at betyde noget.

Gennemregnet eksempel: prisen for et 6:5-bord

En spiller sætter sig ved et bord med seks kortstokke, hvor dealeren står på soft 17, og blackjack betaler 6:5. Spilleren satser 20 pr. hånd og spiller 80 hænder i timen. Spilleren følger grundstrategi.

Husets fordel for dette regelsæt er cirka 1,94%. Det forventede tab pr. time er:

Trin 1: Omsætning = 20 × 80 = 1.600.
Trin 2: Forventet tab = 1.600 × 0,0194 = 31,04 pr. time.

Sammenlign nu den samme spiller ved et bord med seks kortstokke, hvor dealeren står på soft 17, og blackjack betaler 3:2. Husets fordel er cirka 0,54%. Det forventede tab pr. time er:

Trin 1: Omsætning = 20 × 80 = 1.600.
Trin 2: Forventet tab = 1.600 × 0,0054 = 8,64 pr. time.

Forskellen er 22,40 i timen. Over en session på fire timer koster 6:5-bordet 89,60 mere i forventning. Det er prisen for udbetalingsreglen, udtrykt i penge ved en angivet indsats og rundehastighed.

Den spiller, der ikke ved, at reglen findes, kan ikke vælge mellem de to borde. Den spiller, der ved det, kan læse filten, før de sætter sig ned. Aritmetikken kræver ikke et operatørnavn eller en anbefaling. Den kræver regelsættet og en lommeregner.