Sic Bo et Dragon Tiger : avantage de la maison par pari

Le Sic Bo et le Dragon Tiger sont des jeux de dés et de cartes qui apparaissent dans les mêmes salles asiatiques, et ils partagent une propriété utile : la table des gains est assez courte pour être vérifiée à la main. C’est important car l’écart entre le meilleur et le pire pari sur une table de Sic Bo est plus large que sur presque tout autre jeu de table. Grand/Petit coûte environ 2,78 centimes par dollar misé. Un triple précis coûte plus de 30. Les deux paris sont à quelques centimètres l’un de l’autre sur le tapis.

Sic Bo : trois dés, un lancer

Le Sic Bo se joue avec trois dés standard à six faces dans un gobelet couvert. Le joueur parie sur le résultat d’un seul lancer. Les dés sont indépendants, donc le nombre de résultats équiprobables est 6 x 6 x 6 = 216. Chaque avantage sur la table est une comparaison entre le gain et le nombre de ces 216 résultats qui gagnent.

La table est grande. Les paris qui comptent pour le coût sont ceux qu’un joueur est le plus susceptible d’utiliser : Grand, Petit, combinaisons, totaux et triples.

La table des gains et l’arithmétique derrière

Chaque avantage dans ce tableau est (cotes réelles moins gain) divisé par (cotes réelles plus un), ou de façon équivalente 1 moins (gain + 1) x (résultats gagnants / 216). Les deux formes concordent car la mise est rendue en cas de gain.

Les gains diffèrent entre les tables, et l’avantage varie avec eux. Les lignes ci-dessus utilisent des gains courants. Là où un double précis paie 8 pour 1 au lieu de 10 pour 1, l’avantage est 1 - 9 x 16/216 = 33,33 %. Là où un total de 6 ou 15 paie 18 pour 1 au lieu de 17 pour 1, l’avantage est 1 - 19 x 10/216 = 12,04 %. Lisez le gain imprimé sur la table réellement utilisée et recalculez la ligne avec la formule.

Calcul détaillé : Grand et Petit

Grand gagne sur les totaux de 11 à 17, à l’exclusion de tout triple. Petit gagne sur 4 à 10, à l’exclusion de tout triple. Les deux paris sont symétriques, donc un seul calcul couvre les deux.

Étape 1. Comptez les résultats qui produisent chaque total avec trois dés. Le nombre de façons d’obtenir un total t est le coefficient de x^t dans (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3. Pour les totaux de 4 à 10, les comptes sont 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27. Additionnez-les : 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 25 + 27 = 107.

Étape 2. Retirez les triples. Sur les six triples, 1-1-1 totalise 3 et 4-4-4, 5-5-5 et 6-6-6 totalisent 12, 15 et 18, tous en dehors de la plage. Seuls 2-2-2 (total 6) et 3-3-3 (total 9) tombent dans 4-10. Cela fait 2 résultats.

Étape 3. Résultats gagnants : 107 - 2 = 105.

Étape 4. Résultats perdants : 216 - 105 = 111.

Étape 5. Cotes réelles contre le gain : 111 pour 105, ce qui se réduit à 1,057 pour 1. Le gain est de 1 pour 1.

Étape 6. Valeur attendue par 1 misé : (105/216) x 1 - (111/216) x 1 = (105 - 111) / 216 = -6/216 = -0,0278. L’avantage de la maison est de 2,78 %.

Un lecteur peut répéter cela avec n’importe quel pari : comptez les résultats gagnants, divisez par 216, multipliez par le gain, soustrayez les résultats perdants divisés par 216.

Calcul détaillé : un triple précis

Un triple précis, disons 4-4-4, gagne sur exactement un résultat sur 216. Le gain est de 150 pour 1.

Valeur attendue par 1 misé : (1/216) x 150 - (215/216) x 1 = 150/216 - 215/216 = -65/216 = -0,3009. L’avantage de la maison est de 30,09 %.

Le même calcul pour tout triple : (6/216) x 30 - (210/216) x 1 = 180/216 - 210/216 = -30/216 = -13,89 %.

L’écart entre 2,78 % et 30,09 % est toute l’histoire du Sic Bo. La table ne le cache pas, mais les chiffres sont imprimés comme des gains, pas comme des avantages.

Ce que cela coûte par heure

Un pourcentage du chiffre d’affaires n’est pas une quantité que la plupart des gens peuvent ressentir. L’argent par heure l’est. Le chiffre dépend de la mise par pari et du nombre de paris par heure, deux paramètres que le joueur contrôle. Le Sic Bo est un jeu à un seul lancer, donc une table rapide peut résoudre 60 à 100 paris par heure. Une table en ligne plus lente avec un croupier en direct et une fenêtre de pari tourne souvent à 40 à 60.

À 1 par pari et 60 paris par heure, 60 est misé chaque heure. La perte attendue est l’avantage multiplié par le chiffre d’affaires.

• Grand ou Petit à 2,78 % : 60 x 6/216 = 1,67 par heure.
• Double précis à 18,52 % : 60 x 40/216 = 11,11 par heure.
• Tout triple à 13,89 % : 60 x 30/216 = 8,33 par heure.
• Triple précis à 30,09 % : 60 x 65/216 = 18,06 par heure.

À 5 par pari et 60 paris par heure, le chiffre d’affaires est de 300. Les mêmes avantages produisent respectivement 8,33, 55,56, 41,67 et 90,28 par heure. La mise multiplie le coût linéairement. L’avantage ne change pas.

Ce sont des valeurs attendues, pas des prédictions. Sur une heure, le résultat réel sera plus élevé ou plus bas, souvent de beaucoup, car la variance sur un pari à 150 pour 1 est grande. La valeur attendue est la moyenne sur de nombreuses heures, et c’est le seul chiffre qui répond à la sélection des paris.

Dragon Tiger

Le Dragon Tiger est un jeu à deux cartes. Une carte est distribuée au Dragon et une au Tigre, généralement depuis un sabot de huit jeux de 52 cartes standard. L’ordre des rangs est As bas, puis 2 à 10, puis Valet, Dame, Roi. Les couleurs n’ont pas d’importance. La carte la plus haute gagne. Si les rangs sont égaux, le pari Égalité gagne, et selon les règles courantes un pari Dragon ou Tigre perd la moitié de sa mise. Certaines tables prennent la mise entière en cas d’égalité.

Le joueur parie sur Dragon, Tigre ou Égalité. Dragon et Tigre paient 1 pour 1. Égalité paie 11 pour 1 à de nombreuses tables et 8 pour 1 à d’autres.

L’avantage dépend de la règle d’égalité et du gain de l’Égalité, donc les deux sont des colonnes du tableau. Les chiffres sont pour un sabot de huit jeux, qui a 416 cartes et 416 x 415 = 172 640 distributions ordonnées de deux cartes.

Calcul détaillé pour le sabot de huit jeux :

Cartes dans le sabot :          8 x 52 = 416
Distributions ordonnées de deux cartes : 416 x 415 = 172 640
Distributions d'égalité :       13 rangs x (32 x 31) = 13 x 992 = 12 896
Victoires Dragon = victoires Tigre : (172 640 - 12 896) / 2 = 79 872
P(Dragon) = P(Tigre) :          79 872 / 172 640 = 0,462651
P(égalité) :                    12 896 / 172 640 = 0,074699
Dragon, moitié perdue en cas d'égalité : 0,462651 - 0,462651 - 0,5 x 0,074699 = -0,037349 -> 3,73 %
Dragon, mise entière perdue :   0,462651 - 0,462651 - 0,074699 = -0,074699 -> 7,47 %
Égalité à 11 pour 1 :            12 x 0,074699 - 1 = -0,103614 -> 10,36 %
Égalité à 8 pour 1 :             9 x 0,074699 - 1 = -0,327711 -> 32,77 %

L’avantage du Dragon et du Tigre vient entièrement de l’égalité. Dragon et Tigre gagnent aussi souvent l’un que l’autre, donc sans règle d’égalité le pari serait équitable ; la part de la maison est la partie de la mise qu’elle garde lorsque les rangs correspondent. C’est pourquoi la règle d’égalité décide du chiffre, et pourquoi une table qui prend la mise entière en cas d’égalité coûte deux fois plus qu’une qui en prend la moitié.

Le nombre de jeux compte moins que la règle d’égalité. Avec un seul jeu de 52 cartes, il y a 52 x 51 = 2 652 distributions ordonnées et 13 x 12 = 156 égalités, donc P(égalité) = 156/2 652 = 0,058824 : Dragon coûte 2,94 % avec la moitié perdue en cas d’égalité et 5,88 % avec la mise entière perdue, et Égalité à 11 pour 1 coûte 12 x 0,058824 - 1 = 29,41 %.

À 1 par pari et 60 paris par heure, Dragon à 3,73 % coûte environ 60 x 0,037349 = 2,24 par heure, et Égalité à 11 pour 1 coûte environ 60 x 0,103614 = 6,22 par heure. Les paris principaux du Dragon Tiger se situent juste au-dessus du Grand et du Petit du Sic Bo à 2,78 % ; son pari Égalité se situe parmi les paris coûteux du Sic Bo.

Ce que les gens comprennent mal

L’erreur la plus courante est de traiter le gain comme la mesure du pari. Un gain de 150 pour 1 sur un triple précis semble être le meilleur pari de la table. C’est le pire. Le gain est élevé parce que l’événement est rare, et l’écart entre 150 pour 1 et les cotes réelles de 215 pour 1 est là où réside l’avantage de la maison. L’erreur est naturelle car la table imprime des gains, pas des avantages, et le plus grand nombre attire l’œil.

La deuxième erreur est de supposer qu’un pari qui n’a pas gagné est plus susceptible de gagner. Les dés n’ont pas de mémoire. Chaque lancer est indépendant, et les 216 résultats sont équiprobables à chaque lancer. Un triple qui n’est pas apparu en cinquante lancers a exactement autant de chances au lancer suivant qu’au premier. Cette croyance coûte cher car elle encourage à augmenter les mises sur les paris aux avantages les plus élevés.

La troisième erreur est d’appliquer une progression au Sic Bo ou au Dragon Tiger. Une martingale sur Grand/Petit double la mise après une perte. Elle change la distribution des résultats : beaucoup de petits gains, des pertes importantes occasionnelles. La valeur attendue par unité misée reste inchangée à 2,78 %. La progression n’améliore pas le rendement ; elle concentre le risque.