Sic Bo e Dragon Tiger: vantaggio della casa per puntata

Sic Bo e Dragon Tiger sono giochi di dadi e di carte che compaiono nelle stesse lobby rivolte al pubblico asiatico, e condividono una proprietà utile: la tabella dei pagamenti è abbastanza corta da poter essere verificata a mano. Questo conta perché il divario tra la puntata migliore e quella peggiore su un layout di Sic Bo è più ampio che in quasi qualsiasi altro gioco da tavolo. Grande/Piccolo costa circa 2,78 centesimi per dollaro puntato. Un triplo specifico costa più di 30. Le due puntate distano pochi centimetri sul panno.

Sic Bo: tre dadi, un tiro

Il Sic Bo si gioca con tre dadi standard a sei facce in un bicchiere coperto. Il giocatore punta sull’esito di un singolo tiro. I dadi sono indipendenti, quindi il numero di esiti ugualmente probabili è 6 x 6 x 6 = 216. Ogni vantaggio sul layout è un confronto tra il pagamento e il numero di quegli esiti su 216 che vincono.

Il layout è ampio. Le puntate che contano per il costo sono quelle che un giocatore è più propenso a usare: Grande, Piccolo, combinazioni, totali e tripli.

La tabella dei pagamenti e l’aritmetica che vi sta dietro

Ogni vantaggio in quella tabella è (quote reali meno pagamento) diviso (quote reali più uno), o equivalentemente 1 meno (pagamento + 1) x (esiti vincenti / 216). Le due forme coincidono perché la puntata viene restituita in caso di vincita.

I pagamenti variano da tavolo a tavolo, e il vantaggio si muove con essi. Le righe sopra usano pagamenti comuni. Dove un doppio specifico paga 8 a 1 invece di 10 a 1, il vantaggio è 1 - 9 x 16/216 = 33,33%. Dove un totale di 6 o 15 paga 18 a 1 invece di 17 a 1, il vantaggio è 1 - 19 x 10/216 = 12,04%. Leggi il pagamento stampato sul tavolo effettivamente in uso e ricalcola la riga con la formula.

Calcolo svolto: Grande e Piccolo

Grande vince sui totali da 11 a 17, escluso qualsiasi triplo. Piccolo vince da 4 a 10, escluso qualsiasi triplo. Le due puntate sono simmetriche, quindi un solo calcolo copre entrambe.

Passo 1. Conta gli esiti che producono ciascun totale con tre dadi. Il numero di modi per ottenere un totale t è il coefficiente di x^t in (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3. Per i totali da 4 a 10 i conteggi sono 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27. Sommali: 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 25 + 27 = 107.

Passo 2. Rimuovi i tripli. Dei sei tripli, 1-1-1 totalizza 3 e 4-4-4, 5-5-5 e 6-6-6 totalizzano 12, 15 e 18, tutti fuori dall’intervallo. Solo 2-2-2 (totale 6) e 3-3-3 (totale 9) cadono tra 4 e 10. Sono 2 esiti.

Passo 3. Esiti vincenti: 107 - 2 = 105.

Passo 4. Esiti perdenti: 216 - 105 = 111.

Passo 5. Quote reali contro la vincita: 111 a 105, che si riduce a 1,057 a 1. Il pagamento è 1 a 1.

Passo 6. Valore atteso per 1 puntato: (105/216) x 1 - (111/216) x 1 = (105 - 111) / 216 = -6/216 = -0,0278. Il vantaggio della casa è 2,78%.

Un lettore può ripetere questo con qualsiasi puntata: conta gli esiti vincenti, dividi per 216, moltiplica per il pagamento, sottrai gli esiti perdenti divisi per 216.

Calcolo svolto: un triplo specifico

Un triplo specifico, diciamo 4-4-4, vince su esattamente un esito su 216. Il pagamento è 150 a 1.

Valore atteso per 1 puntato: (1/216) x 150 - (215/216) x 1 = 150/216 - 215/216 = -65/216 = -0,3009. Il vantaggio della casa è 30,09%.

Lo stesso calcolo per qualsiasi triplo: (6/216) x 30 - (210/216) x 1 = 180/216 - 210/216 = -30/216 = -13,89%.

Il divario tra 2,78% e 30,09% è tutta la storia del Sic Bo. Il layout non lo nasconde, ma i numeri sono stampati come pagamenti, non come vantaggi.

Quanto costa all’ora

Una percentuale del volume di gioco non è una quantità che la maggior parte delle persone riesce a percepire. Il denaro all’ora sì. La cifra dipende dalla puntata per giocata e dal numero di giocate all’ora, entrambi controllati dal giocatore. Il Sic Bo è un gioco a singolo tiro, quindi un tavolo veloce può risolvere da 60 a 100 puntate all’ora. Un tavolo online più lento con dealer dal vivo e una finestra di puntata spesso ne fa 40-60.

A 1 per puntata e 60 puntate all’ora, si muovono 60 ogni ora. La perdita attesa è il vantaggio per il volume di gioco.

• Grande o Piccolo al 2,78%: 60 x 6/216 = 1,67 all’ora.
• Doppio specifico al 18,52%: 60 x 40/216 = 11,11 all’ora.
• Qualsiasi triplo al 13,89%: 60 x 30/216 = 8,33 all’ora.
• Triplo specifico al 30,09%: 60 x 65/216 = 18,06 all’ora.

A 5 per puntata e 60 puntate all’ora, il volume è 300. Gli stessi vantaggi producono rispettivamente 8,33, 55,56, 41,67 e 90,28 all’ora. La puntata scala il costo linearmente. Il vantaggio non cambia.

Questi sono valori attesi, non previsioni. In un’ora il risultato effettivo sarà più alto o più basso, spesso di molto, perché la varianza su una puntata da 150 a 1 è grande. Il valore atteso è la media su molte ore, ed è l’unica cifra che risponde alla scelta della puntata.

Dragon Tiger

Dragon Tiger è un gioco a due carte. Una carta viene distribuita al Drago e una alla Tigre, di solito da un sabot di otto mazzi standard da 52 carte. L’ordine delle carte è Asso basso, poi da 2 a 10, poi Jack, Queen, King. I semi sono irrilevanti. Vince la carta più alta. Se i ranghi sono uguali, vince la puntata Pareggio, e secondo le regole comuni una puntata su Drago o Tigre perde metà della posta. Alcuni tavoli prendono invece l’intera posta in caso di pareggio.

Il giocatore punta su Drago, Tigre o Pareggio. Drago e Tigre pagano 1 a 1. Pareggio paga 11 a 1 su molti tavoli e 8 a 1 su altri.

Il vantaggio dipende dalla regola sul pareggio e dal pagamento del Pareggio, quindi entrambi sono colonne della tabella. Le cifre sono per un sabot da otto mazzi, che ha 416 carte e 416 x 415 = 172.640 distribuzioni ordinate di due carte.

Calcolo svolto per il sabot da otto mazzi:

Carte nel sabot:            8 x 52 = 416
Distribuzioni ordinate:     416 x 415 = 172.640
Distribuzioni di pareggio:  13 ranghi x (32 x 31) = 13 x 992 = 12.896
Vittorie Drago = Vittorie Tigre: (172.640 - 12.896) / 2 = 79.872
P(Drago) = P(Tigre):        79.872 / 172.640 = 0,462651
P(pareggio):                12.896 / 172.640 = 0,074699
Drago, metà persa sul pareggio: 0,462651 - 0,462651 - 0,5 x 0,074699 = -0,037349 -> 3,73%
Drago, intera posta persa:  0,462651 - 0,462651 - 0,074699 = -0,074699 -> 7,47%
Pareggio a 11 a 1:          12 x 0,074699 - 1 = -0,103614 -> 10,36%
Pareggio a 8 a 1:           9 x 0,074699 - 1 = -0,327711 -> 32,77%

Il vantaggio di Drago e Tigre deriva interamente dal pareggio. Drago e Tigre vincono con la stessa frequenza, quindi senza una regola sul pareggio la puntata sarebbe equa; la quota della casa è la parte della posta che trattiene quando i ranghi coincidono. Ecco perché la regola sul pareggio decide la cifra, e perché un tavolo che prende l’intera posta sul pareggio costa il doppio di uno che ne prende metà.

Il numero di mazzi conta meno della regola sul pareggio. Con un singolo mazzo da 52 carte ci sono 52 x 51 = 2.652 distribuzioni ordinate e 13 x 12 = 156 pareggi, quindi P(pareggio) = 156/2.652 = 0,058824: Drago costa 2,94% con metà persa sul pareggio e 5,88% con l’intera posta persa, e Pareggio a 11 a 1 costa 12 x 0,058824 - 1 = 29,41%.

A 1 per puntata e 60 puntate all’ora, Drago al 3,73% costa circa 60 x 0,037349 = 2,24 all’ora, e Pareggio a 11 a 1 costa circa 60 x 0,103614 = 6,22 all’ora. Le puntate principali del Dragon Tiger si collocano appena sopra Grande e Piccolo del Sic Bo al 2,78%; la sua puntata Pareggio si colloca tra le puntate costose del Sic Bo.

Cosa si sbaglia

L’errore più comune è considerare il pagamento come misura della puntata. Un pagamento di 150 a 1 su un triplo specifico sembra la puntata migliore del layout. È la peggiore. Il pagamento è alto perché l’evento è raro, e il divario tra 150 a 1 e le quote reali di 215 a 1 è dove risiede il vantaggio della casa. L’errore è naturale perché il layout stampa pagamenti, non vantaggi, e il numero più grande attira l’occhio.

Il secondo errore è presumere che una puntata che non ha vinto sia più probabile che vinca. I dadi non hanno memoria. Ogni tiro è indipendente, e i 216 esiti sono ugualmente probabili a ogni tiro. Un triplo che non è apparso in cinquanta tiri è esattamente probabile al tiro successivo come lo era al primo. Questa convinzione è costosa perché incoraggia ad aumentare le puntate su quelle con i vantaggi più alti.

Il terzo errore è applicare una progressione al Sic Bo o al Dragon Tiger. Una Martingala su Grande/Piccolo raddoppia la puntata dopo una perdita. Cambia la distribuzione degli esiti: molte piccole vincite, occasionali grandi perdite. Il valore atteso per unità puntata resta invariato al 2,78%. La progressione non migliora il rendimento; concentra il rischio.