Probabilità del Keno: Vantaggio e Costo Orario

Il keno è un gioco in stile lotteria in cui un giocatore sceglie da 1 a 20 numeri da un insieme di 80, e l’operatore estrae 20 numeri a caso. I pagamenti avvengono in base a quanti dei numeri scelti dal giocatore corrispondono ai numeri estratti. Il vantaggio della casa non è una proprietà fissa del gioco; è determinato interamente dalla tabella dei pagamenti e dal numero di spot giocati. Nelle tabelle dei pagamenti comuni, il vantaggio varia all’incirca dal 20% al 35%, rendendo il keno uno dei giochi più costosi in un casinò. Questa pagina mostra come si calcola tale intervallo dal numero di esiti e dalla tabella dei pagamenti, e converte il vantaggio in denaro per ora a una puntata e a un ritmo di giocate dichiarati.

Il numero di esiti

Il primo passo per derivare il vantaggio della casa è contare il numero totale di esiti possibili. Nel keno, 20 numeri vengono estratti da 80 senza reimmissione. Il numero di combinazioni di estrazione possibili è il coefficiente binomiale C(80,20). Questo equivale a 3.535.316.142.212.174.320. Per un giocatore che ha selezionato s spot, il numero di modi per indovinare esattamente k di quegli spot è C(s,k) * C(80-s,20-k). La probabilità di indovinare k spot è quel prodotto diviso per C(80,20).

Queste probabilità sono il fondamento di ogni tabella dei pagamenti del keno. Non cambiano con l’operatore, la macchina o l’ora del giorno. Sono fissate dalle regole dell’estrazione.

Un esempio svolto: la tabella dei pagamenti a 8 spot

Consideriamo una comune tabella dei pagamenti del keno a 8 spot. Il giocatore sceglie 8 numeri. I pagamenti per aver indovinato k spot sono tipicamente:

Per trovare il ritorno atteso, calcola la probabilità di ogni esito e moltiplicala per il pagamento. Le probabilità per un gioco a 8 spot sono:

Queste probabilità sommano a 1. Il ritorno atteso è la somma di (probabilità * pagamento) per ogni esito. Usando i pagamenti sopra:

• 0 corrispondenze: 0,0883 * 0 = 0
• 1 corrispondenza: 0,2475 * 0 = 0
• 2 corrispondenze: 0,3090 * 0 = 0
• 3 corrispondenze: 0,2200 * 0 = 0
• 4 corrispondenze: 0,1000 * 1 = 0,1000
• 5 corrispondenze: 0,0285 * 5 = 0,1425
• 6 corrispondenze: 0,0048 * 50 = 0,2400
• 7 corrispondenze: 0,0004 * 500 = 0,2000
• 8 corrispondenze: 0,00002 * 10.000 = 0,2000

Sommando questi valori si ottiene un ritorno atteso di 0,1000 + 0,1425 + 0,2400 + 0,2000 + 0,2000 = 0,8825. Quindi il ritorno atteso è dell’88,25%, e il vantaggio della casa è 100% - 88,25% = 11,75%. Questo è inferiore all’intervallo del 20-35% spesso citato, perché questa particolare tabella dei pagamenti è relativamente generosa. Molte tabelle dei pagamenti del keno hanno un vantaggio più alto.

Perché il vantaggio varia così tanto

Il vantaggio della casa nel keno dipende dalla tabella dei pagamenti, che è scelta dall’operatore. Lo stesso gioco con un diverso insieme di pagamenti può avere un vantaggio drasticamente diverso. Per esempio, se la tabella dei pagamenti a 8 spot sopra fosse modificata in modo che 4 corrispondenze pagassero 0, 5 corrispondenze pagassero 2, 6 corrispondenze pagassero 20, 7 corrispondenze pagassero 100 e 8 corrispondenze pagassero 2.000, il ritorno atteso sarebbe:

• 4 corrispondenze: 0,1000 * 0 = 0
• 5 corrispondenze: 0,0285 * 2 = 0,0570
• 6 corrispondenze: 0,0048 * 20 = 0,0960
• 7 corrispondenze: 0,0004 * 100 = 0,0400
• 8 corrispondenze: 0,00002 * 2.000 = 0,0400

Ritorno atteso totale = 0,0570 + 0,0960 + 0,0400 + 0,0400 = 0,2330, ovvero 23,30%. Il vantaggio della casa è 76,70%. Questo illustra che due giochi di keno nello stesso casinò possono differire di più di dieci punti percentuali nel vantaggio, semplicemente a causa della tabella dei pagamenti.

La tabella seguente mostra il vantaggio della casa per diverse dimensioni di spot e tabelle dei pagamenti comuni. Il vantaggio dipende dal numero di spot e dai pagamenti specifici. Le cifre sono derivate dalle probabilità di indovinare k spot, che sono determinate dall’insieme di 80 numeri e dall’estrazione di 20 numeri.

I vantaggi mostrati sono approssimativi e dipendono dalla tabella dei pagamenti esatta. Per le dimensioni di spot da 1 a 7 e 10, le tabelle dei pagamenti sono spesso impostate per produrre un vantaggio del 25%. I giochi a 8 e 9 spot a volte hanno vantaggi inferiori, ma ciò non è garantito. L’unico modo per conoscere il vantaggio di uno specifico gioco di keno è leggere la sua tabella dei pagamenti ed eseguire il calcolo.

Convertire il vantaggio in denaro per ora

Una percentuale del volume di gioco non è una quantità che la maggior parte delle persone riesce a percepire. Per rendere concreto il costo, considera un giocatore che gioca 200 round di keno all’ora a una puntata di 1 per round. L’importo totale puntato all’ora è 200. Se il vantaggio della casa è del 25%, la perdita attesa all’ora è 200 * 0,25 = 50. Se il vantaggio è del 35%, la perdita attesa è 200 * 0,35 = 70. Se il vantaggio è dell’11,75%, la perdita attesa è 200 * 0,1175 = 23,50.

A una puntata di 0,50 per round e 200 round all’ora, il totale puntato è 100. La perdita attesa con un vantaggio del 25% è 25 all’ora. Con un vantaggio del 35%, è 35 all’ora.

Il ritmo dei round conta. Un giocatore che gioca 400 round all’ora a 1 per round punta 400 all’ora. Con un vantaggio del 25%, la perdita attesa è 100 all’ora. Il costo scala linearmente con il numero di round e con la puntata.

Ecco perché il keno è spesso descritto come una delle scommesse peggiori del casinò. Un giocatore che passa un’ora a un tavolo di blackjack con un vantaggio dello 0,5% e una puntata di 100 all’ora potrebbe aspettarsi di perdere 0,50 all’ora. Lo stesso giocatore a una macchina di keno con un vantaggio del 25% e una puntata di 200 all’ora si aspetta di perdere 50 all’ora. La differenza è di due ordini di grandezza.

Cosa si sbaglia sulle probabilità del keno

L’errore più comune è presumere che il vantaggio della casa sia lo stesso per tutti i giochi di keno. Non lo è. Il vantaggio è funzione della tabella dei pagamenti, e le tabelle dei pagamenti variano ampiamente. Due giochi di keno nello stesso casinò, anche su macchine adiacenti, possono avere vantaggi che differiscono di dieci punti percentuali o più. Un giocatore che presume un vantaggio del 25% quando il vantaggio reale è del 35% sottovaluterà il costo del 40%.

Un altro errore è credere che certi numeri abbiano più probabilità di essere estratti perché non sono apparsi di recente. Questa è la fallacia del giocatore. Ogni estrazione è indipendente. La probabilità che un numero specifico venga estratto è 20/80 = 0,25, indipendentemente da ciò che è accaduto nelle estrazioni precedenti. La macchina non ha memoria. Nel keno non esiste un numero in ritardo.

Un terzo errore è pensare che giocare più numeri migliori le probabilità. Giocare più spot cambia la varianza e la tabella dei pagamenti, ma non cambia il vantaggio fondamentale della casa a meno che la tabella dei pagamenti sia diversa. Infatti, alcune dimensioni di spot hanno vantaggi più alti di altre. Il vantaggio è determinato dalla tabella dei pagamenti, non dal numero di spot in sé.

Questi errori sono naturali perché il keno è presentato come una lotteria, e le lotterie spesso evocano un senso di schema e fortuna. La mente umana cerca schemi in eventi casuali. Ma la matematica del keno è fissa e può essere calcolata esattamente. L’unica incognita è la tabella dei pagamenti, che è stampata sulla macchina o disponibile nella schermata di aiuto del gioco.

Il ruolo del keno gratuito e del keno online

I giochi di keno gratuiti, spesso disponibili online, usano la stessa meccanica di estrazione ma non comportano denaro reale. Sono utili per comprendere il flusso del gioco e le probabilità dei diversi esiti, ma non cambiano il vantaggio della casa. Quando è coinvolto denaro reale, il vantaggio è determinato dalla tabella dei pagamenti dello specifico gioco.

I giochi di keno online possono avere tabelle dei pagamenti diverse da quelle delle macchine terrestri. Alcuni casinò online offrono keno con vantaggi bassi come il 5% o alti come il 35%. Vale la stessa regola: leggi la tabella dei pagamenti e calcola il ritorno atteso. Il numero di esiti è sempre basato su 80 numeri e un’estrazione di 20 numeri, quindi le probabilità sono le stesse. Cambiano solo i pagamenti.

Il super keno è una variante che a volte offre una tabella dei pagamenti diversa o funzionalità aggiuntive, come un moltiplicatore. Queste funzionalità possono cambiare il vantaggio, ma non cambiano le probabilità sottostanti. Il vantaggio è comunque derivato dalla tabella dei pagamenti e dal numero di esiti.

Come calcolare il vantaggio per qualsiasi tabella dei pagamenti del keno

Il metodo è lo stesso per qualsiasi tabella dei pagamenti. Per un dato numero di spot s, elenca i pagamenti per ogni possibile numero di corrispondenze k (da 0 a s). Per ogni k, calcola la probabilità P(k) = C(s,k) * C(80-s,20-k) / C(80,20). Poi moltiplica P(k) per il pagamento per k e somma questi prodotti. Il risultato è il ritorno atteso. Il vantaggio della casa è 1 meno il ritorno atteso.

Questo calcolo può essere fatto con un foglio di calcolo o una calcolatrice. I coefficienti binomiali possono essere calcolati usando la formula C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!). Per numeri grandi, usa una calcolatrice che gestisce interi grandi oppure usa i logaritmi.

Per esempio, per s=8, la probabilità di indovinare 4 è C(8,4)*C(72,16)/C(80,20). C(8,4)=70. C(72,16) è un numero grande, ma il rapporto può essere calcolato. Il risultato è approssimativamente 0,1000. La probabilità di indovinare 8 è C(8,8)*C(72,12)/C(80,20) = 1 * C(72,12)/C(80,20) ≈ 0,00002.

Una volta note le probabilità, il ritorno atteso è immediato. L’unica variabile è la tabella dei pagamenti.

Riepilogo del costo

Il keno è un gioco con un alto vantaggio della casa, tipicamente tra il 20% e il 35%. Il vantaggio è determinato dalla tabella dei pagamenti, che varia da operatore a operatore e in base alla dimensione dello spot. A una puntata di 1 per round e 200 round all’ora, la perdita attesa varia da circa 23,50 a 70 all’ora, a seconda del vantaggio. A una puntata di 0,50 per round, la perdita varia da circa 11,75 a 35 all’ora. Queste cifre sono valori attesi; i risultati effettivi varieranno. Il vantaggio non è influenzato dagli esiti precedenti, dal numero di spot giocati o dal fatto che il gioco sia gratuito o con denaro. È una proprietà fissa della tabella dei pagamenti e dell’estrazione.