Sic Bo och Dragon Tiger: husets fördel per satsning

Sic Bo och Dragon Tiger är tärnings- och kortspel som dyker upp i samma asiatiskt inriktade lobbys, och de delar en användbar egenskap: utbetalningstabellen är kort nog att kontrollera för hand. Det spelar roll eftersom gapet mellan den bästa och sämsta satsningen på en Sic Bo-layout är bredare än på nästan något annat bordsspel. Stor/liten kostar cirka 2,78 cent per satsad dollar. En specifik trippel kostar mer än 30. De två satsningarna ligger centimeter ifrån varandra på filten.

Sic Bo: tre tärningar, ett kast

Sic Bo spelas med tre vanliga sexsidiga tärningar i en täckt skakare. Spelaren satsar på utfallet av ett enda kast. Tärningarna är oberoende, så antalet lika sannolika utfall är 6 x 6 x 6 = 216. Varje fördel på layouten är en jämförelse mellan utbetalningen och antalet av dessa 216 utfall som vinner.

Layouten är stor. De satsningar som spelar roll för kostnaden är de en spelare mest sannolikt använder: Stor, Liten, kombinationer, summor och tripplar.

Utbetalningstabellen och aritmetiken bakom den

Varje fördel i den tabellen är (sanna odds minus utbetalning) dividerat med (sanna odds plus ett), eller ekvivalent 1 minus (utbetalning + 1) x (vinnande utfall / 216). De två formerna stämmer överens eftersom insatsen returneras vid vinst.

Utbetalningar skiljer sig mellan bord, och fördelen rör sig med dem. Raderna ovan använder vanliga utbetalningar. Där en specifik dubbel betalar 8 till 1 istället för 10 till 1 är fördelen 1 - 9 x 16/216 = 33,33 %. Där en summa på 6 eller 15 betalar 18 till 1 istället för 17 till 1 är fördelen 1 - 19 x 10/216 = 12,04 %. Läs utbetalningen som är tryckt på bordet som faktiskt används och räkna om raden med formeln.

Utförd beräkning: Stor och Liten

Stor vinner på summor 11 till 17, exklusive alla tripplar. Liten vinner på 4 till 10, exklusive alla tripplar. De två satsningarna är symmetriska, så en beräkning täcker båda.

Steg 1. Räkna utfallen som ger varje summa med tre tärningar. Antalet sätt att kasta en summa t är koefficienten för x^t i (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3. För summor 4 till 10 är antalen 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27. Summera dem: 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 25 + 27 = 107.

Steg 2. Ta bort tripplarna. Av de sex tripplarna summerar 1-1-1 till 3 och 4-4-4, 5-5-5 och 6-6-6 till 12, 15 och 18, alla utanför intervallet. Endast 2-2-2 (summa 6) och 3-3-3 (summa 9) faller inom 4-10. Det är 2 utfall.

Steg 3. Vinnande utfall: 107 - 2 = 105.

Steg 4. Förlorande utfall: 216 - 105 = 111.

Steg 5. Sanna odds mot vinst: 111 till 105, vilket reduceras till 1,057 till 1. Utbetalningen är 1 till 1.

Steg 6. Förväntat värde per 1 satsad: (105/216) x 1 - (111/216) x 1 = (105 - 111) / 216 = -6/216 = -0,0278. Husets fördel är 2,78 %.

En läsare kan upprepa detta med vilken satsning som helst: räkna de vinnande utfallen, dividera med 216, multiplicera med utbetalningen, subtrahera de förlorande utfallen dividerat med 216.

Utförd beräkning: en specifik trippel

En specifik trippel, säg 4-4-4, vinner på exakt ett utfall av 216. Utbetalningen är 150 till 1.

Förväntat värde per 1 satsad: (1/216) x 150 - (215/216) x 1 = 150/216 - 215/216 = -65/216 = -0,3009. Husets fördel är 30,09 %.

Samma beräkning för vilken trippel som helst: (6/216) x 30 - (210/216) x 1 = 180/216 - 210/216 = -30/216 = -13,89 %.

Gapet mellan 2,78 % och 30,09 % är hela historien om Sic Bo. Layouten döljer det inte, men siffrorna är tryckta som utbetalningar, inte som fördelar.

Vad det kostar per timme

En procentandel av omsättningen är inte en kvantitet som de flesta kan känna. Pengar per timme är det. Siffran beror på insatsen per satsning och antalet satsningar per timme, båda som spelaren kontrollerar. Sic Bo är ett spel med ett enda kast, så ett snabbt bord kan lösa 60 till 100 satsningar per timme. Ett långsammare onlinbord med live-dealer och ett satsningsfönster går ofta 40 till 60.

Vid 1 per satsning och 60 satsningar per timme omsätts 60 varje timme. Den förväntade förlusten är fördelen gånger omsättningen.

• Stor eller Liten vid 2,78 %: 60 x 6/216 = 1,67 per timme.
• Specifik dubbel vid 18,52 %: 60 x 40/216 = 11,11 per timme.
• Vilken trippel som helst vid 13,89 %: 60 x 30/216 = 8,33 per timme.
• Specifik trippel vid 30,09 %: 60 x 65/216 = 18,06 per timme.

Vid 5 per satsning och 60 satsningar per timme är omsättningen 300. Samma fördelar ger 8,33, 55,56, 41,67 respektive 90,28 per timme. Insatsen skalar kostnaden linjärt. Fördelen ändras inte.

Dessa är förväntade värden, inte förutsägelser. Under en timme kommer det faktiska resultatet att vara högre eller lägre, ofta mycket, eftersom variansen på en satsning på 150 till 1 är stor. Det förväntade värdet är genomsnittet över många timmar, och det är den enda siffran som reagerar på val av satsning.

Dragon Tiger

Dragon Tiger är ett spel med två kort. Ett kort delas till Dragon och ett till Tiger, vanligtvis från en sko med åtta vanliga kortlekar med 52 kort. Rangordningen är Ess lågt, sedan 2 till 10, sedan Knekt, Dam, Kung. Färgerna är irrelevanta. Det högre kortet vinner. Om rangordningarna är lika vinner Tie-satsningen, och enligt de vanliga reglerna förlorar en Dragon- eller Tiger-satsning halva sin insats. Vissa bord tar hela insatsen vid oavgjort istället.

Spelaren satsar på Dragon, Tiger eller Tie. Dragon och Tiger betalar 1 till 1. Tie betalar 11 till 1 på många bord och 8 till 1 på andra.

Fördelen beror på tie-regeln och Tie-utbetalningen, så båda är kolumner i tabellen. Siffrorna är för en sko med åtta kortlekar, som har 416 kort och 416 x 415 = 172 640 ordnade två-kortsgivningar.

Utförd beräkning för skon med åtta kortlekar:

Kort i skon:                8 x 52 = 416
Ordnade två-kortsgivningar: 416 x 415 = 172 640
Tie-givningar:              13 ranker x (32 x 31) = 13 x 992 = 12 896
Dragon-vinster = Tiger-vinster: (172 640 - 12 896) / 2 = 79 872
P(Dragon) = P(Tiger):       79 872 / 172 640 = 0,462651
P(tie):                     12 896 / 172 640 = 0,074699
Dragon, halva förlorad vid tie: 0,462651 - 0,462651 - 0,5 x 0,074699 = -0,037349 -> 3,73 %
Dragon, hela insatsen förlorad: 0,462651 - 0,462651 - 0,074699 = -0,074699 -> 7,47 %
Tie vid 11 till 1:          12 x 0,074699 - 1 = -0,103614 -> 10,36 %
Tie vid 8 till 1:           9 x 0,074699 - 1 = -0,327711 -> 32,77 %

Fördelen för Dragon och Tiger kommer helt från tie. Dragon och Tiger vinner lika ofta, så utan en tie-regel skulle satsningen vara jämn; husets andel är den del av insatsen det behåller när rangordningarna matchar. Det är därför tie-regeln avgör siffran, och varför ett bord som tar hela insatsen vid tie kostar dubbelt så mycket som ett som tar hälften.

Antalet kortlekar spelar mindre roll än tie-regeln. Med en enda kortlek med 52 kort finns 52 x 51 = 2 652 ordnade givningar och 13 x 12 = 156 ties, så P(tie) = 156/2 652 = 0,058824: Dragon kostar 2,94 % med halva förlorad vid tie och 5,88 % med hela insatsen förlorad, och Tie vid 11 till 1 kostar 12 x 0,058824 - 1 = 29,41 %.

Vid 1 per satsning och 60 satsningar per timme kostar Dragon vid 3,73 % cirka 60 x 0,037349 = 2,24 per timme, och Tie vid 11 till 1 kostar cirka 60 x 0,103614 = 6,22 per timme. Dragon Tigers huvudsatsningar ligger strax över Sic Bos Stor och Liten på 2,78 %; dess Tie-satsning ligger bland Sic Bos dyra satsningar.

Vad folk har fel om

Det vanligaste misstaget är att behandla utbetalningen som måttet på satsningen. En utbetalning på 150 till 1 på en specifik trippel ser ut som den bästa satsningen på layouten. Det är den sämsta. Utbetalningen är stor eftersom händelsen är sällsynt, och gapet mellan 150 till 1 och de sanna 215 till 1 är där husets fördel bor. Misstaget är naturligt eftersom layouten trycker utbetalningar, inte fördelar, och det största numret drar ögat till sig.

Det andra misstaget är att anta att en satsning som inte har vunnit är mer sannolik att vinna. Tärningarna har inget minne. Varje kast är oberoende, och de 216 utfallen är lika sannolika vid varje kast. En trippel som inte har dykt upp på femtio kast är exakt lika sannolik vid nästa kast som den var vid det första. Denna tro är dyr eftersom den uppmuntrar till att öka insatserna på satsningar med de högsta fördelarna.

Det tredje misstaget är att tillämpa en progression på Sic Bo eller Dragon Tiger. En Martingale på Stor/Liten fördubblar insatsen efter en förlust. Det ändrar fördelningen av utfall: många små vinster, enstaka stora förluster. Det förväntade värdet per satsad enhet är oförändrat 2,78 %. Progressionen förbättrar inte avkastningen; den koncentrerar risken.