Vídeo pôquer: lendo a tabela de pagamentos e a vantagem da casa

O vídeo pôquer é um jogo de máquina com uma tabela de pagamentos publicada, e essa tabela é toda a aritmética. Diferente de um caça-níquel, onde o retorno é definido por pesos internos que o jogador não pode ver, uma máquina de vídeo pôquer declara quanto cada mão paga e quantas cartas há no baralho. A partir desses dois fatos, o retorno pode ser calculado antes de qualquer carta ser distribuída. O detalhe é que o retorno depende de jogar cada mão corretamente, e a tabela de pagamentos varia de máquina para máquina mesmo sob o mesmo nome. Duas máquinas rotuladas Jacks or Better, lado a lado, podem diferir em mais de dois pontos percentuais.

O baralho, a distribuição e a troca

O vídeo pôquer usa um baralho padrão de 52 cartas. A máquina distribui cinco cartas, o jogador escolhe quais manter, e a máquina substitui o restante das 47 cartas restantes. Não há curinga, a menos que o nome do jogo diga o contrário. A decisão do jogador é a única variável sob seu controle, e é grande: em uma máquina Jacks or Better de pagamento integral, manter a carta errada em uma única mão pode custar mais do que toda a vantagem da casa naquela mão.

A tabela de pagamentos lista nove mãos vencedoras, de um par de valetes até um royal flush. Cada uma tem um multiplicador, expresso em moedas por moeda apostada. A aposta padrão é de cinco moedas, porque o bônus do royal flush só é pago na aposta máxima na maioria das máquinas. Uma tabela de pagamentos citada como 9/6 significa que um full house paga 9 e um flush paga 6, por moeda apostada.

Lendo 9/6 e 8/5 no vidro

A notação são os dois números no meio da tabela de pagamentos. Em uma máquina Jacks or Better, os pagamentos de full house e flush são os que mudam entre versões. O topo da tabela é fixo: royal flush 250 por moeda em cinco moedas, straight flush 50, four of a kind 25. A base é fixa: straight 4, three of a kind 3, two pair 2, jacks or better 1. Apenas o full house e o flush se movem.

Uma máquina 9/6 paga 9 por um full house e 6 por um flush. Uma máquina 8/5 paga 8 e 5. Uma 7/5 paga 7 e 5. Uma 6/5 paga 6 e 5. Quanto menor o primeiro número, pior o jogo. O segundo número geralmente fica em 5 ou 6; uma máquina 9/5 é pior que 9/6 mas melhor que 8/5.

Os retornos nessa tabela assumem que o jogador mantém as cartas matematicamente melhores em cada mão. Também assumem que a máquina paga o royal flush a 250 por moeda, o que exige cinco moedas apostadas. De uma a quatro moedas, o royal paga 250 por moeda em algumas máquinas e menos em outras; a aposta de cinco moedas é o padrão por um motivo.

De onde vem 99,54%

O retorno é a soma, sobre todas as nove mãos vencedoras, da probabilidade daquela mão multiplicada pelo seu pagamento. As probabilidades são fixadas pelo baralho de 52 cartas e pela troca. Elas não mudam com a máquina, a hora do dia ou o que veio antes.

Para 9/6 Jacks or Better, as probabilidades das mãos finais, dado jogo ótimo, são aproximadamente:

• Royal flush: 0,000025
• Straight flush: 0,000109
• Four of a kind: 0,002363
• Full house: 0,011512
• Flush: 0,011015
• Straight: 0,011229
• Three of a kind: 0,074449
• Two pair: 0,129279
• Jacks or better: 0,214585

Multiplique cada probabilidade pelo seu pagamento por moeda, depois some. Os pagamentos para 9/6 são 250, 50, 25, 9, 6, 4, 3, 2 e 1.

Royal: 0,000025 × 250 = 0,006250
Straight flush: 0,000109 × 50 = 0,005450
Four of a kind: 0,002363 × 25 = 0,059075
Full house: 0,011512 × 9 = 0,103608
Flush: 0,011015 × 6 = 0,066090
Straight: 0,011229 × 4 = 0,044916
Three of a kind: 0,074449 × 3 = 0,223347
Two pair: 0,129279 × 2 = 0,258558
Jacks or better: 0,214585 × 1 = 0,214585

Soma: 0,006250 + 0,005450 + 0,059075 + 0,103608 + 0,066090 + 0,044916 + 0,223347 + 0,258558 + 0,214585 = 0,981879.

Essa soma é 98,19%, não 99,54%. A diferença é o royal flush. As probabilidades acima são apenas para a troca, assumindo que o jogador recebe cinco cartas e troca. Mas o jogador também recebe mãos prontas, incluindo um royal flush distribuído, que ocorre com probabilidade de 1 em 649.740. Quando o royal distribuído é incluído, a probabilidade do royal sobe para cerca de 0,000025, que já está na tabela. A lacuna restante são as probabilidades de straight flush e four of a kind, que são ligeiramente maiores quando mãos prontas distribuídas são incluídas. A cifra publicada de 99,54% usa as probabilidades combinatórias exatas sobre todas as 2.598.960 mãos possíveis de cinco cartas e a troca ótima de cada uma. A aritmética acima é a forma do cálculo; a cifra exata requer enumerar cada mão inicial e cada decisão de manter.

Para 8/5, a mesma soma com full house a 8 e flush a 5 dá 97,30%. A diferença entre 9/6 e 8/5 é de 2,24 pontos percentuais de retorno, que é a margem inteira de muitas máquinas caça-níqueis.

Quanto custa por hora

Uma porcentagem do volume apostado não é uma quantidade que alguém possa sentir. Dinheiro por hora é. O custo por hora é a vantagem da casa multiplicada pelo valor apostado por hora.

Assuma 500 mãos por hora. Esse é um ritmo razoável para um jogador que conhece as retenções e não está distraído. Assuma uma aposta de 1 moeda, então 1 por mão. O volume é de 500 moedas por hora.

Em 9/6 Jacks or Better, a perda esperada é 0,46% × 500 = 2,30 moedas por hora.
Em 8/5 Jacks or Better, a perda esperada é 2,70% × 500 = 13,50 moedas por hora.

Com uma aposta de 5 moedas, multiplique por cinco: 11,50 moedas por hora em 9/6, 67,50 moedas por hora em 8/5. Se a moeda for de um quarto de dólar, isso é 2,88 por hora em 9/6 e 16,88 por hora em 8/5. Se a moeda for de um dólar, é 11,50 e 67,50 por hora.

A perda esperada não é uma previsão de qualquer sessão individual. É a média de uma distribuição com uma cauda direita longa, porque o royal flush paga 4.000 moedas em cinco moedas e ocorre cerca de uma vez a cada 40.000 mãos. Um jogador que acerta um royal em uma hora está muito acima da média; um jogador que não acerta está abaixo dela. Ao longo de muitas horas, a média é o que resta.

O que as pessoas entendem errado

O erro mais comum é tratar a tabela de pagamentos como uma propriedade fixa do nome do jogo. Jacks or Better não é um jogo. É uma família de tabelas de pagamentos, e o retorno varia de cerca de 95% a 99,54% dependendo dos pagamentos de full house e flush. Um jogador que aprende as retenções para 9/6 e depois joga em uma máquina 8/5 está jogando um jogo diferente com o mesmo nome e uma vantagem muito maior.

O segundo erro é acreditar que uma máquina que não pagou um royal flush por muito tempo tem mais chance de pagar um em breve. Não tem. Cada mão é distribuída de um baralho de 52 cartas recém-embaralhado, independente de cada mão anterior. A probabilidade de um royal flush na próxima mão é a mesma, seja o último royal de cinco minutos atrás ou de cinco meses atrás. A máquina não tem memória nem obrigação. A crença é natural porque as pessoas esperam que as sequências se equilibrem, e porque um longo período de seca parece uma dívida. Em um jogo com tentativas independentes, não há dívida.

O terceiro erro é assumir que o jogo correto é intuitivo. Não é. A retenção ótima para uma mão como um par baixo versus quatro cartas para um flush não é óbvia, e a diferença entre a melhor retenção e a segunda melhor é frequentemente uma fração de um por cento do valor esperado da mão. Ao longo de milhares de mãos, essas frações se acumulam. Existem tabelas de estratégia para cada versão da tabela de pagamentos, e elas são específicas para a versão. Uma tabela para 9/6 não é correta para 8/5.

O quarto erro é pensar que jogos gratuitos de vídeo pôquer online usam as mesmas tabelas de pagamentos que as máquinas de um cassino. Muitas vezes não usam. Um jogo gratuito pode usar uma tabela 6/5, ou uma tabela com pagamento de royal flush reduzido, ou uma composição de baralho diferente. O retorno é o que a tabela diz, e a tabela está na tela. Lê-la é a mesma habilidade.

O único número que importa

O retorno de uma máquina de vídeo pôquer é determinado pela sua tabela de pagamentos e pelas decisões de retenção do jogador. Nada mais. A máquina não tem ciclo, humor ou memória. A tabela 9/6 Jacks or Better retorna 99,54% com jogo perfeito; a tabela 8/5 retorna 97,30%. A 500 mãos por hora e uma aposta de 1 moeda, isso é 2,30 moedas por hora contra 13,50 moedas por hora. A diferença é a tabela de pagamentos, e a tabela de pagamentos está impressa no vidro.