Cotes du keno : avantage de la maison et coût horaire

Le keno est un jeu de type loterie dans lequel un joueur choisit entre 1 et 20 numéros parmi un ensemble de 80, et l’opérateur tire 20 numéros au hasard. Les gains sont versés selon le nombre de numéros choisis par le joueur qui correspondent aux numéros tirés. L’avantage de la maison n’est pas une propriété fixe du jeu ; il est entièrement déterminé par le tableau des gains et le nombre de numéros joués. Sur les tableaux de gains courants, l’avantage va d’environ 20 % à 35 %, ce qui fait du keno l’un des jeux les plus coûteux du casino. Cette page montre comment cette fourchette est calculée à partir du nombre de résultats et du tableau des gains, et convertit l’avantage en argent par heure pour une mise et un rythme de parties donnés.

Le nombre de résultats

La première étape pour dériver l’avantage de la maison est de compter le nombre total de résultats possibles. Au keno, 20 numéros sont tirés parmi 80 sans remise. Le nombre de combinaisons de tirage possibles est le coefficient binomial C(80,20). Celui-ci est égal à 3 535 316 142 212 174 320. Pour un joueur qui a sélectionné s numéros, le nombre de façons de faire exactement k correspondances parmi ces numéros est C(s,k) * C(80-s,20-k). La probabilité de faire k correspondances est ce produit divisé par C(80,20).

Ces probabilités sont la base de tout tableau des gains au keno. Elles ne changent ni avec l’opérateur, ni avec la machine, ni avec l’heure de la journée. Elles sont fixées par les règles du tirage.

Un exemple détaillé : le tableau des gains à 8 numéros

Prenons un tableau des gains courant au keno à 8 numéros. Le joueur choisit 8 numéros. Les gains pour k correspondances sont généralement :

Pour trouver le retour attendu, calculez la probabilité de chaque résultat et multipliez-la par le gain. Les probabilités pour un jeu à 8 numéros sont :

Ces probabilités totalisent 1. Le retour attendu est la somme de (probabilité * gain) pour chaque résultat. En utilisant les gains ci-dessus :

• 0 correspondance : 0,0883 * 0 = 0
• 1 correspondance : 0,2475 * 0 = 0
• 2 correspondances : 0,3090 * 0 = 0
• 3 correspondances : 0,2200 * 0 = 0
• 4 correspondances : 0,1000 * 1 = 0,1000
• 5 correspondances : 0,0285 * 5 = 0,1425
• 6 correspondances : 0,0048 * 50 = 0,2400
• 7 correspondances : 0,0004 * 500 = 0,2000
• 8 correspondances : 0,00002 * 10 000 = 0,2000

En additionnant ces valeurs, on obtient un retour attendu de 0,1000 + 0,1425 + 0,2400 + 0,2000 + 0,2000 = 0,8825. Le retour attendu est donc de 88,25 %, et l’avantage de la maison est de 100 % - 88,25 % = 11,75 %. C’est inférieur à la fourchette de 20 à 35 % souvent citée, car ce tableau des gains particulier est relativement généreux. De nombreux tableaux des gains au keno ont un avantage plus élevé.

Pourquoi l’avantage varie autant

L’avantage de la maison au keno dépend du tableau des gains, qui est choisi par l’opérateur. Le même jeu avec un ensemble de gains différent peut avoir un avantage radicalement différent. Par exemple, si le tableau des gains à 8 numéros ci-dessus était modifié pour que 4 correspondances paient 0, 5 correspondances paient 2, 6 correspondances paient 20, 7 correspondances paient 100 et 8 correspondances paient 2 000, le retour attendu serait :

• 4 correspondances : 0,1000 * 0 = 0
• 5 correspondances : 0,0285 * 2 = 0,0570
• 6 correspondances : 0,0048 * 20 = 0,0960
• 7 correspondances : 0,0004 * 100 = 0,0400
• 8 correspondances : 0,00002 * 2 000 = 0,0400

Retour attendu total = 0,0570 + 0,0960 + 0,0400 + 0,0400 = 0,2330, soit 23,30 %. L’avantage de la maison est de 76,70 %. Cela illustre que deux jeux de keno dans le même casino peuvent différer de plus de dix points de pourcentage en avantage, simplement à cause du tableau des gains.

Le tableau suivant montre l’avantage de la maison pour plusieurs tailles de numéros et tableaux de gains courants. L’avantage dépend du nombre de numéros et des gains spécifiques. Les chiffres sont dérivés des probabilités de faire k correspondances, qui sont déterminées par l’ensemble de 80 numéros et le tirage de 20 numéros.

Les avantages indiqués sont approximatifs et dépendent du tableau des gains exact. Pour les tailles de 1 à 7 et 10 numéros, les tableaux de gains sont souvent fixés pour produire un avantage de 25 %. Les jeux à 8 et 9 numéros ont parfois des avantages plus faibles, mais ce n’est pas garanti. La seule façon de connaître l’avantage d’un jeu de keno spécifique est de lire son tableau des gains et d’effectuer le calcul.

Convertir l’avantage en argent par heure

Un pourcentage du chiffre d’affaires n’est pas une quantité que la plupart des gens peuvent ressentir. Pour rendre le coût concret, considérons un joueur qui joue 200 parties de keno par heure avec une mise de 1 par partie. Le montant total misé par heure est de 200. Si l’avantage de la maison est de 25 %, la perte attendue par heure est de 200 * 0,25 = 50. Si l’avantage est de 35 %, la perte attendue est de 200 * 0,35 = 70. Si l’avantage est de 11,75 %, la perte attendue est de 200 * 0,1175 = 23,50.

Avec une mise de 0,50 par partie et 200 parties par heure, le total misé est de 100. La perte attendue avec un avantage de 25 % est de 25 par heure. Avec un avantage de 35 %, elle est de 35 par heure.

Le rythme des parties compte. Un joueur qui joue 400 parties par heure à 1 par partie mise 400 par heure. Avec un avantage de 25 %, la perte attendue est de 100 par heure. Le coût évolue linéairement avec le nombre de parties et la mise.

C’est pourquoi le keno est souvent décrit comme l’un des pires paris du casino. Un joueur qui passe une heure à une table de blackjack avec un avantage de 0,5 % et une mise de 100 par heure peut s’attendre à perdre 0,50 par heure. Le même joueur à une machine de keno avec un avantage de 25 % et une mise de 200 par heure s’attend à perdre 50 par heure. La différence est de deux ordres de grandeur.

Ce que les gens comprennent mal au sujet des cotes du keno

L’erreur la plus courante est de supposer que l’avantage de la maison est le même pour tous les jeux de keno. Ce n’est pas le cas. L’avantage est fonction du tableau des gains, et les tableaux de gains varient considérablement. Deux jeux de keno dans le même casino, même sur des machines adjacentes, peuvent avoir des avantages qui diffèrent de dix points de pourcentage ou plus. Un joueur qui suppose un avantage de 25 % alors que l’avantage réel est de 35 % sous-estimera le coût de 40 %.

Une autre erreur est de croire que certains numéros sont plus susceptibles d’être tirés parce qu’ils ne sont pas apparus récemment. C’est le sophisme du joueur. Chaque tirage est indépendant. La probabilité qu’un numéro spécifique soit tiré est de 20/80 = 0,25, indépendamment de ce qui s’est passé lors des tirages précédents. La machine n’a pas de mémoire. Il n’existe pas de numéro en retard au keno.

Une troisième erreur est de penser que jouer plus de numéros améliore les cotes. Jouer plus de numéros change la variance et le tableau des gains, mais cela ne change pas l’avantage fondamental de la maison, sauf si le tableau des gains est différent. En fait, certaines tailles de numéros ont des avantages plus élevés que d’autres. L’avantage est déterminé par le tableau des gains, pas par le nombre de numéros en soi.

Ces erreurs sont naturelles parce que le keno est présenté comme une loterie, et les loteries évoquent souvent un sentiment de schéma et de chance. L’esprit humain cherche des schémas dans les événements aléatoires. Mais les mathématiques du keno sont fixes et peuvent être calculées exactement. La seule inconnue est le tableau des gains, qui est imprimé sur la machine ou disponible dans l’écran d’aide du jeu.

Le rôle du keno gratuit et du keno en ligne

Les jeux de keno gratuits, souvent disponibles en ligne, utilisent les mêmes mécanismes de tirage mais n’impliquent pas d’argent réel. Ils sont utiles pour comprendre le déroulement du jeu et les probabilités des différents résultats, mais ils ne changent pas l’avantage de la maison. Lorsque de l’argent réel est en jeu, l’avantage est déterminé par le tableau des gains du jeu spécifique.

Les jeux de keno en ligne peuvent avoir des tableaux de gains différents de ceux des machines terrestres. Certains casinos en ligne proposent du keno avec des avantages aussi faibles que 5 % ou aussi élevés que 35 %. La même règle s’applique : lisez le tableau des gains et calculez le retour attendu. Le nombre de résultats est toujours basé sur 80 numéros et un tirage de 20 numéros, donc les probabilités sont les mêmes. Seuls les gains changent.

Le super keno est une variante qui offre parfois un tableau des gains différent ou des fonctionnalités supplémentaires, comme un multiplicateur. Ces fonctionnalités peuvent changer l’avantage, mais elles ne changent pas les probabilités sous-jacentes. L’avantage est toujours dérivé du tableau des gains et du nombre de résultats.

Comment calculer l’avantage pour n’importe quel tableau des gains au keno

La méthode est la même pour n’importe quel tableau des gains. Pour un nombre donné de numéros s, listez les gains pour chaque nombre possible de correspondances k (de 0 à s). Pour chaque k, calculez la probabilité P(k) = C(s,k) * C(80-s,20-k) / C(80,20). Multipliez ensuite P(k) par le gain pour k et additionnez ces produits. Le résultat est le retour attendu. L’avantage de la maison est 1 moins le retour attendu.

Ce calcul peut être effectué avec un tableur ou une calculatrice. Les coefficients binomiaux peuvent être calculés à l’aide de la formule C(n,r) = n ! / (r ! * (n-r) !). Pour les grands nombres, utilisez une calculatrice qui gère les grands entiers ou utilisez des logarithmes.

Par exemple, pour s=8, la probabilité de faire 4 correspondances est C(8,4)*C(72,16)/C(80,20). C(8,4)=70. C(72,16) est un grand nombre, mais le rapport peut être calculé. Le résultat est approximativement 0,1000. La probabilité de faire 8 correspondances est C(8,8)*C(72,12)/C(80,20) = 1 * C(72,12)/C(80,20) ≈ 0,00002.

Une fois les probabilités connues, le retour attendu est simple à calculer. La seule variable est le tableau des gains.

Résumé du coût

Le keno est un jeu avec un avantage de la maison élevé, généralement entre 20 % et 35 %. L’avantage est déterminé par le tableau des gains, qui varie selon l’opérateur et la taille des numéros. Avec une mise de 1 par partie et 200 parties par heure, la perte attendue va d’environ 23,50 à 70 par heure, selon l’avantage. Avec une mise de 0,50 par partie, la perte va d’environ 11,75 à 35 par heure. Ces chiffres sont des valeurs attendues ; les résultats réels varieront. L’avantage n’est pas affecté par les résultats précédents, par le nombre de numéros joués, ni par le fait que le jeu soit gratuit ou payant. C’est une propriété fixe du tableau des gains et du tirage.