Sic Bo e Dragon Tiger: vantagem da casa por aposta

Sic Bo e Dragon Tiger são jogos de dados e de cartas que aparecem nos mesmos lobbies voltados para a Ásia, e compartilham uma propriedade útil: a tabela de pagamentos é curta o suficiente para ser conferida à mão. Isso importa porque a diferença entre a melhor e a pior aposta em um layout de Sic Bo é maior do que em quase qualquer outro jogo de mesa. Grande/Pequeno custa cerca de 2,78 centavos por dólar apostado. Um triplo específico custa mais de 30. As duas apostas ficam a centímetros uma da outra no pano.

Sic Bo: três dados, uma rolagem

Sic Bo é jogado com três dados padrão de seis faces em um copo coberto. O jogador aposta no resultado de uma única rolagem. Os dados são independentes, então o número de resultados igualmente prováveis é 6 x 6 x 6 = 216. Toda vantagem no layout é uma comparação entre o pagamento e o número desses 216 resultados que vencem.

O layout é grande. As apostas que importam para o custo são as que o jogador tem mais probabilidade de usar: Grande, Pequeno, combinações, totais e triplos.

A tabela de pagamentos e a aritmética por trás dela

Toda vantagem nessa tabela é (probabilidades reais menos pagamento) dividido por (probabilidades reais mais um), ou de forma equivalente 1 menos (pagamento + 1) x (resultados vencedores / 216). As duas formas concordam porque a aposta é devolvida na vitória.

Os pagamentos diferem entre mesas, e a vantagem muda com eles. As linhas acima usam pagamentos comuns. Onde um duplo específico paga 8 para 1 em vez de 10 para 1, a vantagem é 1 - 9 x 16/216 = 33,33%. Onde um total de 6 ou 15 paga 18 para 1 em vez de 17 para 1, a vantagem é 1 - 19 x 10/216 = 12,04%. Leia o pagamento impresso na mesa em uso e recalcule a linha com a fórmula.

Cálculo detalhado: Grande e Pequeno

Grande ganha nos totais de 11 a 17, excluindo qualquer triplo. Pequeno ganha de 4 a 10, excluindo qualquer triplo. As duas apostas são simétricas, então um cálculo cobre ambas.

Passo 1. Conte os resultados que produzem cada total com três dados. O número de maneiras de rolar um total t é o coeficiente de x^t em (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3. Para totais de 4 a 10, as contagens são 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27. Some-as: 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 25 + 27 = 107.

Passo 2. Remova os triplos. Dos seis triplos, 1-1-1 soma 3 e 4-4-4, 5-5-5 e 6-6-6 somam 12, 15 e 18, todos fora do intervalo. Apenas 2-2-2 (total 6) e 3-3-3 (total 9) caem dentro de 4-10. Isso é 2 resultados.

Passo 3. Resultados vencedores: 107 - 2 = 105.

Passo 4. Resultados perdedores: 216 - 105 = 111.

Passo 5. Probabilidades reais contra a vitória: 111 para 105, que se reduz a 1,057 para 1. O pagamento é 1 para 1.

Passo 6. Valor esperado por 1 apostado: (105/216) x 1 - (111/216) x 1 = (105 - 111) / 216 = -6/216 = -0,0278. A vantagem da casa é 2,78%.

O leitor pode repetir isso com qualquer aposta: conte os resultados vencedores, divida por 216, multiplique pelo pagamento, subtraia os resultados perdedores divididos por 216.

Cálculo detalhado: um triplo específico

Um triplo específico, digamos 4-4-4, ganha em exatamente um resultado de 216. O pagamento é 150 para 1.

Valor esperado por 1 apostado: (1/216) x 150 - (215/216) x 1 = 150/216 - 215/216 = -65/216 = -0,3009. A vantagem da casa é 30,09%.

O mesmo cálculo para qualquer triplo: (6/216) x 30 - (210/216) x 1 = 180/216 - 210/216 = -30/216 = -13,89%.

A diferença entre 2,78% e 30,09% é toda a história do Sic Bo. O layout não a esconde, mas os números são impressos como pagamentos, não como vantagens.

Quanto custa por hora

Uma porcentagem do volume apostado não é uma quantidade que a maioria das pessoas consegue sentir. Dinheiro por hora é. O valor depende da aposta por rodada e do número de rodadas por hora, ambos controlados pelo jogador. Sic Bo é um jogo de uma única rolagem, então uma mesa rápida pode resolver de 60 a 100 apostas por hora. Uma mesa online mais lenta com dealer ao vivo e janela de apostas costuma rodar de 40 a 60.

Com 1 por aposta e 60 apostas por hora, 60 são movimentados a cada hora. A perda esperada é a vantagem vezes o volume apostado.

• Grande ou Pequeno a 2,78%: 60 x 6/216 = 1,67 por hora.
• Duplo específico a 18,52%: 60 x 40/216 = 11,11 por hora.
• Qualquer triplo a 13,89%: 60 x 30/216 = 8,33 por hora.
• Triplo específico a 30,09%: 60 x 65/216 = 18,06 por hora.

Com 5 por aposta e 60 apostas por hora, o volume é 300. As mesmas vantagens produzem 8,33, 55,56, 41,67 e 90,28 por hora, respectivamente. A aposta escala o custo linearmente. A vantagem não muda.

Esses são valores esperados, não previsões. Em uma hora, o resultado real será maior ou menor, muitas vezes por muito, porque a variância em uma aposta de 150 para 1 é grande. O valor esperado é a média ao longo de muitas horas, e é o único número que responde à seleção de apostas.

Dragon Tiger

Dragon Tiger é um jogo de duas cartas. Uma carta é distribuída para Dragon e uma para Tiger, geralmente de um shoe de oito baralhos padrão de 52 cartas. A ordem de classificação é Ás baixo, depois 2 a 10, depois Valete, Dama, Rei. Os naipes são irrelevantes. A carta mais alta vence. Se as classificações forem iguais, a aposta Tie vence, e sob as regras comuns uma aposta em Dragon ou Tiger perde metade da aposta. Algumas mesas levam a aposta inteira em caso de empate.

O jogador aposta em Dragon, Tiger ou Tie. Dragon e Tiger pagam 1 para 1. Tie paga 11 para 1 em muitas mesas e 8 para 1 em outras.

A vantagem depende da regra de empate e do pagamento do Tie, então ambos são colunas na tabela. Os números são para um shoe de oito baralhos, que tem 416 cartas e 416 x 415 = 172.640 distribuições ordenadas de duas cartas.

Cálculo detalhado para o shoe de oito baralhos:

Cartas no shoe:             8 x 52 = 416
Distribuições ordenadas de duas cartas: 416 x 415 = 172.640
Distribuições de empate:    13 classificações x (32 x 31) = 13 x 992 = 12.896
Dragon vence = Tiger vence: (172.640 - 12.896) / 2 = 79.872
P(Dragon) = P(Tiger):       79.872 / 172.640 = 0,462651
P(empate):                  12.896 / 172.640 = 0,074699
Dragon, metade perdida no empate: 0,462651 - 0,462651 - 0,5 x 0,074699 = -0,037349 -> 3,73%
Dragon, aposta inteira perdida:   0,462651 - 0,462651 - 0,074699 = -0,074699 -> 7,47%
Tie a 11 para 1:            12 x 0,074699 - 1 = -0,103614 -> 10,36%
Tie a 8 para 1:             9 x 0,074699 - 1 = -0,327711 -> 32,77%

A vantagem de Dragon e Tiger vem inteiramente do empate. Dragon e Tiger vencem com a mesma frequência, então sem uma regra de empate a aposta seria equilibrada; a parte da casa é a fração da aposta que ela mantém quando as classificações coincidem. É por isso que a regra de empate decide o número, e por que uma mesa que leva a aposta inteira no empate custa o dobro de uma que leva metade.

O número de baralhos importa menos que a regra de empate. Com um único baralho de 52 cartas há 52 x 51 = 2.652 distribuições ordenadas e 13 x 12 = 156 empates, então P(empate) = 156/2.652 = 0,058824: Dragon custa 2,94% com metade perdida no empate e 5,88% com a aposta inteira perdida, e Tie a 11 para 1 custa 12 x 0,058824 - 1 = 29,41%.

Com 1 por aposta e 60 apostas por hora, Dragon a 3,73% custa cerca de 60 x 0,037349 = 2,24 por hora, e Tie a 11 para 1 custa cerca de 60 x 0,103614 = 6,22 por hora. As apostas principais do Dragon Tiger ficam logo acima do Grande e Pequeno do Sic Bo a 2,78%; sua aposta Tie fica entre as apostas caras do Sic Bo.

O que as pessoas erram

O erro mais comum é tratar o pagamento como a medida da aposta. Um pagamento de 150 para 1 em um triplo específico parece a melhor aposta do layout. É a pior. O pagamento é grande porque o evento é raro, e a diferença entre 150 para 1 e o real 215 para 1 é onde mora a vantagem da casa. O erro é natural porque o layout imprime pagamentos, não vantagens, e o maior número atrai o olhar.

O segundo erro é assumir que uma aposta que não ganhou tem mais chance de ganhar. Os dados não têm memória. Cada rolagem é independente, e os 216 resultados são igualmente prováveis em cada rolagem. Um triplo que não apareceu em cinquenta rolagens tem exatamente a mesma chance na próxima rolagem que tinha na primeira. Essa crença é cara porque incentiva aumentar as apostas nas apostas com as maiores vantagens.

O terceiro erro é aplicar uma progressão ao Sic Bo ou ao Dragon Tiger. Uma Martingale em Grande/Pequeno dobra a aposta após uma perda. Ela muda a distribuição dos resultados: muitas vitórias pequenas, perdas grandes ocasionais. O valor esperado por unidade apostada permanece 2,78%. A progressão não melhora o retorno; ela concentra o risco.